Warum sind Schallwellen adiabat?

Für den Anfang, um Allan Pierce in Acoustics zu zitieren ,

Die oft angeführte Erklärung, dass Schwingungen in einer Schallwelle zu schnell sind, um eine nennenswerte Wärmeleitung zu ermöglichen, ist falsch.

Das hat mich überrascht, als ich es selbst gelernt habe.

Tatsächlich ist Schall kein adiabatischer Prozess für alle Frequenzen. Für jedes Medium gibt es eine Wärmeleitungsfrequenz,

$$f_{\mathrm{TC}} =\frac{\rho c_{p} c^{2}}{2 \pi \kappa}.$$ Frequenzen, die viel niedriger als dieser Wert sind, werden gut angenähert als adiabat angesehen. Eine Erhöhung der Frequenz über diesen Punkt hinaus führt jedoch zu einem Übergang des Prozesses von adiabat zu isotherm. Für Luft ist diese Frequenz $\sim 10^{9} \, \mathrm{Hz}$, weit über dem Bereich des menschlichen Gehörs, daher behandeln wir Schall fast immer als adiabat.

Der physikalische Grund dafür ist, dass die Wärmeübertragung aufgrund der Wärmeleitung proportional zum Temperaturgradienten ist . Dies ist nur eine Aussage des Fourierschen Gesetzes für die Wärmeleitung. Überlegen Sie, was passiert, wenn die Frequenz einer harmonischen Welle abnimmt: Die Wellenlänge nimmt zu und die Steigung der oszillierenden Wellenform nimmt ab, wenn sie „gedehnt“ wird. Unter der Annahme gleicher Amplituden erzeugen niedrigere Frequenzwellen daher kleinere Temperaturgradienten, die Wärme weniger effektiv leiten. Wenn die Wärmeleitung vernachlässigbar ist, wird die Entropie durch den Prozess erhalten.

Zusammenfassend sind also die thermischen Gradienten, die durch Schallwellen für typische interessierende Frequenzen erzeugt werden, klein genug, um vernachlässigt zu werden, daher ist Schall ein (nahezu) adiabatischer Prozess. Wie Thomas jedoch weiter unten ausgeführt hat, werden Frequenzen, die in den potenziell isothermen Bereich übergehen, in Wirklichkeit fast immer zuerst von der Dämpfung beeinflusst, und die Haupteffekte von Leitung und Viskosität dienen tatsächlich dazu, die Schallwelle zu dämpfen.

Falls Sie sich entscheiden , etwas Mathematik zu sehen, ist die Energiegleichung

$$\rho T \frac{d s}{d t} = \kappa \nabla^{2} T.$$ Die vorherigen Argumente können mathematisch gesehen werden, indem man um einen Ruhegrundzustand herum linearisiert und Lösungen für harmonische Wellen annimmt $s$Und $T$. Die Gleichung kann umgeschrieben werden als $$- i \omega \rho_{0} T_{0} \hat{s} = - \kappa \frac{\omega^{2}}{c^{2}} \hat{T},$$ $$\hat{s} = - i \frac{\kappa \omega}{\rho_{0} T_{0} c^{2}} \hat{T}.$$ Als Winkelfrequenz $\omega = 2 \pi f \rightarrow 0,$so muss die Amplitude der Entropieschwingung, $\hat{s}$. Wie bei dem Zitat am Anfang schöpft ein Großteil meiner Antwort aus Acoustics von Allan Pierce.

Auf der Ebene der Euler-Gleichung gibt es keinen Wärmefluss zwischen benachbarten Fluidelementen (die Wärmeleitfähigkeit ist Null). Wegen$dQ=TdS$dies impliziert, dass die Entropie in einem mitbewegten Fluidelement erhalten bleibt (Fluidelemente können dies tun$pdV$aneinander arbeiten). In Gleichungen

$$D(s/n) = \left( \partial_0+\vec{u}\cdot\vec\nabla\right) (s/n)=0,$$ Wo $s$ist die Entropiedichte und $n$ist die Teilchendichte. Beachten Sie, dass $s/n$ist die Entropie pro Teilchen. Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung impliziert dies auch $$\partial_0 s+\vec\nabla(s \vec{u})=0$$ was üblicherweise als Entropieerhaltungsgleichung bezeichnet wird. Dies impliziert, dass wir die Druckänderung in Beziehung setzen sollten $\delta P$und die Dichteänderung $\delta\rho$mit $\rho=mn$in einer Schallwelle unter Verwendung der Kompressibilität bei konstanter Entropie pro Teilchen $$c_s^2 = \left.\frac{\partial P}{\partial\rho}\right|_{s/n=const}.$$ Nun stellt sich nur noch die Frage, wie dies modifiziert wird, wenn wir die Navier-Stokes-Gleichung betrachten. Dazu gehören viskose Reibung und Wärmefluss. Betrachten Sie die relative Größe der Zeitableitung $\partial_0 u$und der Term der viskosen Reibung $\eta/\rho\nabla^2 u$. Für eine ebene Welle $$\frac{\partial_0 u}{\eta/\rho\nabla^2 u}\sim \frac{\eta}{\rho}\frac{k}{c_s}$$ die in der langwelligen Grenze beliebig klein gemacht werden kann. Gleiches gilt für die Wärmeleitung. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit näherungsweise durch das adiabatische Ergebnis gegeben ist und dass die Näherung beliebig gut ist $k\to 0$.