Ist die folgende Reihe konvergent oder divergent?

Question

Ist die folgende Reihe konvergent oder divergent?

Mathematik
Realanalyse
komplexe Zahlen
komplexe Analyse

Jenny Durham

Mir wird die folgende Reihe gegeben, um zu bestimmen, ob sie konvergent ist. Mein Problem ist, ich verwende 2 Tests und sobald ich bekomme, dass die Menge konvergiert und das andere Mal divergiert.

Die Serie ist

\sum_{N = 0}^{\infty} (A^{N} - A^{N + 1})

$\sum_{n=0}^{\infty} \left(a^n-a^{n+1}\right)$

Der Wurzeltest:

lim_{N \to \infty} {(A^{N} - A^{N + 1})}^{1 / N} = lim_{N \to \infty} (A - A^{\frac{1}{N} + 1}) = 0

$\lim_{n\to\infty} \left(a^n-a^{n+1}\right)^{1/n}=\lim_{n\to\infty} \left(a-a^{{\frac{1}{n}}+1}\right)=0$

Das ist also konvergent

Der Verhältnistest:

lim_{N \to \infty} \frac{A^{N + 1} - A^{N + 2}}{A^{N} - A^{N + 1}} = A

$\lim_{n\to\infty} \frac{a^{n+1}-a^{n+2}}{a^n-a^{n+1}}=a$

Das ist abweichend?

In beiden Fällen geht n gegen unendlich

Was ist daran falsch?

Vielen Dank im Voraus!

Thomas Andreas

Denkst du

(a^{n} - a^{n + 1})^{1 / n}

$(a^n-a^{n+1})^{1/n}$ = aa^{1+1/n}?

einzigartige Lösung

Sie machen einen schwerwiegenden Fehler, indem Sie bei der Anwendung des Wurzeltests Grenzen manipulieren. Sie können die nicht einfügen

1 / n

$1/n$ innen.

Thomas Andreas

Wissen Sie, was eine Teleskopserie ist? Es gibt eine einfache geschlossene Form für

\sum_{n = 0}^{m} (a^{n} - a^{n + 1})

$\sum_{n=0}^m (a^n-a^{n+1})$ ...

Antworten (1)

Ist die folgende Reihe konvergent oder divergent?

Sie machen einen schwerwiegenden Fehler, indem Sie bei der Anwendung des Wurzeltests Grenzen manipulieren. Sie können die nicht einfügen $1/n$ innen.
Wissen Sie, was eine Teleskopserie ist? Es gibt eine einfache geschlossene Form für $\sum_{n=0}^m (a^n-a^{n+1})$ ...

grauvater · Answer 1

Der Verhältnistest gibt Ihnen $a$ , also könnte man definitiv schlussfolgern, dass die Reihe if konvergiert $|a|<1$ . Beachten Sie dies jedoch allgemeiner

\sum_{N = 1}^{\infty} A^{N} - A^{N + 1} = (A - A^{2}) + (A^{2} - A^{3}) + (A^{3} - A^{4}) + \dots

$\sum_{n=1}^\infty a^n-a^{n+1} = (a-a^2)+(a^2-a^3)+(a^3-a^4)+\ldots$ Gruppieren Sie jetzt die Mengen sorgfältig um und sehen Sie, ob Sie einige Dinge stornieren können.

Zuletzt als allgemeine Regel $(x+y)^z \neq x^z+y^z$ .

Ist die folgende Reihe konvergent oder divergent?

Jenny Durham

Thomas Andreas

einzigartige Lösung

Thomas Andreas

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grauvater

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