Warum wird für kleine Arbeit immer dW=F⋅dxdW=F⋅dxdW=F \cdot dx genommen und nicht dW=x⋅dFdW=x⋅dFdW=x \cdot dF?

Sehr schöne Frage! Sie können dies aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ersehen:

Nun möchte ich diese Bewegungsgleichung nach der Zeit integrieren, um auf die Energieerhaltung zu kommen. Dazu multipliziere ich beide Seiten mit$\dot{\mathbf{x}}$:

und schließlich integrieren:

Die linke Seite gibt mir die kinetische Energie. Die rhs gibt mir genau das fragliche Integral:

Die von der Kraft geleistete Arbeit ist also die kinetische Energie des Teilchens (bis auf eine Integrationskonstante, die seine Gesamtenergie darstellt).

Die Antwort auf Ihre Frage hängt davon ab, wie wir Arbeit definieren.

Definition : Eine Kraft verrichtet Arbeit, wenn sich bei ihrer Wirkung der Angriffspunkt in Richtung der Kraft verschiebt.

In Laiensprache: Um Arbeit zu verrichten, braucht man Verschiebung, nicht nur Kraft.

In der Gleichung$dW=x.dF$, betrachten wir eine Kraftänderung an einer konstanten Position von einem Bezugspunkt (Ursprung). Gemäß unserer Definition wird keine Arbeit geleistet, weil es keine Verdrängung gibt. Um es besser zu verstehen, nehmen Sie an, dass es einen schweren Block gibt und Sie eine variable Kraft darauf anwenden.

Egal wie stark Sie drücken, Sie werden nicht in der Lage sein, ihm etwas Geschwindigkeit zu geben. Das Arbeits-Energie-Theorem besagt, dass sich die kinetische Energie des Körpers ändert, wenn eine Kraft effektive Arbeit leistet. Aber in unserem Fall gibt es keine Änderung der kinetischen Energie, was bedeutet, dass Sie keine Arbeit leisten. Dies ist ein ziemlich guter Weg, um zu verstehen, was Arbeit ist.

Andererseits in der Gleichung$dW=F.dx$, betrachten wir eine infinitesimale Verschiebung für eine konstante Kraft. Hier wird gearbeitet, da wir eine Kraft und eine Verschiebung haben. Wenn wir eine variable Kraft haben, müssen wir unser Verfahren zur Berechnung der Arbeit in infinitesimale Verschiebungen aufteilen, für die die Kraft als konstant angenommen werden kann.

Es gibt bereits einige gute Antworten. In dieser Antwort werden wir nur ein geometrisches Argument hervorheben.

1. Einerseits Arbeit (innerhalb der Newtonschen Mechanik)

   $$\mathrm{d}W=\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}$$ ist eine skalare Größe, was bedeutet, dass sie vom Koordinatensystem unabhängig ist.

2. Andererseits die Menge$\vec{r}\cdot \mathrm{d}\vec{F}$hängt vom Koordinatensystem ab. Wählen wir zB die$\vec{r}=\vec{0}$um der Ursprung zu sein, verschwindet die Quantität.

Auch wenn Sie sich von physikalischen Argumenten nicht beirren lassen, sollten Sie es sich gut überlegen, nicht-geometrische Größen einzuführen.

Weil Arbeit$W$ist eine Kraft$F$einen Positionswechsel hervorrufen$\Delta x$.

Nicht nur eine Kraft$F$eine Stellung verursacht$x$. Oder eine Änderung in einer Kraft$\Delta F$eine Stellung verursacht$x$. Beides macht nicht viel Sinn. Wir sprechen von einem Positionswechsel – so wird Arbeit definiert.

Und so eine Veränderung$\Delta x$ist einfach symbolisiert$dx$wenn es sehr, sehr (unendlich) klein ist.

Die beiden geben sehr unterschiedliche physikalische Ergebnisse. Betrachten Sie eine Kraft von$1~\rm N$Anwendung über eine Distanz von$1~\rm m$. Die Arbeit wird korrekt berechnet als:

Der Versuch, die andere Formel anzuwenden, ergibt nichts Vernünftiges. Die Kraft ändert sich nicht, so offensichtlich$d\vec F=0$:

Dies würde bedeuten, dass eine konstante Kraft, die über eine beliebige Entfernung ausgeübt wird, immer null Arbeit ergibt. Ganz klar, das ist Unsinn.

$F(x,t)$kann immer als Funktion des Ortes (und der Zeit) ausgedrückt werden; Es ist jedoch im Allgemeinen falsch , die Position als Funktion der Kraft zu schreiben (sowie$x(F)$wird es versäumen zu beschreiben, wie die Natur funktioniert.)

Um zu sehen, warum: Wenn man bedenkt, dass ein Objekt von einer konstanten Kraft beaufschlagt wird, ist eine solche Funktion immer mehrwertig , sie ist so schlecht definiert , dass die Eingabe immer gleich ist, während die Ausgabe immer unterschiedlich ist. Daher dies$x(F)$kann die Bewegung des Objekts zu keinem bestimmten Zeitpunkt vorhersagen.

Lassen Sie uns nun sehen, wie es mit der Physik nicht stimmt: Nehmen wir an, wir schaffen es, den Bereich unter dem zu finden$\int x(F,t)dF$. Daher kennen wir die „erledigte Arbeit“. Die Fläche unter einem Objekt unter konstanter Kraft ist jedoch Null , da es sich um eine vertikale gerade Linie handelt, aber sie ist schlichtweg falsch ! Das Objekt beschleunigt; daher muss etwas dem Objekt Energie zuführen! Die geleistete Arbeit darf nicht Null sein!

Alles in allem mathematisch "$x\,dF$" ist schlecht definiert. Physikalisch beschreibt es die Physik so falsch.

Ich verbrachte einige Zeit damit, darüber nachzudenken, weil ich keine der Antworten zufriedenstellend fand. Das dachte ich eine Weile$dW = dF \cdot S$ist auch gültig, wird aber selten physisch gesehen. Letztendlich überzeugte ich mich jedoch davon, dass$dW = F \cdot dS$, und kann nicht umgekehrt sein.

Die zentrale Erkenntnis ist, dass Arbeit nur dann stattfindet, wenn es zu einer Verdrängung kommt. Ein schweres Objekt auf konstanter Höhe zu halten, ist keine Arbeit (in der Physik). Verschiebung ist per Definition$dS$. Wenn$dS$Null ist, dann kann es keine Arbeit geben. Nur$dW = F \cdot dS$erfüllt diese Anforderung.

Was aber, wenn wir eine unterschiedliche Kraft haben, die über eine konstante Verschiebung wirkt? Nehmen wir an, ich wende die Kraft an$F = \mathrm{sin}(x)$über einen Meter Verdrängung. Dies erfüllt vordergründig die Anforderungen: eine variierende Kraft und eine konstante Verschiebung. Aber wenn wir uns die offensichtliche Gleichung für die resultierende geleistete Arbeit ansehen

$W = \int \mathrm{sin}(x) \times 1 \mathrm{m}$

Es wird deutlich, dass auch dann die verwendete Formel tatsächlich stimmt$dW = F \cdot dS$! Die Gleichung hat nur eine Variable, was bedeutet, dass es nur eine Integrationsvariable geben kann -$dx$(was gleich ist$dS$in 1D). Die "konstante Verschiebung" ist überhaupt nicht konstant. In der Tat, dass ein Meter gleich ist$dS$

tl; DR:$dW = F \cdot dS$ist die einzige physikalisch sinnvolle Gleichung. Ich weiß nicht, ob dies die Antwort ist, nach der Sie suchen, aber es ist die, die die Frage für mich beantwortet hat.

Die Antwort ist sehr einfach, (kleine, nützliche ) Arbeit ist definiert als dW = F.dX.
Es gibt eine andere Art von (" nicht nützlicher ") Arbeit, die durch dW = X.dF gegeben ist.
Ein Beispiel dieser Art ist eine Person, die ein bestimmtes Gewicht hebt, indem sie eine Kraft von weniger als mg anwendet. Da sich die Kraft von 0 auf fast mg ändert, wird keine (nützliche) Arbeit verrichtet (das Gewicht bewegt sich nicht).