Warum sind EM-Ebenenwellen transversal?

Ich habe Griffiths Einführung in die Elektrodynamik gelesen , insbesondere Abschnitt 9.2.2 über ebene Wellen. Ich kann das sehen, wenn wir wollen, dass sich eine Transversalwelle in der bewegt z Richtung, die wir nur wollen, dass unsere Wellen haben X Und j Komponenten, aber die Argumentation in Griffiths hat mich verwirrt.

Wir beginnen mit elektrischen und magnetischen Feldwellen der Form

E ( z , T ) = E 0 e ich ( k z − ω T ) B ( z , T ) = B 0 e ich ( k z − ω T )

Da wir uns im freien Raum befinden, haben wir das ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 .

Jetzt kommt der entscheidende Schritt: Griffiths behauptet, dass diese beiden Tatsachen dies sofort implizieren

( E 0 ) z = ( B 0 ) z = 0

Ich war mir nicht sicher, wie dies folgte. Ich weiß, dass, wenn ich möchte, dass meine Wellen planar sind, die x- und y-Ableitungen der Felder 0 sein müssen, damit ich eine konstante Größe über einer Front mit konstanter Phase habe, aber ich war mir nicht sicher, wie ich sehen sollte diese z-Ableitung musste ebenfalls Null sein. Es scheint, dass Sie bei einer ebenen Welle eines elektrischen Felds, deren Realteil sich im Raum als Sinusfunktion ändert, eine Kosinusfunktion erhalten würden, wenn Sie sich ihre z-Ableitung ansehen würden.

EM-Wellen können Längskomponenten haben, wenn wir die Annäherung an ebene Wellen vermeiden. Siehe MJ Cliffe, S. Jamison für mehr.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/103171/2451 und darin enthaltene Links.
Besonders prägnant ist die Antwort von Alfred Centauri auf die von Qmechanic verknüpfte Frage

Antworten (3)

Nehmen wir einen etwas allgemeineren Fall: Betrachten wir eine Welle mit Wellenvektor k → = ( k X , k j , k z ) , wobei das elektrische Feld durch gegeben ist

E → = E → 0   e ich ( k → ⋅ R → − ω T )
Wo R → = ( X , j , z ) . Jetzt wollen wir die Maxwell-Gleichungen im Vakuum erfüllen, einschließlich des Gauß-Gesetzes:
∇ → ⋅ E → = 0
Die Ableitung lässt sich recht einfach explizit auswerten
∇ → ⋅ E → = ∇ → ⋅ ( E → 0   e ich ( k → ⋅ R → − ω T ) ) = ich k → ⋅ E → 0 e ich ( k → ⋅ R → − ω T )

Um das Gesetz von Gauß zu erfüllen, müssen wir auferlegen:

k → ⋅ E → 0 =   ?

Physikalisch bedeutet dies, dass die Ausbreitungsrichtung immer gleich ist … zum elektrischen Feld. Das gleiche Argument gilt für die B → -Feld.

Ich überlasse es dem Leser als Übung, sich davon zu überzeugen, dass die ursprünglich gestellte Frage äquivalent ist, dh dass wir davon ausgehen können, dass dies ohne Einschränkung der Allgemeinheit möglich ist k → = ( 0 , 0 , k z ) , was zu der Schlussfolgerung von Griffiths führte.

In dieser Antwort beginne ich mit einem echten Ausdruck für E , weil ich denke, dass die Darstellung klarer ist. Dabei geht die Allgemeinheit nicht verloren, da der reelle Ausdruck immer dem reellen Teil der komplexen Version von entspricht E , für eine geeignete Wahl des Ursprungs. So ist mein Ausgangspunkt

E ( z , T ) = E 0   S ich N ( k z − ω T )   .

Seit E hängt nicht davon ab X oder j , deutlich ∂ E / ∂ X = 0 Und ∂ E / ∂ j = 0 , also nur so, dass die Bedingung ∇ ⋅ E = 0 kann immer halten ist wenn ∂ E z / ∂ z = 0 gilt immer, dh

0 = ∂ E z ∂ z = ( E 0 ) z   k cos ⁡ ( k z − ω T )   .

Nur so kann diese Gleichung für alle gelten z und alles T ist wenn entweder ( E 0 ) z = 0 , oder k = 0 . Wenn ( E 0 ) z = 0 , das musste noch bewiesen werden, also wären wir fertig. Die Alternative von k = 0 bedeutet, dass E kann ausgedrückt werden als

E = E 0 Sünde ⁡ ( − ω T )   .

Da kein Strom beteiligt ist, reduziert sich die Ampere-Maxwell-Gleichung auf nur

∇ × B = μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ T   .

Aber

( ∇ × B ) z = ∂ B j ∂ X − ∂ B X ∂ j = 0 ,

also die z Komponente der Ampere-Maxwell-Gleichung impliziert dies

0 = ∂ E z ∂ T = − ( E 0 ) z   ω cos ⁡ ( − ω T )   .

Nur so wird dieser Zustand für alle gelten T ist wenn entweder ( E 0 ) z = 0 , in diesem Fall sind wir fertig, oder ω = 0 . Aber falls ω = 0 , das bedeutet das einfach

E z = ( E 0 ) z

für einige konstant ( E 0 ) z , dh eine Nicht-Null ( E 0 ) z würde der Welle höchstens ein konstantes Zusatzfeld überlagern. Außerdem wären die Randbedingungen bei einem Nicht-Null-Wert ein Problem ( E 0 ) z , weil integrieren E entlang der z Achse würde zu einer beliebig großen elektrischen Potentialdifferenz führen. Also die einzige physikalisch sinnvolle Möglichkeit ist ( E 0 ) z = 0 .

Die Ableitung von ( B 0 ) z = 0 ist fast das gleiche, aber mit E Und B transponiert und an einigen Stellen mit einem anderen Vorzeichen oder einer anderen Konstante.

In einer Radio- oder Fernsehsendeantenne schwingen Elektronen hin und her. Dies führt eine transversale Komponente in die (bereits existierenden) elektrischen Felder ein, die den Elektronen zugeordnet sind. (Die radialen Komponenten werden durch die Felder der stationären Protonen weitgehend aufgehoben.) Der mit den sich bewegenden Elektronen verbundene elektrische Strom erzeugt auch ein transversales Magnetfeld (das um den Draht gewickelt ist). Die auf die Wechselwirkung dieser beiden Felder angewendeten Maxwell-Gleichungen sagen die Geschwindigkeit voraus, mit der sich die Störung von der Antenne entfernt.

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