Warum sind infinitesimale Rotationen kommutativ, endliche Rotationen nicht?

Unendlich kleine Drehungen pendeln nicht genau, wenn Sie genau genug sind. Eine infinitesimale Drehung kann geschrieben werden als

$$\exp( i a A )$$ wo $a$ist ein infinitesimaler "Winkel" und $A$ist eine Kombination von Generatoren. Ein solches Objekt pendelt nicht mit dem analogen Objekt $\exp(ibB)$Im Algemeinen. Stattdessen, $$\exp(iaA) \exp(ibB) = \exp(ibB) \exp(iaA) \exp(-ab [A,B] + O(a_i^3))$$ wo $[A,B]=AB-BA$ist der gewöhnliche "Kommutator" von Operatoren, dh die Generatoren (der Basen "Vektoren" $A,B$der Lie-Algebra in Verbindung mit der Lie-Gruppe). Die obige Gleichung kann verifiziert werden, indem die Exponentiale auf beiden Seiten vorsichtig in die zweite Ordnung erweitert werden $a$oder $b$, wobei kubische und Terme höherer Ordnung ignoriert werden, aber bei der Reihenfolge von vorsichtig vorgegangen wird $A$und $B$usw.

Das Ausbleiben der Pendelbewegung der infinitesimalen Drehungen wird nur durch einen kleineren Winkel ausgedrückt$ab$das ist zweiter Ordnung, aber die Akkumulation von diesen$O(a_i^2)$Begriffe machen endliche Rotationen "offensichtlich nicht pendelnd". Warum? Denn wenn Sie sich austauschen möchten$N$Kopien von$\exp(iaA)$in$\exp(iNaA)$mit$M$Kopien von$\exp(ibB)$in$\exp(iNbB)$, müssen Sie machen$MN$ähnliche Permutationen, also unter der Annahme, dass$Ma$und$Nb$sind endlich, die Faktoren von$MN$(groß) und$ab$(klein) stornieren und Sie erhalten eine endliche Differenz zwischen den Produkten, die in den entgegengesetzten Reihenfolgen geschrieben sind.