Warum richtet sich ein Kreisel wieder auf, wenn er angestoßen wird?

Das Drehmoment, das einen oberen Pfosten dreht, wie in diesem YouTube-Video, ist auf die Gleitreibung zwischen dem Oberteil und seiner Auflagefläche zurückzuführen.

Entscheidend für diesen Effekt ist die Tatsache, dass die Oberseite in diesem YouTube-Video eine abgerundete Unterseite hat, anstatt unten zu einer scharfen Spitze zu kommen, wie es bei einigen Oberseiten der Fall ist. Der Effekt ist ausgeprägter und dramatischer bei Kreiseln, die an ihrer Unterseite einen größeren Krümmungsradius haben, wie im Extremfall eines Tippe-Tops , das einen so großen Krümmungsradius hat, dass es möglich ist, dass der Schwerpunkt des Kreisels liegt in einer Höhe, die kleiner als der Krümmungsradius ist. In der Tat führen die Papiere, die ich gesehen habe, die zeigen, wie Gleitreibung dazu führt, dass der Schwerpunkt eines Kreisels ansteigt, speziell eine Analyse eines Kippkreises durch.

Die Analyse eines Kreisels im Allgemeinen, einschließlich der Auswirkungen von Reibung, ist ziemlich kompliziert. Um die Analyse enorm zu vereinfachen, betrachte ich die Spitze einfach zu einem Zeitpunkt, zu dem die Spitze keinen linearen Impuls hat und einen sehr großen Drehimpuls hat, der genau entlang der Symmetrieachse der Spitze liegt.

Ich werde auch die Schwerkraft in dieser einfachen Erklärung als vernachlässigbar betrachten. Die Schwerkraft verursacht ein rein horizontales Drehmoment auf der Oberseite, aber wir interessieren uns nur für ein Drehmoment, das eine vertikale Komponente hat, wodurch die Oberseite immer aufrechter wird. Wenn die Schwerkraft nicht die Platte und den Tisch zusammenhalten würde, gäbe es in Wirklichkeit keine Gleitreibung am Kontaktpunkt zwischen den beiden, aber wir nehmen einfach an, dass die Gleitreibung existiert, ohne zu überlegen, wie dies der Fall ist Gleitreibung hängt mit der Schwerkraft zusammen.

Das obige Diagramm zeigt einen vertikalen Querschnitt durch die Decke, der die Symmetrieachse der Decke enthält. Der Punkt$P$liegt auf der Symmetrieachse, ebenso wie der Schwerpunkt des Kreisels$O$. Der Drehimpuls des Kreisels$\vec{L}$zeigt in Richtung der Symmetrieachse.

Da das Oberteil einen abgerundeten Boden anstelle eines spitzen Bodens hat, ist der Kontaktpunkt des Oberteils nicht bei$P$, sondern irgendwann$C$. Aus den oben genannten Annahmen zum interessierenden Zeitpunkt$P$ist stationär. Dagegen aus Richtung$\vec{L}$, bei$C$die Oberfläche der Oberseite bewegt sich auf den Betrachter zu, gerade nach oben aus der Ebene des Diagramms heraus. Die Gleitreibung ist eine Kraft$\vec{F}_k$(nicht gezeigt) oben an$C$, in der Richtung entgegengesetzt zur Bewegung des Kreisels an diesem Punkt, dh direkt nach unten, weg vom Betrachter.

Der Positionsvektor von$C$aus$O$ist$\vec{X}_C$. Die Kraft$\vec{F}_k$auf der Oberseite erzeugt ein Drehmoment auf der Oberseite um den Schwerpunkt der Oberseite,

Das Drehmoment$\vec{\tau}$kann geschrieben werden als

wo$\vec{\tau}_{\parallel}$ist parallel zu$\vec{L}$, und$\vec{\tau}_{\perp}$steht senkrecht dazu$\vec{L}$.

Das Drehmoment$\vec{\tau}$ist, wie der Drehimpuls der Spitze$\vec{L}$ändert sich mit der Zeit,

$\vec{\tau}_{\parallel}$zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie$\vec{L}$, also die Wirkung von$\vec{\tau}_{\parallel}$ist die Größenordnung zu reduzieren$\vec{L}$, dh, um das Verdeck zu verlangsamen.

Wenn die Spitze im leeren Raum war, die Wirkung von$\vec{\tau}_{\perp}$wäre, die Oberseite herum zu drehen$O$im Diagramm im Uhrzeigersinn. Aufgrund der Einschränkung, dass die Tischplatte in Kontakt mit dem Tisch bleibt, ist die Wirkung jedoch geringer$\vec{\tau}_{\perp}$ist stattdessen zu erhöhen$O$vom Tisch weg und zu machen$O$näher dran, oben zu sein$C$.

Für eine viel detailliertere Analyse, wie die Gleitreibung an der Unterseite eines Kreisels dazu führt, dass der Massenmittelpunkt des Kreisels ansteigt, siehe so ziemlich jedes Papier zum Kreisel, wie zum Beispiel dieses .

Die Oberseite ist ein symmetrischer starrer Körper. Die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers um seinen Massenmittelpunkt sind gegeben durch: (Siehe zum Beispiel: Marsden und Ratiu , (Seite 6).

Bildet man die erste Ableitung der zweiten Gleichung nach der Zeit und setzt man die zweite Gleichung ein, erhält man:

Dies ist eine Gleichung eines harmonischen Oszillators:

Mit

Beachten Sie nun, dass k^2>0 seit$I_3-I_1<0$und$I_2-I_3>0$, also ist die Federkonstante reell und der harmonische Oszillator stabil.

Wenn eine zeitlich begrenzte äußere Kraft auf einen harmonischen Oszillator ausgeübt wird, kehrt er zurück, um in seiner Eigenfrequenz um seine Gleichgewichtsposition zu schwingen. Dasselbe passiert, wenn das Verdeck angeschlagen wird, in diesem Fall wird ein kleines zeitlich begrenztes Drehmoment aufgebracht. Wenn der Drehimpuls um die dritte Achse sehr groß ist, so dass:

Dies wird als Kreiseleffekt bezeichnet und besagt, dass ein sich drehendes Objekt einen Drehimpuls hat$\vec{L}$Somit bleibt es tendenziell seine Rotationsachse,$\vec{L}=I\omega$schneller dreht es sich (größer$\omega$) eher neigt es dazu, seine Rotationsachse zu bleiben.

Betrachten Sie ein Bild unten: Ein Kreisel dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit$\omega$, hat also einen Drehimpuls$\vec{L}$, Je schneller es dreht, desto größer$\vec{L}$und mehr neigt es dazu, seine Drehbewegung um eine bestimmte Achse beizubehalten. Beachten Sie, dass es kleiner wird, wenn es langsamer wird (aufgrund von Reibungskräften).$\vec{L}$Daher erhöht sich seine Präzession aufgrund seines Gewichts, das ihn nach unten zieht. ( Ein Demonstrationsvideo für den Kreiseleffekt )

Quelle

Beachten Sie, dass die Schwerkraft unseren Kreisel dazu veranlasste, zu präzedieren (seine Rotationsachse zu präzedieren). Daher können wir aus dieser Beobachtung schließen, dass eine Kraft ausgeübt werden muss, um die Rotationsachse des Kreisels zu ändern. Je größer die ausgeübte Kraft, desto mehr präzediert er von einem Original Rotationsachse (vorausgesetzt$\vec{L}$ist konstant). Wenn diese Kraft entfernt wird, kehrt sie natürlich ohne Präzession in den ursprünglichen Zustand zurück, da sie einen Drehimpuls hat.

Stellen Sie es sich als Newtons erstes Gesetz vor, aber in Rotationsbewegung statt Translationsbewegung.

Newtons erstes Gesetz besagt:

• Ein Objekt, das sich bewegt, neigt dazu, in Bewegung zu bleiben und sich in einer geraden Linie zu bewegen, es sei denn, es wirkt eine unausgeglichene Kraft.

Wir können dieses Gesetz für die Rotationsbewegung nachbilden:

• Ein Objekt, das sich dreht, neigt dazu, eine Rotationsbewegung um eine bestimmte Achse beizubehalten, es sei denn, es wirkt eine unausgeglichene Kraft.

Ein Objekt, das eine Translationsbewegung mit einer Geschwindigkeit hat$v$wird eine Kraft erfordern$\vec{F}$um seine Bewegungsrichtung zu ändern, ähnlich wie bei einem Objekt mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$erfordert eine Kraft, um seine Rotationsachse zu ändern.

Drehmoment ist definiert als die Tendenz einer Kraft, ein Objekt um eine Achse zu drehen, und mathematisch ist es als Vektor-(Kreuz-)Produkt aus Weg und Kraft definiert:

Wo$r$ein Abstand vom Rotationspunkt und ist$\vec{F}$Kraft angewendet wird.

Beachten Sie, dass das Drehmoment ein Vektor ist und dieser Vektor im Bild unten dargestellt ist:

Der Kreisel wird wieder fast aufrecht, weil er einen Drehimpuls hat, und das bedeutet, wenn sich ein Objekt dreht, widersetzt es sich seiner Rotationsachse, um präzediert zu werden, und schneller dreht es sich mehr, widersetzt es sich dieser Präzession, wenn ich es also umkippe, wenn es noch dreht er sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, kehrt er zur Nullpräzession zurück, schneller dreht er sich schneller, kehrt er in seinen ursprünglichen Zustand zurück.

Um dies mathematisch zu erklären, betrachten Sie einen Kreisel auf der Erde mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$seine Winkelgeschwindigkeit der Präzession$\omega_p$und Präzessionswinkel als$\phi$

sein Drehimpuls ist definiert als:

Sprich Kreisel gedreht$\Delta \theta$und seine Drehimpulsänderung ist$\Delta L$.

Dann können wir ausdrücken$\Delta \theta$wie folgt:

Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession kann wie folgt ausgedrückt werden:

Jetzt können wir die erste Gleichung in dieser ersetzen.

Drehmoment ist definiert als Änderung des Drehimpulses:

Jetzt ersetzen wir dies in der vorherigen Gleichung:

und wir erhalten folgende Formel:

Aus dieser Gleichung können wir ersehen, dass, wenn wir eine Kraft auf ein sich drehendes Objekt ausüben, seine$\omega_p$wird zunehmen, da sie direkt proportional zur aufgebrachten Kraft ist. Wenn die aufgebrachte Kraft null ist,$\omega_p$wird ebenfalls Null, hat also keine Präzessionswinkelgeschwindigkeit mehr, steht also wieder aufrecht.

Diese Art von Kreisel neigt und richtet sich selbst auf, weil die Zentrifugalkraft erfordert, dass das Rotationsmuster kreisförmig zur Senkrechten der Gravitationskraft ist. Wenn es zur Seite geschlagen wird, ist das Muster des Spins oval zur Senkrechten der Schwerkraft. So dreht sich die obere Spirale zurück in die effizienteste Position für die Zentrifugalkraft.

Um die gyroskopische Präzession intuitiv zu verstehen, ohne Momentvektoren zu verwenden, betrachten Sie diese Analogie mit umlaufenden Satelliten. Sehen Sie sich das Video „TheHue's SciTech“ ab 25 Sekunden an, bis Sie sicher sind, vorherzusagen, in welche Richtung ein Gyroskop präzediert, wenn ein Rotationsmoment darauf einwirkt. https://www.youtube.com/watch?v=n5bKzBZ7XuM. Betrachten Sie nun das Diagramm von Red Acts, wie in seiner Antwort gezeigt. Sein Oberteil dreht sich von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn, da die Reibungskraft F vom Betrachter weg zeigt, entgegengesetzt zur Oberfläche des Oberteils. Dadurch entsteht ein Drehmoment in der Ebene, die durch den Kontaktpunkt C und den Massenschwerpunkt O des Kreisels eingenommen wird. Lösen Sie dieses Moment in eine Ebene parallel zu den rotierenden Komponenten des Kreisels und eine Ebene senkrecht zu ihnen auf. Die parallele Komponente bewirkt nur eine Verlangsamung des Kreisels, ohne Präzession. Die senkrechte Komponente dieses Moments ist diejenige, die eine Präzession der Oberseite zurück in die Vertikale verursacht. Die Drehrichtung dieses Moments bewirkt eine Kraft, die den dem Betrachter am nächsten liegenden Rand des Verdecks zum unteren Ende des Verdecks und auf der gegenüberliegenden Seite nach oben drückt. Aber wie die Satelliten-Analogie, Diese Kanten bewegen sich nicht wirklich nach oben oder unten - es sind die Kanten links und rechts vom Betrachter, die sich tatsächlich bewegen. Der rechte Rand des Betrachters bewegt sich nach unten und der linke Rand nach oben. Und das ist die Präzession, die die obere Vertikale bringt. Mir ist vor einiger Zeit klar geworden, dass dies mit einem Tippe Top passiert, aber mit einem Tippe passiert so viel mehr, weil es eine Kugel mit einem großen Radius ist.