Was bedeutet das Pauli-Ausschlussprinzip in Bezug auf die Wellengleichung?

In der allgemeinen Chemie lehren sie dich, dass das Pauli-Ausschlussprinzip besagt, dass zwei Elektronen nicht die gleichen vier Quantenzahlen haben können. Allerdings weiß ich, dass die eigentliche Definition etwas mit den Wellengleichungen zweier Teilchen zu tun hat, die "nahe" beieinander liegen. Kann mir jemand eine genauere Definition des Pauli-Ausschlussprinzips geben?

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Bezeichnen wir die Wellenfunktion eines Systems aus zwei Elektronen (der Einfachheit halber) als: Ψ ( R → 1 , σ 1 ; R → 2 , σ 2 ) Wo R → steht für Positionskoordinate und σ stehen für Drehkoordinate. Da Elektronen Fermionen sind, ist die Wellenfunktion antisymmetrisch (Spin-Statistik-Theorem). dh, Ψ ( R → 2 , σ 2 ; R → 1 , σ 1 ) = − Ψ ( R → 1 , σ 1 ; R → 2 , σ 2 ) . Wenn wir nun die Wellenfunktion der Form annehmen (Mittelfeld oder Hartree-Fock oder nicht wechselwirkend, eine einfachste Wahl, die die antisymmetrische Natur erfüllt, die in Ihrer Frage verborgen ist) Ψ ( R → 1 , σ 1 ; R → 2 , σ 2 ) = 1 2 ! det ( ψ ( { Q 1 } , R → 1 ) ψ ( { Q 1 } , R → 2 ) ψ ( { Q 2 } , R → 1 ) ψ ( { Q 2 } , R → 2 ) ) . Es folgt dem { Q 1 } = { Q 2 } ⇒ Ψ ( R → 1 , σ 1 ; R → 2 , σ 2 ) = 0 (was keine vernünftige Wellenfunktion ist, um zwei Elektronen zu beschreiben). Hier { Q } stehen für Quantenzahlen, die die einzelnen Orbitale von Elektronen angeben.

Dies hat mit Mehrteilchen-Wellenfunktionen zu tun.

Angenommen, wir haben zwei Teilchen mit Zuständen ψ 1 ( R → 1 ) Und ψ 2 ( R → 2 ) . Dann sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen natürlich P 1 ( R → 1 ) = | ψ 1 ( R → 1 ) | 2 Und P 2 ( R → 2 ) = | ψ 2 ( R → 2 ) | 2 . Es ist verlockend zu glauben, dass die Wellenfunktion für beide Teilchen gerecht ist

ϕ ( R → 1 , R → 2 ) = ψ 1 ( R → 1 ) ψ 2 ( R → 2 )
Seitdem erhalten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, jedes Teilchen an einer bestimmten Position zu finden, das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist. Aber es gibt eine grundlegende Tatsache: Sie können zwischen diesen Teilchen nicht unterscheiden, und folglich muss die Wahrscheinlichkeit auch nicht. Also müssen wir das verlangen
| ϕ ( R → 1 , R → 2 ) | 2 = | ϕ ( R → 2 , R → 1 ) | 2
was bedeutet, dass
ϕ ( R → 1 , R → 2 ) = e ich θ ϕ ( R → 2 , R → 1 )
A priori , θ kann eine Funktion der Raumkoordinaten sein. Es stellt sich jedoch heraus, dass es einen Zusammenhang zwischen dieser Phase und dem Spin der betreffenden Teilchen gibt. Für Spinhalbteilchen oder Fermionen ist diese Phase − 1 . Für Teilchen mit ganzzahligem Spin oder Bosonen ist diese Phase 1 . Dies wird Spin-Statistik-Theorem genannt . Mit anderen Worten, die Wellenfunktion von Fermionen ist unter Teilchenaustausch antisymmetrisch, während die Wellenfunktion von Bosonen symmetrisch ist.

Betrachten wir nun den Fall von zwei Elektronen. Elektronen sind Fermionen, und daher muss ihre gegenseitige Wellenfunktion antisymmetrisch sein

ϕ ( R → 1 , R → 2 ) = 1 2 ( ψ 1 ( R → 1 ) ψ 2 ( R → 2 ) − ψ 1 ( R → 2 ) ψ 2 ( R → 1 ) )
Sind insbesondere die Quantenzahlen beider Elektronen gleich, befinden sie sich im gleichen Zustand ψ 1 = ψ 2 was dazu führt
ϕ ( R → 1 , R → 2 ) = 0
das kann also nicht passieren.

Hinweis: Ich habe die Drehkoordinate aus der obigen Ableitung zum einfacheren Schreiben weggelassen, aber denken Sie daran, dass sie auch dort sein sollte. Das kann man sich alternativ denken R → = ( X , j , z , S ) Wo S ist die Drehung.

Was bedeutet das Pauli-Ausschlussprinzip in Bezug auf die Wellengleichung?
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