Warum sind diese unabhängigen Schleifen?

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Laut meinem Lehrbuch ist abca mit 2 Ohm Widerstand unabhängig. Eine zweite Schleife mit 3 Ohm Widerstand und die Stromquelle ist unabhängig. Die dritte Schleife mit 2-Ohm-Widerstand parallel zu 3-Ohm-Widerstand ist ebenfalls unabhängig.

Nun ist die Definition einer unabhängigen Schleife eine Schleife, die einen Zweig enthält, der nicht Teil einer anderen unabhängigen Schleife ist.

Nehmen wir die erste Schleife, abca mit 2 Ohm Widerstand. Angenommen, der eindeutige Zweig ist ein 2-Ohm-Widerstand. jetzt soll bc mit parallelen Widerständen 3 und 2 Ohm auch unabhängig sein. Letzterer enthält jedoch den 2-Ohm-Widerstand, was bedeutet, dass ein 2-Ohm-Widerstand schließlich nicht nur für eine Schleife gilt. Gleiches gilt für die Stromquelle und die 3-Ohm-Widerstandsschleife, 3 Ohm ist auch nicht eindeutig.

Warum sind diese drei Schleifen laut Definition unabhängig?

Ich denke, wenn Ihr Buch auf Englisch ist (oder vielleicht auch, wenn es nicht ist), könnte ein wörtliches Zitat des Textes hilfreich sein, um festzustellen, was sie bedeuten. Im Prinzip hat Ihre persönliche Analyse recht, dass der Schaltplan viele Wechselwirkungen hat, aber vielleicht bedeutet das Buch etwas anderes im Zusammenhang mit der Analyse von Spannungen und Strömen.
Wenn sie "unabhängig" sagen, meinen sie wahrscheinlich Schleifen, die beim Schreiben der KVL-Gleichungen einen Satz linear unabhängiger Gleichungen erzeugen. Es sollte das gleiche sein, was Wikipedia essentielle Maschen nennt . Die Definition von Wiki lautet jedoch "Schleifen, die keine anderen Schleifen enthalten", was Ihre drei vorgeschlagenen Schleifen "wesentlich" machen würde.
Ich denke, dass in der Definition kleine Änderungen erforderlich sind ... eine unabhängige Schleife ist eine Schleife, die keine andere Schleife enthält.

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Nun ist die Definition einer unabhängigen Schleife eine Schleife, die einen Zweig enthält, der nicht Teil einer anderen unabhängigen Schleife ist.

Wenn eine Schleife einen Zweig hat, der nicht Teil einer anderen Schleife ist, garantiert dies Unabhängigkeit, aber ich denke nicht, dass dies erforderlich ist. (Mathematisch gesehen ist es ausreichend , aber nicht notwendig .)

Bei der Netzanalyse versuchen Sie, ein Gleichungssystem zu lösen. Dazu benötigen Sie eine Gleichung pro Variable. Aber die Gleichungen müssen linear unabhängig sein – wenn Sie eine Gleichung durch Addieren, Subtrahieren und/oder Multiplizieren der anderen Gleichungen erstellen können, zählt sie nicht. Zum Beispiel:

X + j = 5
2 X + 2 j = 10

Die zweite Gleichung kann erzeugt werden, indem jeder Wert in der ersten Gleichung verdoppelt wird. Das gibt dir keine neuen Informationen, also kannst du nicht nach x und y auflösen. Aber in diesem Beispiel:

X + j = 5
X + 2 j = 7

Sie können die zweite Gleichung nicht erhalten, indem Sie die erste manipulieren. So finden Sie die Lösung: x = 3 und y = 2.

Zurück zu Schaltungen. Ihr System hat drei Variablen – die Maschenströme ICH L (auf der Linken), ICH M (in der Mitte) und ICH R (auf der rechten Seite). Hier sind die Gleichungen unter der Annahme, dass die Maschenströme im Uhrzeigersinn fließen:

10 v − ICH L ⋅ 5 Ω − ( ICH L − ICH M ) ⋅ 2 Ω = 0
− ( ICH M − ICH L ) ⋅ 2 Ω − ( ICH M − ICH R ) ⋅ 3 Ω = 0
ICH R = − 2 A

Die Gruppierung der Variablen ergibt:

10 v − ICH L ⋅ 7 Ω + ICH M ⋅ 2 Ω = 0
ICH L ⋅ 2 Ω − ICH M ⋅ 5 Ω + ICH R ⋅ 3 Ω = 0
ICH R = − 2 A

Es gibt keine Möglichkeit, eine dieser Gleichungen aus der anderen zu machen. Der erste hat einen konstanten Term, der zweite nicht und der dritte gibt uns nur den Wert einer Variablen. Wenn wir ersetzen − 2 A für ICH R und versuchen, die Zeichen übereinstimmen zu lassen, es ist sogar noch offensichtlicher:

ICH L ⋅ 7 Ω − ICH M ⋅ 2 Ω − 10 v = 0
ICH L ⋅ 2 Ω − ICH M ⋅ 5 Ω − 6 v = 0

Die Verhältnisse der Koeffizienten und Konstanten sind völlig unterschiedlich. Diese Gleichungen sind linear unabhängig.

Ich unterrichte Schaltungen und benutze das gleiche Lehrbuch, aus dem die Figur stammt. Meine Schüler haben mich danach gefragt und es hat eine Weile gedauert, bis ich eine vernünftige Definition gefunden habe. Die Aussage aus dem Text "eine unabhängige Schleife ist eine Schleife, die eine Verzweigung enthält, die nicht Teil einer anderen unabhängigen Schleife ist" ist mehrdeutig und, wie bereits erwähnt, notwendig, aber nicht ausreichend. Wenn Sie sich strikt an diese Definition halten, haben Sie Recht, dass Sie die linke Schleife IL (abca) bilden können, die den 3-Ohm-Widerstand und die 2A-Quelle verlässt. Sie können dann die rechte Schleife IR bilden, die bei b beginnt und durch die 2A-Quelle nach c und dann durch den 3-Ohm-Widerstand zurück nach b geht. An diesem Punkt gibt es keine eindeutigen Verzweigungen mehr, aber Sie haben nicht alle unabhängigen Schleifen gefunden.

Was zu dieser Definition hinzugefügt werden muss, ist: "Können beliebige Knoten erweitert werden, um einen eindeutigen Zweig zu erstellen, ohne unabhängige Schleifen zu unterbrechen? Wenn ein eindeutiger Zweig erstellt wird, ohne eine unabhängige Schleife zu unterbrechen, muss eine neue Schleife gebildet werden, die diesen eindeutigen Zweig enthält."

Wenn Sie den Knoten a in zwei Punkte (a, d) erweitern, unterbrechen Sie die linke Schleife, IL. Daher muss die zwischen den Punkten a und d erzeugte eindeutige Verzweigung Teil der Schleife IL werden, damit IL geschlossen werden kann. Es wird keine unabhängige Schleife hinzugefügt. Wenn Sie den Knoten b in zwei Punkte (b, e) erweitern, werden weder die linke Schleife, IL, noch die rechte Schleife, IR, unterbrochen. Dies erzeugt eine neue Verzweigung zwischen den Punkten b und e, die Teil einer neuen unabhängigen Schleife IM sein muss. Wenn Sie dann Knoten c in (c, f) erweitern, erstellen Sie einen neuen Zweig, unterbrechen aber die Schleife IM, sodass der neue Zweig Teil von IM werden muss, um diese Schleife zu schließen. Wenn Sie weitere Knoten erweitern, werden keine neuen eindeutigen Zweige gebildet und Sie haben die 3 unabhängigen Schleifen, IL, IM und IR.

Eine unabhängige Schleife enthält mindestens einen Zweig, der nicht zu einer anderen Schleife gehört. Verwenden Sie also Ihre beiden Schleifen ABC und BC als Beispiel: ABC enthält den Zweig 10 V / 5 Ohm, der sich nicht in BC befindet. BC enthält die 3 Ohm, die nicht in ABC sind, daher sind sie unabhängig. Zusätzlich enthält ABC durch die 2A/5Ohm/10V die 2A-Quelle, die sich in keiner der ersten beiden Schleifen befindet, sodass auch diese unabhängig ist. Dies ist nicht die einzig mögliche Kombination von drei unabhängigen Schleifen, die zur Lösung des Problems erforderlich ist.

In diesem Lehrbuch heißt es im Absatz darunter: "Es ist möglich, einen unabhängigen Satz von Schleifen zu bilden, bei denen eine der Schleifen keinen solchen Zweig enthält."

Die oben gegebene Definition war also nur eine hinreichende Bedingung.

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Ich denke, Sie können einen Satz von Schleifen als unabhängig erklären, wenn zwei beliebige Schleifen des Satzes berücksichtigt werden. Es gibt mindestens einen Zweig, der beiden nicht gemeinsam ist.

Warum sind diese unabhängigen Schleifen?
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