Warum verhält sich der Druck in der Atmosphäre exponentiell?

Betrachten wir die Unterschiede zwischen dem Meer und der Atmosphäre. Die Atmosphäre ist eine Schicht aus Gas, während das Meer eine Schicht aus (fast) nicht komprimierbarer Flüssigkeit ist. Wir können die Eigenschaften dieser verwenden, um die Druckänderung mit der Tiefe abzuleiten.

In beiden Situationen müssen wir die Kräfte aus Luftdruck (Wasserdruck) und Schwerkraft ausgleichen.

Betrachten Sie zuerst die Luft. Da Luft (näherungsweise) ein ideales Gas ist, ist die Dichte gegeben durch$\mu p / RT$Wo$\mu$ist die durchschnittliche Molmasse der Luft. Die Kraft des Luftdrucks auf eine dünne „Luftplatte“ in der Höhe$z$mit Dicke$\Delta z$und Bereich$A$Ist$( p(z) - p(z + \Delta z) )A$, wobei oben als positiv angesehen wird. Die Schwerkraft ist gleich der Dichte mal dem Volumen, oder$- \left( \frac{\mu p g}{RT} \right) (A \Delta z)$. Die Kräftebilanz lautet

$$(p(z + \Delta z) - p(z))A = - \left( \frac{\mu p g}{RT} \right) (A \Delta z)$$ $$\frac{dp}{dz} = \frac{ p(z + \Delta z) - p(z) }{\Delta z} = -\frac{\mu p g}{RT}$$

in der Grenze als$\Delta z \to 0$. Weil$dp / dz$ist proportional zu$p$, wir haben eine exponentielle Abhängigkeit,$p \propto \exp(-\frac{ \mu g z }{ RT })$.

Betrachten Sie nun das Wasser. Da Wasser eine inkompressible Flüssigkeit ist, ist die Dichte durchgehend konstant, sei es so$\rho$. Dann zeigt die Kraftbilanz in der Tiefe an$z$,

$$(p(z) - p(z + \Delta z))A = - (\rho g) (A \Delta z) .$$

Beachten Sie den Unterschied in den Vorzeichen: Konventionell lassen wir$z$sei die Tiefe unter der Wasseroberfläche im Gegensatz zur Höhe über dem Meeresboden.

So können wir schreiben

$$\frac{dp}{dz} = \frac{ p(z + \Delta z) - p(z) }{\Delta z} = \rho g .$$

Da die Ableitung konstant ist, können wir schreiben$p = p_0 + \rho g z$, was ein linearer Gradient ist.

Zusammenfassung. Der Unterschied in der Art der Druckgradienten entsteht dadurch, dass die Dichte im Meer (nahezu) konstant ist, während die Dichte in der Luft linear proportional zum Druck ist.

Gase sind komprimierbar; so wie das Gewicht der darüber liegenden Schichten Druck auf das Gas ausübt; Das Gas wird auch dazu neigen, sich selbst zu komprimieren.

Dies bedeutet, dass Sie eine dickere Atmosphäre erhalten; das Gewicht nimmt nicht nur zu, weil mehr Flüssigkeit darüber ist; es ändert sich auch, weil je flüssiger es darüber ist; Je größer die Dichte der Flüssigkeit, desto stärker wird sie durch das Gewicht komprimiert. Dies alles hängt mit dem idealen Gasgesetz zusammen .

Wasser ist bei moderaten Drücken praktisch nicht komprimierbar, verhält sich also nicht so und hat näherungsweise nur die lineare Wirkung des hydrostatischen Drucks .

Stickstoff- und Sauerstoffmoleküle sind nicht aneinander gebunden und bewegen sich unabhängig voneinander. Ihre Höhenverteilung ist durch den Boltzmann-Faktor gegeben:

$$P(E) \propto \exp\frac{mgh}{kT},$$ Wo $mgh$ist die Gravitationspotentialenergie eines Luftmoleküls und ist $kT$die Wärmeenergie bei der Temperatur $T\approx 260$Kelvin. Diese Exponentialverteilung stimmt einigermaßen mit der barometrischen Formel und der Skalierungshöhe der Atmosphäre überein.

Wassermoleküle haften zusammen. Die Gravitation wirkt auf die kondensierte Flüssigkeit als Ganzes. Die Dichte ist hoch und nahezu konstant, da die Kompressibilität der Flüssigkeit gering ist. Mit Druck als Gewicht des darüber liegenden Materials ergibt dies einen linearen Druckanstieg.