Warum wurden Indikationsgleichungen so benannt?

"Indizial" leitet sich von "Indizes" ab, in diesem Fall Indizes der Koeffizienten. Das lateinische Wort indicium bedeutete ursprünglich Zeichen, Hinweis. "Indizierte Gleichung" wird am häufigsten im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen der Form verwendet$a_nx^n\frac{d^n}{dx^n}+\dots+a_1x\frac{dy}{dx}+a_0y=0$. Eine bereits Euler bekannte Substitution reduziert sie auf eine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten, deren charakteristische Gleichung die "Indizialgleichung" des Originals heißt.

Euler, der eine allgemeine Methode zum Lösen dieser Art von Gleichungen angab, verwendete weder den Begriff noch die Notation. Vor allem hatten seine Koeffizienten keine Indizes wie$a_n$, was die Argumentation etwas umständlich macht. In moderner Notation wird die Indizialgleichung direkt aus den indizierten Koeffizienten gebildet. In What’s in a Name: Why Cauchy and Euler Share the Cauchy-Euler Equation zitiert Parker Sandifers Ansicht über die Bedeutung dieser Gleichung (aus seiner Arbeit Some Facets of Euler’s on Series, in dem Band Leonhard Euler: Life, Work and Legacy). ):

" In der Tat bemerkte CE Sandifer [19, S. 281] "... die vielen Umschreibungen der Notation, die Euler verwendet hat, um das zu tun, was moderne Mathematiker mit Indizialnotationen wie Tief- und Hochstellungen tun würden. Dies wird zeigen, wie das Fehlen einer bequemen und leistungsstarken Notation bestimmte Arten mathematischer Entwicklungen der Ära verzerrte ... " Das obige Argument [dh Eulers Lösung] könnte vereinfacht werden, indem Indizes in den Koeffizienten der Differentialgleichung verwendet werden. Sandifer behauptet dass Eulers Mangel an Indizes die Entwicklung anderer Bereiche wie Bernoulli-Zahlen, Gamma-Funktionen und Approximationen von Integralen behinderte .