Definieren einer Hauptquadratwurzel im komplexen Raum: Wolfram-Fall

In Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root ) definieren wir die Quadratwurzel als

In der Mathematik die Quadratwurzel einer Zahl$a$ist eine Zahl y so dass$y^2 = a$; mit anderen Worten, eine Zahl$y$dessen Quadrat (das Ergebnis der Multiplikation der Zahl mit sich selbst, oder$y × y$) Ist$a$.[1]

Jede nicht negative reelle Zahl a hat eine eindeutige nicht negative Quadratwurzel, die sogenannte Hauptquadratwurzel , die mit bezeichnet wird$\sqrt{a}$, Wo$\sqrt{}$heißt Wurzelzeichen oder Radix.

Zum Positiven$a$, die Hauptquadratwurzel kann auch in Exponentenschreibweise geschrieben werden, als$a^{1/2}$.

Möchte man den Begriff der Quadratwurzel konstruieren in$\mathbb{C}$, würden wir einfach die Wikipedia-Definition mit verwenden$a\in \mathbb{C}$. Seit$P_a(x)=x^2-a$ist ein Gradpolynom$2$, es hat zwei Wurzeln in$\mathbb{C}$. Wie wählen wir die Hauptquadratwurzel? Offensichtlich gibt es keine Lösung! Allerdings, wenn man zu Wolfram geht, und tippt

löse x^2=1+i

Es gibt sofort und ohne Vorwarnung zwei Lösungen als Quadratwurzel einer komplexen Zahl zurück.

Noch schlimmer, wenn man tippt

löse sqrt(x)=1+i

wir bekommen eine Lösung:$2i$

Wie würde man die Hauptquadratwurzel definieren? Wir ignorieren der Einfachheit halber$0$.

Lassen$\Phi_{\alpha} : \mathbb{C^*}\rightarrow]0,\infty[×]\alpha,\alpha+2\pi]$bezeichnen eine Bijektion von den kartesischen zu den Polarkoordinaten, mit$]\alpha,\alpha+2\pi]$mit geliefert$2\pi$-Äquivalenz und$\alpha \in \mathbb{R}$

Wir können das sagen$\forall z\in \mathbb{C^*} \exists!(\rho,\theta) \in]0,\infty[×]\alpha,\alpha+2\pi]$wie zum Beispiel$z=\rho(cos(\theta)+isin(\theta))$oder$z=\rho e^{i\theta}$

Eine natürliche Definition wäre die Hauptquadratwurzel von zu definieren$z$als$\sqrt{z}=\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}$, aber weil wir eingeführt haben$\theta$, Die$\sqrt{}$Die Funktion hängt von der Definition von ab$\Phi_{\alpha}$.

In der Tat, wenn wir pflücken$\alpha=0$,$\sqrt{(\mathbb{C^*})}=\mathbb{C^*}\backslash\{\mathbb{R_{+}^*}\cup \{z \in \mathbb{C} | \Im(z)<0\}$.

Das$\alpha$ist nicht angemessen, da es gegen das verstößt, was wir für die Hauptquadratwurzel in bauen$\mathbb{R}$

Eine interessante Wahl wäre$\alpha=-\pi$, tatsächlich wird das Quadratwurzelbild in sein$\{z \in\mathbb{C*}| Re(z)\geq0\}$

Es scheint das zu sein, was Wolfram adoptiert hat ...

Nun, hier wird es für mich chaotisch: Wenn wir auf die Definition von zurückblicken$\Phi_{\alpha}$, nichts hindert uns daran, es als zu definieren$\Phi_{\alpha} : \mathbb{C^*}\rightarrow]0,\infty[×[\alpha,\alpha+2\pi[$, wo wir die Klammer des Intervalls ändern.

Diese Änderung hat erhebliche Auswirkungen ! Wenn wir wieder abholen$\alpha=-\pi$, Die gleichung$\sqrt{z}=i$Hatte früher eine Lösung, aber nicht mehr beim Wechseln der Halterungen.

In ähnlicher Weise gibt Wolfram "keine Lösung vorhanden" zurück, wenn wir eingeben

löse sqrt(x)=-i

Ich versuche, eine natürliche und intuitive Definition der Quadratwurzel zu bekommen$\mathbb{C}$: Wolfram scheint eine zu akzeptieren, ich würde zustimmen, dass die beste Bijektion diejenige mit wäre$\alpha=-\pi$, aber ich bin mir über die Reihenfolge der Klammern nicht sicher : warum hat Wolfram sich entschieden abzulehnen$\{z \in \mathbb{C} | \Re(z)=0, \Im(z)<0\}$?

Danke.