Phasor/Harmonische Additionsformel/Theorem: Warum können wir die Frequenz aus einem komplexen Argument herausnehmen?

Question

Phasor/Harmonische Additionsformel/Theorem: Warum können wir die Frequenz aus einem komplexen Argument herausnehmen?

Winkel
Mathematik
Trigonometrie
Realanalyse
komplexe Zahlen
komplexe Analyse

Unbekannt123

Harmonischer Additionssatz
Harmonische Additionsformel
Zeigeradditionssatz
Phasenadditionsformel

Diese vier Namen können als Schlüsselwort bei Google verwendet werden.
Ich kenne den offiziellen Namen nicht und denke, dass sie einander gleichwertig zu sein scheinen.

Aus diesem Papier auf Seite 3

Ein hyperbolisches Analogon der Phasenadditionsformel von F. Adrián F. Tojo (30. Juli 2018)

Abbildung 1. Teil von Seite 3 des erwähnten Artikels.

Wenn ich das umschreibe,

A e^{J a} + B e^{J β} = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2 A B \cos (a - β)} e^{J Arg [[A \cos (a) + B \cos (β)] + J [A Sünde (a) + B Sünde (β)]]}

$\displaystyle \mathrm{a} \ \mathrm{e}^{j \alpha} + \mathrm{b} \ \mathrm{e}^{j \beta} = \sqrt{ \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left( \alpha - \beta \right) } \quad \mathrm{e}^{\ j \ \arg\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \sin\left( \beta \right) \right] \right]}$

Wenn wir also den wahren Teil davon nehmen, bekommen wir

A \cos (a) + B \cos (β) = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2 A B \cos (a - β)} \cos [A R G [[A \cos (a) + B \cos (β)] + J [A Sünde (a) + B Sünde (β)]]]

$\small \displaystyle \mathrm{a}\cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) = \sqrt{ \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left( \alpha - \beta \right) } \: \cos\left[ \mathrm{arg}\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \sin\left( \beta \right) \right] \right] \right]$

Angenommen, wenn $\alpha = \omega t + \phi_1$ Und $\beta = \omega t + \phi_2$ , Dann

\begin{aligned} A \cos (ω T + ϕ_{1}) + B \cos (ω T + ϕ_{2}) & = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2 A B \cos (ϕ_{1} - ϕ_{2})} \\ \cdot \cos [A R G [[A \cos (ω T + ϕ_{1}) + B \cos (ω T + ϕ_{2})] + J [A Sünde (ω T + ϕ_{1}) + B Sünde (ω T + ϕ_{2})]]] \end{aligned}

$\begin{align} \small \displaystyle \mathrm{a}\cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) &= \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \\ &\cdot\cos\left[ \small \mathrm{arg}\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \sin\left( \omega t + \phi_2 \right) \right] \right] \right] \end{align}$

Warum können wir die Häufigkeit so aus dem komplexen Argument herausnehmen?

\begin{aligned} A \cos (ω T + ϕ_{1}) + B \cos (ω T + ϕ_{2}) & = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2 A B \cos (ϕ_{1} - ϕ_{2})} \\ \cdot \cos [ω T + A R G [[A \cos (ϕ_{1}) + B \cos (ϕ_{2})] + J [A Sünde (ϕ_{1}) + B Sünde (ϕ_{2})]]] \end{aligned}

$\begin{align} \small \displaystyle \mathrm{a}\cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) &= \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \\ &\cdot\cos\left[ \small \omega t + \mathrm{arg}\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \phi_2 \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \sin\left( \phi_2 \right) \right] \right] \right] \end{align}$

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Unbekannt123 · Answer 1

$\displaystyle \mathrm{a} \, \mathrm{e}^{j \alpha} + \mathrm{b} \, \mathrm{e}^{j \beta} = \left[ \mathrm{a} \cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \sin\left( \beta \right) \right] \label{1}\tag{1}$

Denken Sie daran, dass die komplexe Argumentform innerhalb des Kosinus äquivalent ist zu $\eqref{1}$ .
Oder verwenden Sie einfach die Euler-Formel, es ist dasselbe.

$\small \displaystyle \mathrm{a} \, \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \, \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) = \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \cdot\cos\left[ \small \mathrm{arg}\!\left[ \mathrm{a} \, \mathrm{e}^{j \left( \omega t + \phi_1 \right)} + \mathrm{b} \, \mathrm{e}^{j \left( \omega t + \phi_2 \right)} \right] \right]$

Faktorisieren Sie die Frequenz

$\small \displaystyle \mathrm{a} \, \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \, \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) = \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \cdot\cos\left[ \small \mathrm{arg}\!\left[ \mathrm{e}^{j \omega t} \left( \mathrm{a} \, \mathrm{e}^{j \phi_1 } + \mathrm{b} \, \mathrm{e}^{j \phi_2 } \right) \right] \right]$

Denken Sie an die komplexen Argumentidentitäten

A R G (z_{1} z_{2}) = A R G (z_{1}) + A R G (z_{2})

$\mathrm{arg}\!\left(z_1 z_2\right) = \mathrm{arg}\!\left(z_1\right) + \mathrm{arg}\!\left(z_2\right)$

Und auch die Tatsache, dass

A R G (e^{J θ}) = θ

$\mathrm{arg}\!\left(\mathrm{e}^{j \theta}\right) = \theta$

Daher

$\begin{align} \small \displaystyle \mathrm{a} \, \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \, \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) &= \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right)} \\ &\cdot\cos\left[ \small \omega t + \mathrm{arg}\!\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \phi_2 \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \sin\left( + \phi_2 \right) \right] \right] \right] \end{align}$

Der Punkt ist, dass, wenn der Kosinus auf der linken Seite denselben Phasenteil hat, der durch Additions-/Subtraktionszeichen getrennt ist, wir ihn aus der komplexen Argumentfunktion herausnehmen können, wodurch er vereinfacht wird.

Phasor/Harmonische Additionsformel/Theorem: Warum können wir die Frequenz aus einem komplexen Argument herausnehmen?

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