Warum scheint ein Elektron im Grundzustand n=1n=1n = 1 von einem Elektron abgeschirmt zu sein?

1. Für die innere K-Schale (auch bekannt als$1s$oder$n=1$Orbital), die Formel

   $$Z_{\rm eff}~\approx~Z-1 \tag{1}$$ ist im Wesentlichen Moseleys experimentelles Gesetz von 1913, das vor QM liegt. Der Haupteffekt beruht auf der Elektron-Elektron-Abstoßung mit dem anderen$1s$Elektron, also eine Abschirmwirkung des Kerns. Ein qualitatives Argument ist, dass die$1s$Elektron verbringt die Hälfte der Zeit weiter vom Kern entfernt als das andere$1s$Elektron, und erfahren daher eine Abschirmwirkung, vgl. Frage von OP.

2. Eine Berechnung auf der Rückseite des Umschlags zeigt, dass alle anderen abgestoßen werden$n>1$Orbitale sind eine Größenordnung zu klein, um die Beobachtung (1) zu erklären.

3. Daher können wir der Einfachheit halber ein 2-Elektronen-Atom betrachten

   $$H ~=~\frac{{\bf p}_1^2}{2m} + \frac{{\bf p}_2^2}{2m} + k_ee^2\left(-\frac{Z}{r_1}-\frac{Z}{r_2}+\frac{1}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|} \right). \tag{2}$$ Hier$k_e$ist die Coulomb-Konstante und$a_0$ist der Bohr-Radius .

4. Die Grundzustandsenergie des 2-Elektronen-Atoms (2) wird dann per Definition geschrieben als

   $$E_0 ~=~-\underbrace{\frac{k_ee^2}{2a_0}}_{\approx 13.6 eV} \left(Z_{\rm eff}^2 +Z^2\right). \tag{3}$$ Die Interpretation von Gl. (3) ist, dass die erste Ionisation abgeschirmt wird, während die zweite Ionisation den nackten Kern sieht.

5. Eine grobe Abschätzung der Größenordnung von Gl. (1) für$Z\gg 1$kann wie folgt argumentiert werden:

   • Verwenden Sie das Virialtheorem , um zu argumentieren, dass die kinetischen Terme minus der Hälfte der potentiellen Terme sind, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
   • Annehmen, dass$^1$ $$\langle\frac{1}{r_1}\rangle~\sim~\frac{1}{a}~\equiv~\frac{Z}{a_0}~\sim~ \langle\frac{1}{r_2}\rangle \qquad\text{and}\qquad \langle\frac{1}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|}\rangle~\sim~ \frac{1}{2a},\tag{4}$$ die angesichts der Formeln für das Wasserstoffatom vernünftig erscheinen .
   • Dies führt dann zu $$E_0 ~\sim~-\underbrace{\frac{k_ee^2}{2a_0}}_{\approx 13.6 eV} \left(2Z^2-Z\right), \tag{5}$$ was einen Schnittpunkt von a vorschlägt$\frac{1}{2}$statt$1$in Gl. (1). Wie auch immer, es ist im richtigen Stadion.

6. Lassen Sie uns zum Spaß erwähnen, dass das Heliumatom$\text{He}$und dass das Lithium-Ion$\text{Li}^+$haben einen Abfang von$.66$Und$.64$, bzw.

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$^1$Betrachten Sie zB die Wellenfunktion

$$\psi(r_1,r_2)~=~\psi_{100}(r_1)~\psi_{100}(r_2), \qquad \psi_{100}(r_1)~:=~\frac{e^{-r/a}}{\sqrt{\pi a^3}}. \tag{6}$$ Dann $$\langle\psi \mid \frac{1}{r_1}\mid \psi\rangle~=~\frac{1}{a}~=~ \langle\psi \mid\frac{1}{r_2}\mid \psi\rangle, \tag{7}$$ Und $$\langle\psi \mid\frac{1}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|}\mid \psi\rangle~=~ \frac{8}{a^6} \int_{\mathbb{R}_+}\! dr_1~r_1^2 e^{-2r_1/a}\int_{\mathbb{R}_+}\! dr_2~r_2^2 e^{-2r_2/a}\int_{[-1,1]}\! d\chi~ \left(r_1^2 + r_2^2 -2r_1r_2\chi \right)^{-\frac{1}{2}}$$ $$~=~\ldots~=~\frac{16}{a^6} \int_{\mathbb{R}_+}\! dr_1~r_1^2 e^{-2r_1/a}\int_{\mathbb{R}_+}\! dr_2~r_2^2 e^{-2r_2/a}\frac{1}{\max(r_1,r_2)}~=~\ldots~=~\frac{5}{8a}.\tag{8}$$

Betrachten Sie die beiden Elektronen in a$1s$Orbital, und wir nehmen das einfachste Beispiel eines Heliumatoms.

Die Existenz von Atomorbitalen beruht auf der Annahme, dass sich die einzelnen Elektron-Elektron-Abstoßungen auf der Zeitskala unserer Messungen mitteln, also jedes der beiden Elektronen in der$1s$Orbital sieht das andere als eine gemittelte Verteilung negativer Ladung, die auf den Kern zentriert ist.

Die Elektronen bewegen sich also in einem gemittelten Potential, das aus einer punktuellen positiven Ladung am Kern und einer verschmierten negativen Ladung im Zentrum des Kerns besteht. Bei Entfernungen sehr nahe am Kern wird das Potential vom Kern dominiert, und wir haben$Z_{eff}\approx2$. In Entfernungen weit vom Kern tragen sowohl die positiven als auch die negativen Ladungen bei und wir landen bei$Z_{eff}\approx 1$. Bei mittleren Entfernungen landen wir bei einem Zwischenwert von$Z$.

Wir erwarten also, dass die effektive Ladung, die jedes Elektron in einem Heliumatom erfährt, irgendwo dazwischen liegt$Z=1$Und$2$. Ich kann keine detaillierte Berechnung finden, aber etwas Googeln schlägt vor$Z_{eff}\approx 1.7$. Die effektive Ladung wird für die Elektronen im untersten Atomorbital (etwas) reduziert, weil selbst für Elektronen im untersten Orbital sie von der gemittelten negativen Ladung der anderen Elektronen beeinflusst werden.

In einem großen Atom, wie dem Beispiel von Natrium ($Z=11$), die Sie zitieren, bewegen sich die 1s-Elektronen in einem Potential, das die Summe der Kernladung und der gemittelten Ladung des anderen ist$10$Elektronen. Also für Helium sogar die niedrigste Energie$1s$Elektronen sehen a$Z_{eff} \lt 11$.