Warum widerspricht das Stern-Gerlach-Quantenspin-Experiment der klassischen Mechanik?

HINWEIS : Diese Antwort ignoriert den anfänglichen Drehimpuls entlang des magnetischen Moments und ist daher nicht direkt auf die im eigentlichen Stern-Gerlach-Experiment verwendeten Silberatome anwendbar. Siehe die Antwort von Michael Seifert , die den Drehimpuls berücksichtigt.

Der Magnet hat ein endliches Trägheitsmoment. Was würde passieren, wenn der Magnet mit "falscher" Ausrichtung in den Stern-Gerlach-Apparat eintritt? Natürlich übt das Magnetfeld ein Drehmoment darauf aus. Der Magnet beginnt sich zu drehen. Nachdem er die Gleichgewichtsorientierung erreicht hat, dh entlang des Feldes orientiert ist, ist das Drehmoment Null, aber die Winkelgeschwindigkeit ist maximal, und der Magnet schwingt über – genau wie bei der Bewegung eines gewöhnlichen Oszillators.

Wenn Sie das durchschnittliche magnetische Moment über die gesamte Bewegungszeit finden, dh mehrere Schwingungsperioden, werden Sie feststellen, dass es eine geringere Größe hat als das tatsächliche magnetische Moment des Magneten. Dies bedeutet, dass die Nettoverschiebung in Feldrichtung kleiner ist. Wenn es nun viele solcher identischer Magnete mit zufälligen Anfangsorientierungen gibt, haben sie alle ein zufälliges durchschnittliches magnetisches Moment, und daher bildet ihre Verschiebung ein Kontinuum anstelle von nur zwei Punkten.

Angenommen, Sie haben eine große Anzahl kleiner klassischer magnetischer Dipole mit magnetischem Moment geschossen$\vec{\mu}$durch das Feld. Stellen Sie sich vor, die Dipole seien klein genug, dass sie als Teilchen eines idealen Gases behandelt werden könnten, und sie würden aus irgendeiner Quelle in das Magnetfeld "gekocht".

Wir würden dann erwarten, dass jede der Geschwindigkeitskomponenten des Teilchens gemäß der Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung zufällig verteilt ist – denn das ist das klassische Ergebnis für ein ideales Gas. Die Ausrichtung ihrer magnetischen Momente würde also ebenfalls zufällig beginnen.

Die Dipole würden sowohl eine Kraft als auch ein Drehmoment von dem Magnetfeld erfahren. Das Drehmoment würde dazu führen, dass sie sich drehen, und die Kraft würde, wie Sie sagten, dazu neigen, sie mit dem Magnetfeld auszurichten, bis sie sich in einem minimalen Energiezustand befinden. Diese Ausrichtung würde jedoch einige Zeit in Anspruch nehmen, und da sie mit zufälliger Geschwindigkeit und zufälliger Ausrichtung ihres magnetischen Momentvektors zum Feld begannen, würden ihre endgültigen Geschwindigkeiten, sobald sie ausgerichtet waren, eine gewisse Variation zeigen.

Der Schlüssel, der die Bewegung der Partikel verändert, NACHDEM sie ausgerichtet sind, ist jedoch das ungleichmäßige Magnetfeld. Angenommen, das Feld liegt in der z-Richtung und ändert sich mit z.

Die Partikel befinden sich in einem Zustand minimaler potentieller Energie, sobald sie mit potentieller Energie ausgerichtet sind

$E=-\vec{\mu} \cdot\vec{B} = -\mu B$

Aber das Magnetfeld$B(z)$variiert mit z, so dass der Dipol immer noch eine Kraft erfährt

$\dfrac{\partial E}{\partial z} = F(z) = \mu\dfrac {\partial B(z)}{\partial z}$

Die klassischen Dipole mit zufällig verteilten Orientierungen und Geschwindigkeiten des magnetischen Moments zu Beginn driften also in verschiedene Richtungen und treffen auf verschiedene Positionen auf dem Detektor.

Aber wenn die magnetischen Dipole irgendwie auf nur zwei mögliche Anfangsrichtungen beschränkt wären, würden Sie erwarten, eine Konzentration von Treffern an zwei Stellen des Detektors zu sehen und sonst nichts. Sie würden mit nur zwei Ausrichtungen in Bezug auf das Feld beginnen und am Ende nur in zwei Konzentrationen auf dem Detektor abgelenkt werden. Sie hätten nur zwei Endzustände zum "Ausrichten" mit dem Magnetfeld und driften dann aufgrund des ungleichmäßigen Magnetfelds auseinander.

Das Stern-Gerlach-Experiment ist also ein Beweis dafür, dass das magnetische Moment von Elektronen in Atomen und damit der Elektronenspin quantisiert ist, weil die Ergebnisse dem zweiten Fall oben ähneln, nicht dem ersten. Die Anfangsrichtung des magnetischen Moments des Elektrons ist durch die Quantisierung des Spins begrenzt.

Die entscheidende Erkenntnis ist, dass die Teilchen einen Drehimpuls haben$\vec{L}$ausgerichtet auf ihr magnetisches Moment$\vec{\mu}$. Speziell,$\vec{\mu} = \gamma \vec{L}$, wo$\gamma$ist das gyromagnetische Verhältnis .

Wenn also ein solches Teilchen in ein Magnetfeld eintritt und wir versuchen, es klassisch zu behandeln, würden wir erwarten, dass es ein Drehmoment erfährt, das seinen Drehimpuls ändert:

Dies kann als Gleichung für die Kreiselpräzession erkannt werden. Dies impliziert, dass der Drehimpuls (und damit das magnetische Moment des Teilchens) klassischerweise nicht "umkippen" wird, um entlang zu zeigen$\vec{B}$. Stattdessen wird es um die Achse präzedieren$\vec{B}$; und vor allem die Komponente von$\vec{L}$eine lange$\vec{B}$wird jederzeit konstant bleiben.

Wenn wir also ein Bündel klassischer Teilchen in ein Stern-Gerlach-Gerät mit einem Magnetfeld entlang der$z$-Richtung, würden wir erwarten, dass sie nach ihrer sortiert werden$L_z$Komponente. Klassischerweise ist diese Menge vollständig kontinuierlich, und daher würden wir eine kontinuierliche Ausbreitung von Stößen entlang des Bildschirms erwarten. Dies ist natürlich nicht das, was wir tatsächlich beobachten.