Beweisregeln für reelle Zahlen gelten für komplexe Zahlen

Das möchte ich beweisen$\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=e^{z_1-z_2}$. Offensichtlich gilt dies für reelle Zahlen, aber hier$z_1=x_1+iy_1$Und$z_2=x_2+iy_2$, muss also nachgewiesen werden.

$$\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=\frac{e^{x_1}(\cos(y_1)+i\sin(y_1))}{e^{x_2}(\cos(y_2)+i\sin(y_2))}=\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}}*\frac{(\cos(y_1)+i\sin(y_1))}{(\cos(y_2)+i\sin(y_2))}$$

kann ich ignorieren$\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}}$jetzt und versuche das zu beweisen

$$\frac{(\cos(y_1)+i\sin(y_1))}{(\cos(y_2)+i\sin(y_2))}=cos(y_1-y_2)+i\sin(y_1-y_2)$$

Dann, weil$\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}}=e^{x_1-x_2}$($x_1$Und$x_2$real sind), würde ich das wissen$e^{x_1-x_2}=\cos(y_1-y_2)+i\sin(y_1-y_2)$welches ist$e^{z_1-z_2}$.

Ich denke, dieser mittlere Schritt, von dem ich nicht weiß, wie er gemacht werden soll, kann mit den trigonometrischen Identitäten gemacht werden,$\cos(\alpha - \beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$Und$\sin(\alpha - \beta)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$. Ich sehe einfach nicht, wie man das zum Laufen bringt.