Warum und wann kann die Erde als Trägheitsbezugssystem betrachtet werden?

Wenn Sie einen Ball über ein Feld werfen müssen, betragen die Korrekturen für die Drehung etwa 0,0001 g Beschleunigung. Klein genug, um für die 3 Sekunden, in denen der Ball in der Luft ist, ignoriert zu werden.

Wenn Sie ein Projektil in einen anderen Zustand schießen, summiert sich diese scheinbare Beschleunigung zu vielen Metern Ablenkung entgegen den Vorhersagen, wenn Sie einen Trägheitsrahmen für Berechnungen verwenden.

Die meisten Erfahrungen im menschlichen Maßstab haben keine ausreichende Entfernung oder Geschwindigkeit, damit der Fehler bei der Annahme eines Trägheitsrahmens offensichtlich wird. Die zusätzliche Komplexität der Berechnung der Änderungen aufgrund der Erdbewegung ist also unnötig. Genauso wie wir bei vielen Benchtop-Experimenten den Luftwiderstand und die Ungleichförmigkeit des Gravitationsfeldes ignorieren können.

Dazu gibt es keine feste Regel. Sie wählen einfach das einfachste Modell, das für Ihren Zweck ausreicht. Möchten Sie ein Rohr, das Wasser von der Spitze eines 10-Meter-Gebäudes zum Boden leitet? Wahrscheinlich kann die Erdrotation ignoriert werden, wie sich Drücke im Rohr entwickeln. Müssen Sie modellieren, wie Luft um den Planeten zirkuliert? Du kannst diese Abkürzung nicht nehmen.

Bedeutet das nicht, dass die Beschleunigungen aufgrund von Bewegungen, an denen die Erde beteiligt ist, viel kleiner sind als die Beschleunigungen, denen wir im täglichen Leben begegnen? Ist dies ein Unfall oder eine Folge einiger Eigenschaften des Universums?

Die Beschleunigungen aufgrund der Erdbewegung sind kleiner als die Beschleunigungen, die Sie im Alltag wahrnehmen . Es ist kein Zufall, es ist nur so, dass sich die Erde im menschlichen Maßstab ziemlich langsam dreht.

Holen Sie sich ein Karussell und schließen Sie einen Motor daran an, damit es sich alle 24 Stunden einmal dreht. Stellen Sie sich darauf und Sie werden nicht viel erkennen können. Beschleunigungen aufgrund der Erdumlaufbahn und aufgrund der galaktischen Rotation dauern noch länger und werden noch geringer ausfallen.

Die Coriolis-Korrekturen sind proportional zur Rotationsgeschwindigkeit des Rahmens ($\omega$). Eine Umdrehung pro Tag ist einfach nicht sehr groß.

Es ist notwendig, zwei Arten von Bewegungen zu unterscheiden, an denen die Erde beteiligt ist:

1. Die Drehung um die eigene Achse
2. Die Bewegung der Erde als Ganzes um die Sonne, das Zentrum der Galaxis usw.

Tatsächlich ist das OP zweideutig, ob es sich um den Referenzrahmen handelt, der der Erdoberfläche oder ihrem Zentrum zugeordnet ist - im letzteren Fall geht es nur um die zweite Art der Bewegung.

Freier Fall
Die Bewegung der Erde als Ganzes ist ein freier Fall im Gravitationsfeld. Das Äquivalenzprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie besagt, dass in diesem Fall das Bezugssystem als inertial betrachtet werden kann, da alle darin befindlichen Objekte die gleichen Erdbeschleunigungen erfahren und nur ihre relativen Beschleunigungen erfasst werden können.

Erdrotation
Ein an der Erdoberfläche angebrachtes Bezugssystem ist nicht träge, und es müssen fiktive Kräfte eingeführt werden: die Zentrifugalkraft, die Coriolis-Kraft und die Euler-Kraft. Diese Kräfte können vernachlässigt werden, wenn sie klein sind, wie in der älteren Version dieser Antwort beschrieben (siehe unten). Darüber hinaus kann man argumentieren, dass die Bedingungen auf der Erde zu instabil wären, um die Existenz von Leben zu ermöglichen, wenn diese nicht klein wären.

Kommentar
Die beiden obigen Punkte entsprechen im Wesentlichen den beiden Aufzählungszeichen im OP.

Danksagung
Ich schätze die Hilfe aller, die an der Diskussion teilgenommen und mir geholfen haben, verschiedene Teile dieser Antwort zu klären.

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Alte Version der Antwort

Der erste Punkt im OP ist die richtige Antwort:

Beschleunigungen, mit denen wir es zu tun haben (insbesondere ), viel größer sind als die Beschleunigungen aufgrund der anderen Bewegungen, an denen es beteiligt ist?

Den Kommentaren nach zu urteilen, haben viele Leute den Kern der Idee - außerdem wurde sie bereits in den im OP zitierten Antworten erwähnt. Der Versuch, alle möglichen Beschleunigungen zu berechnen – aufgrund der Rotation der Erde um ihre Achse, der Rotation um die Sonne, der Bewegung in Bezug auf die Galaxie – ist jedoch ein schwieriger (wenn nicht unmöglicher) Weg, dies zu beweisen.

Tatsächlich müssen all diese Beschleunigungen (und damit die Pseudokräfte, die auftreten, wenn die Erde als Trägheitsbezugssystem behandelt wird) klein sein im Vergleich zu typischen Beschleunigungen, die wir auf der Erde erfahren (die in der Größenordnung von$g$) als Bedingung der Stabilität unserer kleinen Welt.

Betrachten wir in der Tat die Beschleunigung aufgrund der Rotation der Erde mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass wir uns am Äquator befinden, die Bedingung, dass wir die Nichtträgheitseffekte vernachlässigen können, ist

$$a=\omega^2R\ll g.$$ Bemerkenswert ist, dass charakteristische Alltagsbeschleunigungen in der Größenordnung von liegen$g$oder kleiner, da die obige Bedingung zur Bedingung wird, dass wir es mit Geschwindigkeiten zu tun haben, die kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit sind : $$\omega^2R=\frac{v^2}{R}\ll \frac{GM}{R^2}.$$ Das heißt, wenn die fraglichen fiktiven Kräfte mit den Beschleunigungen vergleichbar wären, mit denen wir es zu tun haben, und wenn man davon ausgeht, dass diese fiktiven Kräfte auf die Bewegung im Schwerefeld zurückzuführen sind, würde unsere Umgebung nicht zusammenhalten.

Danksagung: Ich danke @rob dafür, dass er mich auf diese einfache Tatsache aufmerksam gemacht hat.

Der Grund, warum Sie die Rotationsbewegung der Erde für die meisten alltäglichen Zwecke ignorieren können, ist, dass die Bewegung kreisförmig mit einer langen Periode, einer konstanten Tangentialgeschwindigkeit und einem großen Radius ist. Diese Punkte bedeuten, dass wir nahe an der Trägheit sind – die Beschleunigung, die wir erfahren, ist rein zentripetal (dh nach unten) und klein im Vergleich zur nach unten gerichteten Schwerkraft. Unsere Tangentialgeschwindigkeit ist effektiv konstant. Die Krümmung des Weges, dem wir als Folge der Erdrotation folgen, liegt in der Größenordnung von einigen Zentimetern pro Meile (am Äquator am größten und an den Polen null), sodass sie kaum von einer geraden Linie abweicht. Das erklärt, warum die Erde für viele Zwecke als nahezu träge angesehen werden kann.

Wann müssen Sie die Beschleunigung durch die Erdrotation berücksichtigen, wenn Sie Berechnungen mit hoher Genauigkeit durchführen müssen oder wenn die Effekte, die Sie modellieren möchten, im Vergleich zur Krümmung des Pfades, dem wir folgen, über große Entfernungen auftreten .

Es gibt zwei Hauptklassen von Gründen, warum wir einen physikalischen Effekt ignorieren können, einschließlich des nicht trägen Referenzrahmens:

• Das System enthält Unsicherheiten, die ausreichend größer sind als die Auswirkungen, die wir zu ignorieren suchen.
• Das System wird gegen die Effekte stabilisiert, die wir zu ignorieren suchen.

In den meisten Situationen ist die erstere Bedingung der treibende Grund dafür, dass wir Nicht-Trägheitseffekte ignorieren können. Wenn Nicht-Trägheitseffekte meine Ergebnisse um 1 cm stören und meine Unsicherheiten in der Ausrüstung sie um 1 km stören, gibt es keinen Grund, die Nicht-Trägheitseffekte einzubeziehen. Und es ist keine Überraschung, dass mit zunehmender Präzision und Genauigkeit des Experiments die Fähigkeit, diese nicht-trägen Effekte zu ignorieren, abnimmt.

Der andere häufige Fall ist ein stabilisiertes System. Aus diesem Grund ignorieren wir normalerweise Effekte wie den Coriolis-Effekt, wenn wir Flugzeuge modellieren. In der Regel gibt es einen Piloten, der vergleicht, wo er sich befindet, und wo er sein möchte, und Korrekturen ausgibt. In diesen Fällen bemerken wir möglicherweise nicht einmal, dass der Effekt aufgetreten ist, obwohl Sie die Korrekturen sehen würden, wenn Sie genau genug hinsehen.

Ebenso gibt es Zeiten, in denen Sie Gravitationseffekte als Newtons Gesetz modellieren können,$\frac{GmM}{r^2}$. Die meiste Zeit ist das genau bis gut unter Ihren Unsicherheiten. Manchmal müssen Sie auf ein J2- Modell aufrüsten , das die nicht-kugelförmige Natur der Erde berücksichtigt. In anderen Fällen müssen Sie auf ein J4-Modell upgraden. Andere brauchen EGM2009 . Es hängt alles davon ab, wie Ihre Unsicherheiten und Stabilisierungsfähigkeiten im Vergleich zu den Ungenauigkeiten im einfacheren Modell abschneiden.

Und wenn es nicht klar ist? Die Bestimmung des zu verwendenden Modells kann in manchen Fällen tatsächlich eine Kunst sein. Normalerweise gehen wir auf Nummer sicher und verwenden ein Modell höherer Ordnung, wenn wir nicht beweisen können, dass seine Auswirkungen vernachlässigbar wären. Und die Schwellenwerte sind mathematisch nicht einfach. Unnötig zu sagen, dass ich viel mehr Anforderungen an die Präzision der Augenoperation stellen werde, die an meinen Augen durchgeführt wird, als wenn ich versuche, in einer Gelegenheitsliga einen Homerun zu erzielen.

Da Sie nach einer mathematischen Erklärung fragen, hier ist eine mit einem Augenzwinkern:

• Lassen Sie das Ergebnis, das wir aus unseren vereinfachten mentalen Modellen schätzen, sein$o_{estimated}$.
• Sei das tatsächlich beobachtete Ergebnis$o_{observed}$.
• Lass den Unterschied sein$\Delta o = o_{observed} - o_{estimated}$.

Dann können wir ignorieren$\Delta o$so lange wie$\Delta o \ll o_{observed}$.

Der große Elefant in diesem mathematisch geschmückten Raum ist die fehlende Definition von „$\ll$". Es ist einfach eine Abkürzung für "klein genug, um es zu ignorieren", was zu dem Zirkelschluss führt: "Sie können es ignorieren, solange Sie es ignorieren können" (dh solange es Ihnen nicht weh tut, es zu ignorieren). ¹ In unserem täglichen Leben vereinfachen wir ständig vieles, die Welt ist enorm komplex, aber das meiste geht uns nichts an.

Beispiele:

• Wir betrachten den Boden als eben.
• Wir gehen normalerweise nicht davon aus, dass die Schallgeschwindigkeit endlich ist.
• Wir denken nie, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist.
• Wir ignorieren die bekannte Tatsache, dass die Newtonsche Physik völlig und grundlegend falsch ist (Ihr Punkt: Stattdessen gewinnen sich bewegende Objekte an Masse, Beschleunigungskurven Raum, wir interagieren nur mit unserer unmittelbaren Umgebung (keine Ferninteraktion) usw.)
• Wir behandeln Oberflächen wie die Tischplatte, auf der ich sitze, als starre, kontinuierliche Ebene, die eine eindeutige Raumzeitkoordinate einnimmt. (Aber wir wissen, dass es aus Atomen mit Kernen und Elektronenhüllen besteht, und wenn wir ganz genau hinsehen, fällt es uns schwer, genau zu sagen, wo es sich jetzt oder wann befindet.)

All diese Vereinfachungen können gemacht werden, weil die Unterschiede zwischen den vereinfachten Vorhersagen und den Beobachtungen in unserem täglichen Leben gering sind.

Wenn das nicht mehr stimmt, müssen wir den Grad der Vereinfachung in unseren Modellen reduzieren. Beispiele entsprechend der obigen Liste:

• Sie können Objekte in großer Entfernung nicht beobachten.
• In einem Stadion kann man nicht synchron klatschen.
• Die Zeitintervalle zwischen den Finsternissen von Io scheinen mit den Erdjahreszeiten zu variieren.
• Die Atomuhren in Ihren GPS-Satelliten sind zu schnell, obwohl wir sie vor dem Start einer sorgfältigsten Qualitätskontrolle unterziehen.
• Wenn wir Kristalle mit Röntgenstrahlen beschießen, beobachten wir regelmäßige Muster, die darauf hindeuten, dass feste Materie eine innere Struktur hat.

Die ganze Mathematik läuft also auf "Sie können ungestraft vereinfachen, bis Sie nicht mehr können". Dies ist eigentlich ein Sonderfall des sehr allgemeinen Grundsatzes "Sie können die Realität ignorieren, bis Sie es nicht mehr können".

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_{¹ Diese pragmatische Haltung, die wir einnehmen müssen, um nicht in irrelevanten Details zu ertrinken, wurde Anfang des 20. Jahrhunderts von William James untersucht. Er entwickelte eine Wahrheitstheorie des Pragmatismus , die in typisch amerikanischer Manier metaphysische Esoterik meidet und stattdessen auf Nützlichkeit setzt. In Vorlesung 6 schrieb er:}

Der Pragmatismus hingegen stellt seine übliche Frage. „Gib einer Idee oder Überzeugung zu, dass sie wahr ist“, heißt es darin, „welchen konkreten Unterschied macht es im tatsächlichen Leben eines Menschen, ob sie wahr ist? Wie wird die Wahrheit erkannt? Welche Erfahrungen werden sich von denen unterscheiden, die man erhalten würde, wenn die Überzeugung falsch wäre • Was ist, kurz gesagt, der Barwert der Wahrheit in erfahrungsmäßiger Hinsicht?

Einführende Gedanken

Was bedeutet es, die Erde als Inertialsystem zu behandeln? Ich würde sagen, es bedeutet, dass wir so tun, als wäre die Erde eine unendliche Ebene, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in eine Richtung bewegt. Dies erklärt viele alltägliche Phänomene, da wir so klein sind, dass wir im Wesentlichen immer in der Tangentialebene der Erde leben, und für diejenigen von uns, die keine Profis in der Luft- und Raumfahrt sind, neigen Objekte, die wir in die Luft werfen, dazu, vor der Tangente zu landen Ebene der Erde ändert sich sehr stark.

Diese Annahme ist gut, solange die Abweichung einer interessierenden Bewegung kleiner ist als eine gewisse Akzeptanzschwelle von der Bewegung, die Nicht-Trägheitseffekte berücksichtigt. Beachten Sie, dass die Abweichung der Bewegung bei genügend Zeit im Wesentlichen immer über jeden Schwellenwert ansteigt (selbst wenn ich mich bewerbe$10^{-12}$N zu Ihnen, wenn ich es kontinuierlich über eine lange genug Zeit mache, werden Sie schließlich bemerken, dass Sie relativ zu dem Ort verschoben sind, an dem Sie sich befinden würden, wenn keine Kraft ausgeübt würde. Der Aufbau eines kleinen Effekts, der immer in die gleiche Richtung zeigt, bis er zu einem großen Effekt wird, wird manchmal als Säkularvariation bezeichnet .

Wir können diese allgemeinen Punkte mit dem einfachen Beispiel einer gleichmäßigen Beschleunigung in einer Dimension veranschaulichen. Dann ist die Flugbahn ein "Trägheitsbeobachter".$x_I (t) = x_0 + v_0 t$, und einen beschleunigten Beobachter, der mit dem Trägheitsbeobachter bei "übereinstimmt".$t=0$hat eine Flugbahn$x_A (t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = x_I(t) + \frac{1}{2} a t^2$. Wir interessieren uns für den Fehler, den wir beim Ignorieren des Beschleunigungsterms machen, im Vergleich zu einem akzeptablen Fehlerniveau in der Position$\Delta x$

$$\begin{equation} \epsilon = \frac{\left| x_I(t) - x_A(t) \right| }{\Delta x} = \frac{a t^2}{2\Delta x} = \left(\frac{t}{t_A} \right)^2 \end{equation}$$ Wo$t_A = \sqrt{2 \Delta x / a}$ist die Zeitskala, über die die Nicht-Trägheitseffekte wichtig werden.

Der Fehler wächst mit$t$, wird aber nur dann groß, wenn$t$ist von Ordnung die Zeitskala$t_A$. Vorausgesetzt, wir haben eine gewisse feste Toleranz in der Position$\Delta x$, und dass ein typisches Experiment auf einer menschlichen Zeitskala stattfindet$t_H$, können wir den Beschleunigungseffekt vernachlässigen, wenn$t_H \ll t_A$, welches benötigt$a$kleiner sein als$\Delta x / t_H^2$. Diese Form dieses Skalierungsarguments gibt uns eine Intuition dafür, was in allgemeineren Fällen zu erwarten ist.

Rotation der Erde

Der wahrscheinlich offensichtlichste Nicht-Gravitations-, Nicht-Trägheitseffekt ist die Rotation der Erde. Ich denke, dieser Punkt wurde von anderen Antworten sehr gut abgedeckt, und ich stimme der Schlussfolgerung zu, dass die Größe von Dingen wie der Coriolis-Kraft so gering ist, dass Sie sie über "menschliche" Zeitskalen nicht bemerken. Der Parameter, der die Kleinheit der Rotationseffekte der Erde steuert, ist die Winkelgeschwindigkeit.

...

Nun, eigentlich ist das nicht ganz richtig, da die Bewegung der Erde sehr kompliziert ist, und zusätzlich zur täglichen Rotation gibt es auch Präzession und Nutation - während alle nicht-Trägheitskräfte aus diesen Effekten nach vernünftiger Definition winzig sind, wenn man säkulare Effekte versteht Präzession sind für Astronomen entscheidend).

Gravitations- und Gezeiteneffekte von Erde und Mond

Die Schwerkraft macht dies etwas schwierig, aber ich denke, ein gleichmäßiges Gravitationsfeld kann als "gutartige" Form der Nichtträgheit angesehen werden, da ein gleichmäßiges Gravitationsfeld nach dem Äquivalenzprinzip einfach ein gleichmäßig beschleunigender Bezugsrahmen ist. Ich denke also, wir können sagen, dass die Erde "träge genug" ist, solange das Gravitationsfeld "nah genug" an der Uniform ist. Die Erdbeschleunigung$\vec{g}$für einen isolierten, kugelförmigen Massekörper$M$Ist

$$\begin{equation} \vec{g} = \frac{GM}{r^2} \hat{e}_r = \frac{GM}{R^2} \left(1 - 2 \frac{\delta r}{R} + \cdots \right) \vec{e}_r \end{equation}$$ Wo$\hat{e}_r$ist ein Einheitsvektor, der vom Beobachter zum Erdmittelpunkt zeigt, und$R$ist der Radius der Erde. In der zweiten Gleichheit haben wir die Entfernung von der Erde zum Beobachter als geschrieben$r=R+\delta r$, Wo$\delta r$ist der radiale Abstand des Punktes zur Erdoberfläche und erweitert nach innen$\delta r / R$. Gezeitenkräfte aufgrund einer Ungleichmäßigkeit der Erdbeschleunigung stammen aus dem zweiten Term,$\delta r/R$. Solange die Höhe eines Objekts über der Erdoberfläche ein kleiner Bruchteil des Erdradius ist, können wir das Gravitationsfeld der Erde als gleichförmig behandeln. Dies ist eine gute Annäherung, wenn Sie einen Apfel 1 Meter in die Luft werfen. Es ist keine gute Annäherung, wenn Sie einen Satelliten in die Umlaufbahn bringen.

Sie können versuchen, subtilere Dinge zu erklären, wie die Tatsache, dass die Erde keine perfekte Kugel ist. Die nächstbeste Annäherung wäre zu sagen, dass die Erde eine Ellipse ist; Sie erhalten einen weiteren Satz Korrekturen proportional zur kleinen Elliptizität der Erde.$e$. Noch subtilere Effekte ergeben sich aus der lokalen Topographie der Erde; diese werden etwa durch die Höhe der Topographievariation (z. B. die Höhe eines Berges) über dem Erdradius unterdrückt. All diese Effekte machen sich tatsächlich bemerkbar, wenn man hochpräzise Messungen des Gravitationsfeldes der Erde durchführt.

Wir können auch die Gezeitenkräfte vom Mond aus betrachten. Hier$\delta R$ist das gleiche, aber jetzt$M$kleiner ist (es ist die Masse des Mondes anstelle der Erde) und$R$viel größer ist (die Differenz des Mondmittelpunkts zur Erdoberfläche), also die Gezeitenkraft$\sim GM \delta r / R^3$ist viel, viel kleiner als die Gezeitenkraft der Erde selbst. Die Gezeiten nehmen wir natürlich wahr; Dies läuft im Grunde auf die Tatsache hinaus, dass wir im Vergleich zur Erde klein sind, also bemerken wir kleine Veränderungen, und 12 Stunden sind ein wesentlicher Bruchteil der Periode der Erdrotation$\omega t$wird von der Ordnung 1. Genauer gesagt unterscheidet sich die Gezeitenkraft des Mondes von der eigenen Gezeitenkraft der Erde$R$(wie ich es definiert habe) ist zeitabhängig, und es ist oft viel einfacher, einen zeitlich variierenden kleinen Effekt zu sehen als einen konstanten.

Bewegung durch den Kosmos

Wenn man schließlich die Bewegung der Erde durch den Kosmos betrachtet, wie auch in anderen Antworten diskutiert wurde, ist die frei fallende Bewegung träge. Wenn es wirklich nicht-gravitative Kräfte gibt, die die Erde / das Sonnensystem / die Galaxie erfahren, müssen diese auf einer so langen Zeitskala wirken, dass sie für erdbasierte Messungen nicht von Bedeutung sind.

Einpacken

Ich denke, die meisten Punkte hier würden sich auf andere Planeten verallgemeinern oder Ihnen zumindest eine Bedingung geben, um zu überprüfen, ob sie sich verallgemeinern würden. Während Sie jeden Effekt von Fall zu Fall abwägen müssen, gibt es immer (a) einen kleinen Parameter, der den Nicht-Trägheitseffekt steuert, sei es die Rotationsgeschwindigkeit für die Erdrotation,$\delta R/R$für Gezeiteneffekte, die Elliptizität usw. und (b) eine Zeitskala, die uns sagt, wann säkulare Effekte wichtig werden.

Wenn wir die Schwerkraft zwischen Planeten, Sternen und Satelliten von der gleichen Kraft trennen könnten, die jeder Himmelskörper auf lose Objekte auf seiner Oberfläche ausübt, wären die Auswirkungen eines nicht-trägen Rahmens offensichtlich.

Zum Beispiel: Die Erde ist ein nicht inertialer Rahmen, weil sie die Sonne umkreist. Wenn also mittags ein 3 kg schweres Buch auf einer Küchenwaage gewogen wird, wirkt eine Zentripetalkraft von

$$m \omega^2 R = 3*(2\pi \frac{1}{365*24*3600})^2 * 150*10^9 \approx 0.02 N$$

das sollte anscheinend zum Gewicht hinzugerechnet werden. Es bedeutet 2 Gramm, was sogar mit einer billigen Waage festgestellt werden könnte. Aber es gibt keinen Unterschied des Gewichts des Buches im Laufe des Tages. Und der Grund dafür ist nach Newtons Theorie, dass das Buch von der Sonne mit der gleichen Kraft angezogen wird und sich die Effekte aufheben.

Die umlaufenden Himmelskörper sind also einerseits beschleunigte Gerüste, andererseits fehlen aufgrund der Gravitationskräfte die erwarteten, daraus resultierenden fiktiven Kräfte.

Ausnahme ist die Rotation um die eigene Achse. Wenn es eine genaue Möglichkeit gibt, die Richtung einer geraden Linie von der Oberfläche zum Mittelpunkt zu kennen, zeigen Geräte wie ein Lot aufgrund der fiktiven Zentrifugalkraft eine Abweichung an.

Bewegung in der Nähe der Erde ist im Grunde träge, wenn ein Objekt nicht von irgendetwas "geschoben" wird! Wenn Sie einen Stein werfen, bewegt er sich (abgesehen vom Luftwiderstand) in Trägheitsbewegung, bis er auf dem Boden auftrifft .

Die Bewegung der Erde um das Sonnensystem, die Galaxie usw. ist irrelevant, wenn Sie nicht geschubst werden, und ist völlig dominant, wenn Sie auf dem Boden sind !

Artillerie ist auch in Trägheitsbewegung; Der Coriolis-Effekt ist ein Artefakt, das nur für Beobachter am Boden sichtbar ist !

Die Komponenten der Erdrotation am Breitengrad$\lambda$Sind:

$$\mathbf \Omega_E=\begin{bmatrix} 0\\ \cos(\lambda)\, \Omega\\ \sin(\lambda)\,\Omega\\ \end{bmatrix}$$

Von hier aus können wir die Pseudokräfte aufgrund der Erdrotation erhalten

$$\mathbf F_s=m\,\big(2\,(\mathbf\Omega_E\,\times \mathbf{\dot{R}})+\mathbf\Omega_E\times\,(\mathbf\Omega_E\times \mathbf R)\big)$$

Wo

$$\mathbf R=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix}\quad,\text{is the postion vector}$$

$$\frac{\mathbf F_s}{m}= \left[ \begin {array}{c} \left( \left( \cos \left( \lambda \right) \right) ^{2}x+ \left( \sin \left( \lambda \right) \right) ^{2}x \right) {\Omega}^{2}+ \left( -2\, \cos \left( \lambda \right) { \dot{z}}+2\, \sin \left( \lambda \right) {\dot{y}} \right) \Omega \\ \left( - \sin \left( \lambda \right) \cos \left( \lambda \right) z+ \left( \sin \left( \lambda \right) \right) ^{2}y \right) {\Omega}^{2}-2\, \sin \left( \lambda \right) \Omega\,{\dot{x}}\\ \left( \left( \cos \left( \lambda \right) \right) ^{2}z- \cos \left( \lambda \right) \sin \left( \lambda \right) y \right) {\Omega}^{2}+2\, \cos \left( \lambda \right) \Omega\,{\dot{x}}\end {array} \right]$$

Die EOMs befinden sich im rotierenden System im freien Fall

$$\begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \\ \end{bmatrix}=-\frac{\mathbf F_s}{m}-\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ g \\ \end{bmatrix}\tag 1\\ g=\frac{G\,M_E}{(R_E+z)^2}=\frac{M_E}{\big(R_E\,(1+\frac{z}{R_E})\big)^2 }\approx \frac{G\,M_E}{R_E^2}$$ Wo$~R_E~$ist der Erdradius,$~M_E~$Erdmasse und G die Gravitationskonstante

mit$~\Omega=7.2710^{-5}~$[1/s]$~~,\lambda=\frac{40}{180}\,\pi~$

$$\frac{\mathbf F_s}{m}=\left[ \begin {array}{c} 0.000000005285290000\,x- 0.0001113828620\,{ \dot z}+ 0.00009346131845\,{\dot y}\\ - 0.000000002602497284\,z+ 0.000000002183754512\,y- 0.00009346131845\,{ \dot x}\\ 0.000000003101535488\,z- 0.000000002602497284\,y+ 0.0001113828620\,{\dot x}\end {array} \right]$$

daher$\frac{\mathbf F_s}{m}\approx \mathbf 0~$und Gleichung (1) ist der Trägheitsfall.