Was hat es mit der ganzen Indexnotation in der Allgemeinen Relativitätstheorie auf sich?

Ich studiere im Selbststudium Allgemeine Relativitätstheorie mit Leonard Susskinds Vorlesungen aus Stanford. Was mich stört, ist die Schreibweise von GR, insbesondere die Indexschreibweise.

Kann jemand diese zunächst in einfachen Laienbegriffen erklären und dann zu einer genaueren und physikalischeren Erklärung übergehen, warum:

  1. Warum brauchen Sie all diese Indexnotation?
  2. Wozu ist es gut?
  3. Geben Sie ein konkretes (nicht abstraktes) und ein einfaches Beispiel für diese Notation in Aktion

Die Beantwortung dieser Fragen wird mir helfen, mehr über GR zu verstehen und mir die Grundlagen von GR vermitteln.

Ihre Frage ist sehr vage und grundlegend (Sie fragen nach einem GR-Kurs). Sie sollten herausfinden, was Sie verstehen , und sich langsam von dort aus bewegen. Kennen Sie zum Beispiel die ganze Indexnotation mit Matrizen?
@ m4r35n357 Ja, ich verstehe, was die Indexnotation in Matrizen bedeutet, sie dient zum Benennen oder Nummerieren einer Komponente in der Matrix. Es gibt an, von welcher Komponente Sie sprechen. EDIT: Außerdem möchte ich zuerst die Grundlagen verstehen, bevor ich fortfahre. Ich würde mir selbst keinen Gefallen tun, wenn ich die Grundlagen nicht verstehen würde, also bereue ich es nicht zu fragen.
Nun, es ist eine Erweiterung dieser Idee.
@ m4r35n357 Also, was würde diese Notation bedeuten? (aus der Vorlesung entnommen): gyazo.com/016ca176e9ff0771f91011029ea8f925 , es verwirrt mich mit den y's darin mit "Exponenten".
xm ist gleich ym plus einem Term, der durch Multiplizieren des (Christoffel-Symbols?) c mit zwei Vektoren erzeugt wird. Wenn Sie so weit gekommen sind, ohne dass das, was ich gesagt habe, einen Sinn ergibt, haben Sie etwas ziemlich Wichtiges verpasst, und in diesem Fall würde ich vorschlagen, mit der Tensoranalyse noch einmal von vorne zu beginnen.
@ m4r35n357 Es ist nicht so, dass ich die Indexnotation nicht vollständig verstanden habe, ich habe sie etwas verstanden, aber ich wollte sicher sein. Was Sie gesagt haben, "es ist eine Erweiterung der Matrixindizierung", macht jetzt Sinn.
@Tachyon Sie müssen vorsichtig sein, wenn Sie Tensoren als Matrizen darstellen. Es ist visuell nützlich, aber Sie verlieren dabei Informationen darüber, wo sich die Indizes befinden.

Antworten (3)

  1. Weil es eine schöne, einfache Möglichkeit bietet, mit Tensoren und den Operationen, die zwischen ihnen bestehen, umzugehen. Zusammen mit der Summationskonvention verdichtet die Indexnotation die in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendeten Gleichungen massiv.

  2. Es macht Manipulationen in der Allgemeinen Relativitätstheorie so einfach wie die Kenntnis einiger Regeln darüber, wie Indizes miteinander interagieren können und wie nicht.

  3. Sogar jemand, der neu in der allgemeinen Relativitätstheorie ist, wird das sehen können:

    (1) T μ G μ v A μ = X v
    ist eine ungültige Tensorgleichung, da wir denselben Index dreimal in einem Term verwendet haben (und wir denselben Index zweimal unten haben). Wenn wir dies ohne die Indexnotation und ohne die Summationskonvention schreiben würden, wäre es ziemlich schwer zu entziffern und es wäre nicht sofort ersichtlich, dass es ungültig ist. Die Index-/Summierungskonventionen sind Möglichkeiten, Gleichungen in GR visuell zu entrümpeln, ohne wichtige Informationen zu opfern.

Danke für deine klare Erklärung. Die Verwendung der Indexnotation erleichtert also Tensoroperationen und vereinfacht unter anderem die Berechnungen für einen allgemeineren Kontext?
@Tachyon Es sind nicht wirklich "einfache Berechnungen", da Sie die Art und Weise, wie Sie numerische Berechnungen durchführen, nicht wirklich ändern, aber es macht Gleichungen in der allgemeinen Relativitätstheorie viel, viel einfacher zu lesen. Zumal die Summationskonvention bei jeder Verwendung vier Terme zu einem verdichtet. Nehmen wir zum Beispiel die geodätische Gleichung:
D X μ D λ + Γ σ v μ D X σ D λ D X v D λ = 0 ,
Diese Gleichung hat zwei Summationen für denselben Term, was normalerweise bedeuten würde, 16 Terme aufzuschreiben, aber wir haben sie zu 1 zusammengefasst
Ich verstehe was du meinst. Ja, das macht die Sache besser.
Ich weiß, warum wir nicht mehr als zwei Dummy-Variablen auf einer Seite haben können, aber warum können wir dieselben Variablen nicht zweimal "unten" haben?
@JohnyO42 Aus zwei Gründen: 1. Ein wiederholter Index impliziert eine Summierung. 2. Nur eine Summierung zwischen einem „Up“- und einem „Down“-Index ergibt ein Objekt, das garantiert ein Tensor ist.

Der einfache Grund für die Verwendung der Indexnotation ist, dass die meisten Mathematiker und Physiker sie (letztlich) als eine natürliche und intuitive Art der Beschreibung von Tensoroperationen empfinden. Es braucht nur ein bisschen Arbeit, um zum "natürlichen und intuitiven" Stadium zu gelangen - aber dann D 2 X D T 2 muss auch komisch ausgesehen haben, als wir ihm zum ersten Mal begegnet sind.

Die Indexnotation ist jedoch nicht das einzige Spiel in der Stadt – Roger Penrose erfand und verfocht eine alternative grafische Notation . Wenn uns das vom ersten Tag an beigebracht worden wäre, würden Sie vielleicht fragen: "Was ist mit all den seltsamen Spaghetti-Diagrammen in GR?" stattdessen.

Es geht um Unterscheidung A − B aus B − A .

-1 Weil ich wirklich nicht sicher bin, was das bedeutet oder wie es sich auf die Frage bezieht. Als solches sehe ich es nicht als Antwort auf diese Frage. Einige Erläuterungen werden wahrscheinlich nützlich sein.
Was hat es mit der ganzen Indexnotation in der Allgemeinen Relativitätstheorie auf sich?
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