Warum U(1)YU(1)YU(1)_Y Hyperladung statt U(1)emU(1)emU(1)_\text{em} Elektromagnetismus?

Kurze Antwort: um die Realität genau zu modellieren.

Lange Antwort: Die schwache Wechselwirkung hat mehrere besondere Eigenschaften:

1. Der$W$Bosonen sind Vektorbosonen (also ist die schwache Theorie wahrscheinlich eine Eichtheorie)
2. Der$W$Bosonen haben elektrische Ladung
3. Der$W$Bosonen haben Masse. (Der$Z$Boson war nicht experimentell beobachtet worden; es war eine Vorhersage des SM)
4. Der$W$Bosonen koppeln chiral, was bedeutet, dass linkshändige und rechtshändige Fermionen unterschiedlichen Darstellungen der Eichgruppe angehören. Insbesondere transformieren sich linkshändige Fermionen in die Dublett-Darstellung, rechtshändige in die Singulett- (triviale) Rep.
5. EM ist eine Eichwechselwirkung, die vektoriell koppelt.

Dies führt zu zwei Problemen, die vor den 60er Jahren nicht verstanden wurden. Das erste Problem ist, wie man massive Eichbosonen hat (Punkte 1 und 3). Naiverweise verletzt ein Vektorboson-Massenterm die Eichsymmetrie und Unitarität. Das zweite Problem ist, wie man massive Fermionen erhält (Punkt 4). Ein Fermion-Massenterm koppelt links- und rechtshändige Fermionen, aber diese gehören zu unterschiedlichen schwachen Darstellungen, sodass der Fermion-Massenterm auch die Eichinvarianz bricht.

Die Erkenntnis von Higgs et al. und dann später Glashow und Weinberg war, dass diese beiden Probleme durch spontane Symmetriebrechung gelöst werden können. Der Higgs-Mechanismus besagt, dass eine spontane Symmetriebrechung einer Eichsymmetrie zu massiven Eichbosonen führt. Und wenn der Operator, der einen Vakuum-Erwartungswert erhält, die richtigen Quantenzahlen hat, kann er genau richtig an die Fermionen koppeln, um einen effektiven Fermionen-Massenterm zu bilden.

Die Fragen sind, welches Muster der spontanen Symmetriebrechung der Realität entspricht und welche Art von Operator sollte ein vev bekommen?

Wegen Punkt 5 brauchen wir einen SSB, der a hinterlässt$U(1)_{em}$ungebrochen. Da es nur eine Lie-Gruppe mit Doublet-Ireps gibt, wissen wir auch, dass die ursprüngliche Eichgruppe an enthalten sollte$SU(2)$Faktor. Außerdem seit dem$W$Bosonen haben Ladung (Punkt 2), der Generator von$U(1)_{em}$muss nicht mit einigen pendeln$SU(2)$Generatoren!

Um Punkt 4 zu korrigieren und einen eichinvarianten Massenterm zu erstellen, benötigen wir einen Operator, um ein vev zu erhalten, das sich in das Dublett von transformiert$SU(2)$. Dies schließt das Symmetriebrechungsmuster aus$SU(2)\rightarrow U(1)_{em}$(es gibt keinen Generator von$SU(2)$das lässt ein nicht-triviales Dublett invariant, was bedeutet, dass ein Dublett immer bricht$SU(2)\rightarrow {1}$die keinen Platz für ein Photon lässt).

Das nächsteinfachste Muster zum Ausprobieren ist$SU(2)\times U(1)_Y\rightarrow U(1)_{em}$. Wir könnten dies mit einem ungeladenen Dublett und erreichen$U(1)_Y = U(1)_{em}$, aber dann$[U(1)_{em},SU(2)]=0$und das$W$Bosonen würden nicht berechnet. Die einzige andere Möglichkeit besteht darin, das Standardmodellmuster zu haben, bei dem die$U(1)_{em}$Generator ist eine Linearkombination von$U(1)_Y$und einige Generator von$SU(2)$, was in der Tat ein mögliches Muster ist.

Also das symmetriebrechende Muster$SU(2)\times U(1)_Y \rightarrow U(1)_{em}$mit$Q = Y + T_3$ist das minimale SSB-Muster, das der allgemeinen schwachen Phänomenologie entspricht. Es ist nicht der einzig mögliche Mechanismus, also ist es wirklich sehr schön, dass die Natur diesen gewählt hat. Es ist auch schön, weil es das vorhersagt$Z$Boson.

Ausführliche Antwort

Die Sache ist die, dass Sie eine a priori Interpretation der Eichgruppe, mit der Sie Ihre bestehende Theorie erweitern, nicht wirklich erzwingen können. Sie können nur über die Symmetrien Ihrer Theorie entscheiden.

Um die Dinge sehr allgemein zu halten, beginnen Sie damit, die Symmetriegruppe abzuschätzen$SU(2)$. Dieser hat drei Generatoren und erzeugt so drei unabhängige Ströme. Das Bündel von Symmetrien, die mit einer solchen Gruppe verbunden sind, ist allgemein als Isospin bekannt . Dies ist nicht auf die schwache Wechselwirkung beschränkt. Es gibt tatsächlich andere Objekte mit ähnlichen Symmetrien.

Wenn Sie versuchen, den Elektromagnetismus in Ihre Theorie "einzuquetschen", gehen Sie vor, indem Sie die Symmetriegruppe erweitern. Das bedeutet, dass Ihre Felder dann der Darstellung der erweiterten Gruppe entsprechen. Der natürliche Weg, dies zu tun, ist, von zu gehen$SU(2)$Zu$SU(2)\times U(1)$.

Denken Sie jetzt daran, dass es zu diesem Zeitpunkt nicht viel Sinn macht, etwas über die Art des Hinzufügens zu sagen$U(1)$Symmetrie. Und wir müssen das Neue tatsächlich analysieren$SU(2)\times U(1)$Gruppe als eine Einheit .

Sie müssen dann fortfahren, das allgemeinste Element der Gruppe zu schreiben, das es Ihnen ermöglicht, ihre Erzeuger zu identifizieren. Wenn Sie dann Ihre Gruppe messen, wird die kovariante Ableitung entsprechend geschrieben (siehe Peskin und Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory , S. 702 der Ausgabe von 1995):

$$D_\mu=\partial_\mu-igW^i_\mu T^i-ig'YB_\mu$$

Wo$W^i_\mu$Und$B^\mu$sind jeweils die "Vektorpotentiale", denen die zugeordnet sind$SU(2)$Und$U(1)$Symmetrien und die Faktoren davor sind die jeweiligen Ladungen eines gegebenen Teilchens unter der entsprechenden Gruppe.

Bisher hatten wir nicht die Muße, den verwendeten Symmetriegruppen eine eindeutige Bedeutung zuzuordnen, und mussten eher mechanisch vorgehen.

Wir müssen die Hyperladung einführen, weil wir die richtige Theorie haben wollen

Das ist wahr. Und mit richtiger Theorie meinen wir eine, die den Beobachtungen entspricht. Damit unsere Vereinigung von schwacher Wechselwirkung und EM erfolgreich ist, wollen wir daher unter den Merkmalen unseres neuen Modells ein Boson mit allen Merkmalen des Photons aus dem Elektromagnetismus zurückgewinnen.

Um dieses Photon aufzuspüren, stellen wir zunächst fest, dass es unter der Wirkung der gesamten Gruppe neutral sein muss. Durch die Einführung der obigen Ableitung in die Lagrange-Funktion für unsere Theorie (siehe P&S für Details) erhalten wir einen Teil, der neutrale Ströme proportional zu beschreibt

$$\mathcal{L}_{n.c}=\bar{\psi}\gamma_\mu[gT_3 W_3^\mu+g'YB^\mu]\psi~,$$

Wo$\psi$bezeichnet ein größeres Objekt (ein Element der Darstellung der Gesamtgruppe), ein Bündel von Teilchen, die durch die elektroschwache Wechselwirkung zusammengemischt werden, z$\nu_e^L, \nu_e^R, e_L, e_R$für die Wechselwirkung des Elektrons mit seinem Neutrino.

Um EM erscheinen zu lassen, muss man diesen neutralen Sektor dann "mischen", um einen Teil zu erhalten, der formal identisch mit dem Interaktionsteil des EM-Lagranges ist. Dies kann durch Betätigung der Drehung erreicht werden

$$B_\mu = A_\mu \cos\theta_W - Z_\mu \sin\theta_W$$ $$W_\mu^3 = A_\mu \sin\theta_W + Z_\mu \cos\theta_W$$

Dies reproduziert die gewünschte Lagrange-Funktion$\mathcal{L}_{\gamma}=\bar{\psi}\gamma_\mu eQ \psi A^\mu$wenn man den schwachen Winkel wählt $\theta_W$weise.

Es ist wirklich nicht schwierig, aber aus Angst, dass diese Antwort unerträglich technisch werden könnte, zitiere ich nur das Ergebnis (wieder von P&S):

$$e=\frac{gg'}{\sqrt{g^2+g'^2}}~,$$

Und

$$Q = T^3+Y~.$$

Abschluss

Das Fazit, das ich hoffentlich klarstellen kann, ist, dass Sie keine Wahl bei der Interpretation der physikalischen Natur eines Teils Ihrer Symmetriegruppe haben, bis Sie die Lagrange-Funktion ausgearbeitet haben. Erst dann können Sie Ihren freien Parametern die gewünschten Werte zuweisen, um Ihre Physik wiederherzustellen.

Daher die$U(1)_{EM}$das darin enthalten ist$SU(2)_L\times U(1)_Y$ist wirklich eine Kombination von Aspekten aus beiden$SU(2)_L$Und$U(1)_Y$.

Die Begriffe schwacher Isospin und schwache Hyperladung könnten jetzt sinnvoller sein, nachdem man erkannt hat, dass dies beide notwendige Aspekte der größeren Gruppe sind, die sowohl schwache als auch elektromagnetische Wechselwirkungen enthält.