Gibt es einen Beweis für den Quotienten zweier Werte in der Trigonometrie komplexer Zahlen?

$$\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1e^{i \theta_1}}{r_2e^{i \theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i \sin(\theta_1-\theta_2)\right).$$

Die Division komplexer Zahlen ist komplizierter als reelle Zahlen, wenn man bedenkt, dass es sich um komplexe Zahlen handelt$\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}$, das Konjugat von$Z_2$wird immer zur Berechnung des Ergebnisses herangezogen.

Der Beweis für die obige Formel ist also wie folgt gegeben:

1. $\displaystyle\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1(\cos(\theta_1)+i\cdot \sin(\theta_1))}{r_2(\cos(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_2))}$

Von hier aus ist es notwendig, Zähler und Nenner mit dem Konjugierten von zu multiplizieren$\cos(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_2)$, welches ist$\cos(\theta_2)-i\cdot \sin(\theta_2)$

2. $\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1)+i\cdot \sin(\theta_1)}{\cos(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_2)}\cdot\frac{\cos(\theta_2)-i\cdot \sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)-i\cdot \sin(\theta_2)}$

jetzt wie gewohnt erweitern

3. $\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)-\cos(\theta_1)i\cdot \sin(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1)\cos(\theta_2)-i^2 \sin(\theta_1)\sin(\theta_2)}{\cos^2(\theta_2)-i^2\sin^2(\theta_2)}$

In diesem speziellen Schritt ist es wichtig zu erwähnen, dass i ein Wert mit einer solchen Eigenschaft ist$i^2=-1$, also wo auch immer$-i^2$vorhanden ist, werden diese Werte im nächsten Schritt zu +1 . Außerdem wird eine gewisse Kenntnis trigonometrischer Identitäten vorausgesetzt, da in den folgenden Schritten Substitutionen unter Verwendung dieser Identitäten vorgenommen werden.

4. $\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot \cos(\theta_1)\cos(\theta_2)+\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1)\cos(\theta_2)-\cos(\theta_1)i\cdot \sin(\theta_2)$

und schlussendlich

5. $\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1-\theta_2)]$

Letztendlich ist die Division komplexer Zahlen der Hauptgrund dafür, dass dieser Beweis so geführt wird, wie er gemacht wird. Es ist nichts Besonderes, aber es ist immer cool. Bei Kommentaren oder Verbesserungen können Sie gerne antworten.