Zeitlicher Teil der Quantenwellenfunktion

In der Mathematik besteht eine vollständige Symmetrie zwischen$+i$Und$-i$. Sowohl die imaginäre Einheit als auch die imaginäre Minuseinheit gehorchen

$$i^2 = (-i)^2 = -1$$ Der Austausch von $i$Und $-i$ist bekannt als die ${\mathbb Z}_2$Automorphismengruppe der komplexen Zahlen ${\mathbb C}$. Wenn Sie die komplexen Zahlen zum ersten Mal einführen, ist es völlige Konvention, ob Sie eine Quadratwurzel von nennen $(-1)$als $+i$oder $-i$.

In der Physik müssen wir jedoch die Symmetrie zwischen brechen$+i$Und$-i$weil wir wissen müssen, ob eine Welle in einer bestimmten Situation ist$\exp(i\omega t)$oder$\exp(-i\omega t)$, Zum Beispiel. Insbesondere,$xp-px=i\hbar$und nicht$-i\hbar$. Auch, und die folgende Wahl des Vorzeichens ist eigentlich nicht unabhängig von der vorherigen im Kommutator, wurde die Schrödinger-Gleichung gewählt

$$H |\psi \rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$$ Wo $H$ist der Hamiltonoperator, der durch ersetzt werden kann $H=E$beim Einwirken auf einen Energieeigenzustand $|\psi\rangle$. Diese Gleichung ist überall in der Quantenmechanik absolut universell, wo ein Hamilton-Operator wohldefiniert ist (es kann sogar die Quantenfeldtheorie oder einige Beschreibungen der Stringtheorie sein).

Die obige Gleichung mit$H=E$, wird gelöst durch

$$|\psi(t)\rangle = \exp(Et/i\hbar) |\psi(0)\rangle = \exp(-iEt/ \hbar) |\psi(0)\rangle = \exp(-i\omega t) |\psi(0)\rangle$$ Alle Formen sind gleichwertig, weil $1/i = -i$– diese Gleichung ist äquivalent zu $i^2=-1$- und weil $E=\hbar\omega$ohne Minuszeichen. Ihr Vorzeichen ist also falsch; Das Zeichen, das Sie denunziert haben, ist das richtige und das Zeichen, das Sie wollten, ist das falsche.

Zur Sicherheit arbeiten wir in der Quantenfeldtheorie mit verschiedenen Objekten – Quantenfeldern – die zu zeitabhängigen Begriffen als erweitert werden$\exp(-i\omega t)$dabei muss es auch Terme geben, die von der Zeit via abhängen$\exp(+i\omega t)$. Aber das sind Terme in Operatoren, nicht die Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion. Man muss auf die genauen Aussagen und Gegenstände achten. Ich habe keine Aussage in der Art gemacht, dass nur der Ausdruck$\exp(-i\omega t)$und nicht$\exp(+i\omega t)$erscheint in Abhandlungen und Büchern zur Quantentheorie. Natürlich können beide irgendwo auftauchen – in der Quantenfeldtheorie müssen beide auftauchen, weil es sowohl Erzeugungs- als auch Vernichtungsoperatoren gibt, sowohl Teilchen als auch Antiteilchen. Aber wenn wir fragen, wie eine Energie$E$Die Wellenfunktion (und ich meine den Ket-Vektor) hängt von der Zeit ab, sie ist immer via$\exp(-iEt/\hbar)$. Der BH-Vektor hat im Exponenten das entgegengesetzte Vorzeichen (Plus).