Warum sind transzendentale Begriffe in den Naturgesetzen dimensionslos?

Während meiner Jahre in der Nukleartechnik war es immer so, dass in physikalischen Beziehungen die Argumente transzendentaler Funktionen, z. B. die Exponentialfunktion im Gesetz des radioaktiven Zerfalls, N = N 0 e − λ T , sollten dimensionslos sein, damit das Ergebnis entsprechend dimensionslos ist.

Bei rein empirischen Beziehungen habe ich jedoch beobachtet , dass es für transzendente Funktionen in Ordnung ist, dimensionale Argumente zu haben, solange sie zu den Ergebnissen von Experimenten passen. Zum Beispiel wird das Energiespektrum von prompten Spaltungsneutronen angepasst durch:

χ ( E ) = 0,453 e − 1.036 E Sünde 2.29 E .
Oder hat die 1,036 in der Exponentialfunktion Einheiten von eV − 1 ?

Ist meine Beobachtung richtig? Und wenn ja, was ist die Grundlage von all dem? Ich habe versucht, mich in die Dimensionsanalyse einzuarbeiten, aber ich konnte nicht viel verstehen.

Update vom 14.01.2020:

Ich habe bei Wikipedia einen Einblick gefunden , von dem ich denke, dass er die Diskussion hoffentlich bereichern wird.

Ein Problem mit transzendentalen Funktionen besteht darin, dass die Anwendung einer nicht-algebraischen Operation auf eine dimensionale Größe paradoxe Ergebnisse erzeugt. Zum Beispiel, Protokoll A ( 5 L ) = Protokoll A ( 3 ) + Protokoll A ( L ) , Wo L ist die Dimension der Länge, und A ist eine beliebige Basis.

Auch hier stellt sich die Frage: ist Protokoll A ( L ) dimensional? Wird eine transzendentale Funktion dimensional, wenn sie mit einem dimensionalen Argument gefüttert wird?

Antworten (3)

Damit eine Theorie sinnvoll ist, muss sie unabhängig von den verwendeten Einheiten nützliche Vorhersagen treffen.

Bei algebraischen Formeln endet dies normalerweise damit, dass Sie Konstanten in der Formel mit unterschiedlichen Werten erhalten. Newtons Gravitation sieht in englischen und metrischen Einheiten genau gleich aus, außer dass die Konstante G einen anderen numerischen Wert hat.

Aber das funktioniert nicht für transzendente Funktionen. e 24 beim Arbeiten in Zoll und e 2 wenn in Fuß gearbeitet wird kann nicht mit einer Konstante vor dem Ausdruck gleichgesetzt werden; Diese Zahl wäre für verschiedene Eingabewerte unterschiedlich und daher nicht konstant.

Stattdessen geben wir an, welche Einheiten das Argument haben soll. „Muss in Fuß sein“, wenn das die Zahlen funktionieren lässt, bietet eine Konvention.

Manchmal schreiben wir das tatsächlich als

e X / ( 1 F T )
Wenn x dann in anderen Einheiten ist, werden Sie daran erinnert, umzurechnen.

Manchmal geschieht dies automatisch. Zum Beispiel ein Leben lang:

e − T / τ
Beide Größen haben Einheiten, und wir sind es gewohnt, sie vor dem Dividieren konsistent zu machen. Sobald wir das tun, werden es „3 Lebenszeiten“ und die Einheiten, in denen wir messen, spielen keine Rolle mehr: Das transzendentale Argument ist wieder einheitslos.

Für empirische Relationen müssen wir also die Einheiten zusammen mit der Relation angeben. Ich sehe das oft, aber ich konnte keine Verbindung herstellen! Vielen Dank!

Sie haben Recht, in dem von Ihnen zitierten Fall hat 1,036 die Dimension eV − 1 (vorausgesetzt E wird in eV gemessen).

Alle Funktionen können in Form von dimensionslosen Argumenten geschrieben werden, nicht nur die transzendentalen. Es ist üblich, Gleichungen in dimensionsloser Form zu schreiben, wobei alle Variablen dimensionslos sind, d. h. das Verhältnis einer gemessenen Größe zu einem "charakteristischen Wert" derselben Dimension, der die Skala festlegt.

In Ihrem Fall ist der Kennwert E 0 = ( 1 / 1.036 ) e v , und es bestimmt den Maßstab. Werte von E weniger als E 0 sind "klein", die größeren sind "groß". Wenn E = E 0 der Wert der Funktion liegt in der Größenordnung von Eins (eins).

Jede Funktion kann mit dimensionslosen Argumenten geschrieben werden. Bei "normalen" rationalen, Potenzgesetz-, algebraischen usw. Funktionen kann der charakteristische Wert auf Wunsch herausgerechnet werden, und die dimensionslose Qualität ist weniger offensichtlich.

e X = 1 + X + X 2 + . . .

Also wenn X hat Einheiten, e X macht nicht einmal Sinn durch dimensionale Analyse. Das Argument von log und jede trigonometrische Funktion ist aus demselben Grund auch einheitslos.

Beachten Sie, dass dies nach Ihrer Argumentation sogar für Polynome gilt.
Ja. Sollte das nicht so sein? Wer auch immer abgelehnt hat, wenn meine Antwort aus irgendeinem Grund falsch ist, würde ich gerne verstehen.
Beachten Sie auch, dass dies nur für Polynome gilt, wenn die Koeffizienten einheitslos sind, da sie automatisch in e ^ x und so sind.
@doublefelix Wenn die Koeffizienten des Polynoms Dimensionen haben, muss ihre Summe Dimensionen haben. Man kann dann beide Seiten durch eine Größe dieser Dimension dividieren und dann ist die gesamte Gleichung dimensionslos. Und wenn Sie durch eine für das Problem charakteristische Größe dividieren (eine Länge, eine Energie, ...), dann ist die resultierende Gleichung universell in dem Sinne, dass sie für Situationen jeder "Größe" und jedes Einheitensystems funktioniert. Darüber hinaus macht eine universelle dimensionslose Gleichung viel schönere Graphen! Keine Einheiten auf den Achsen, und alle Werte sind nahe Eins.
Ich sehe keine Relevanz für die vorliegende Frage @garyp
Ich weise darauf hin, dass es nicht so ist, dass Polynomgleichungen nur dann durch dimensionslose Variablen ausgedrückt werden können, wenn ihre Koeffizienten einheitslos sind.
Warum sind transzendentale Begriffe in den Naturgesetzen dimensionslos?
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