Was ist das Ereignis in der Geschichte, bei dem iterierte Funktionen für die Modellierung der Physik geeignet wurden?

Sowohl Wolfram als auch Aldrovandi und Freitas 1 behaupten, dass iterierte Funktionen funktionieren F T ( X ) sind eine gültige Alternative zu PDEs für die Modellierung der Physik. Anstatt nur 1 zu zitieren, möchte ich in der Lage sein, das ursprüngliche Papier und den Autor zu zitieren, der die Verwendung iterierter Funktionen in der Physik rechtfertigte. Ich meine nicht einfach ein physikalisches Problem zu modellieren, sondern die Physik selbst zu modellieren. Ich studiere die Mathematik und Struktur von F T ( X ) . Es ist meine Behauptung, dass wenn F T ( X ) universelle Eigenschaften hat, dann müssen diese Eigenschaften in der Physik vorkommen.

Schroeder schrieb 1871 Über iterirte Functionen, die erste Arbeit über dynamische Systeme, aber dies scheint eine Arbeit der reinen Mathematik zu sein. Poincare ist meines Erachtens die erste Person, die die dynamischen Systeme iterativer Funktionen verwendet hat, um Physik zu studieren.

R. Aldrovandi und LP Freitas, Continuous iteration of dynamical maps , J. Math. Phys. 39, 5324 (1998)

Wie geschrieben, scheint diese Frage zu weit gefasst zu sein, um in dem prägnanten Q&A-Format des SE-Modells beantwortet zu werden.
@KyleKanos Ich habe die Frage eingegrenzt.
Hmm, ich vermute, dass es auf Newton oder so zurückgehen würde (Newton-Raphson-Wurzelfindung ist eine iterative Methode). Gibt es einen bestimmten Grund, warum Sie das erste möchten und das oben Genannte nicht zitieren möchten?
Was meinst du mit "Modellierung der Physik selbst". Wir modellieren Probleme oder Problemdomänen, aber sicherlich nicht die Physik als Ganzes ?
Möglicherweise verwandt 226374 .
Ich möchte wiederholen, dass ich nach einer historischen Referenz suche, der ersten Instanz, in der iterierte Funktionen für die Modellierung eines beliebigen Problems in der Physik gerechtfertigt waren.
Ausschließlich Physik ... nicht etwa Populationsbiologie (Lachs)? Ich würde bezweifeln, ob man rückwärts an der RG vorbei arbeiten könnte.
Zufälligerweise stammt das Ricker-Modell der Fischpopulationen ebenfalls aus dem Jahr 1954.

Antworten (2)

Sie sprechen effektiv über die Renormalisierungsgruppe in der Quantenfeldtheorie, das paradigmatische selbstähnliche System, das der gesamten Natur zugrunde liegt – mit letztendlichen (späteren) dramatischen Konsequenzen in den starken Wechselwirkungen.

Insbesondere führten Gell-Mann und Low 1954 ihre gleichnamige RG-Gleichung für QED ein,

G ( μ ) = G − 1 ( ( μ M ) D G ( G ( M ) ) ) ,
für eine Funktion G (Wegeners Funktion, die QFT-Version von Schroeders Funktion, siehe Anhang B ihrer Arbeit. TD Lee wird gedankt.) und eine Konstante d in Bezug auf die Kopplung g(M) bei einer Referenzskala M .

Gell-Mann und Low, die Schröders Gleichung angeblich nicht kannten, nutzten dennoch die außergewöhnlichen Eigenschaften der funktionalen Zusammensetzung dieses Ergebnisses: Sie erkannten, dass die effektive Skala willkürlich als μ angenommen werden kann und daher variieren kann, um die Theorie auf jeder anderen Skala zu definieren , as Also,

G ( κ ) = G − 1 ( ( κ μ ) D G ( G ( μ ) ) ) = G − 1 ( ( κ M ) D G ( G ( M ) ) ) .

Dies läuft tatsächlich auf eine willkürliche Iteration der Karte hinaus, die die Kopplungen auf zwei unterschiedlichen Skalen verbindet, wobei der Iterationsindex t in Ihrer Sprache und im zeitgenössischen QFT-Jargon der kontinuierliche Logarithmus der Skala M ist . Tatsächlich werden g s durch G zu Multiplikationen von Skalenverhältnissen funktional konjugiert.

Dieses Paradigma verdeutlicht tatsächlich Ihren Standpunkt: Physiker würden lieber die infinitesimale Differentialversion dieser Gleichung in die Störungstheorie (β-Funktion) integrieren, als die widersprüchliche Schröder-Gleichung hier ab initio zu lösen. Trotzdem haben mein Mitarbeiter und ich genau das getan, um anzuzeigen, dass es möglich ist: Curtright, TL; Zachos, CK (März 2011). "Funktionsgleichungen der Renormalisierungsgruppe". Physical Review D. 83 (6): 065019 .

Ich vermute, dass es die Physik der iterierten Funktionen schon länger gibt als in den 1950er Jahren, aber ich denke, Ihr Artikel ist ein wichtiger Fortschritt, er zeigt die tatsächlichen Vorteile der Verwendung iterierter Funktionen in der Physik. Dies ist meines Wissens das erste Werk, das dies tut.

Wie wäre es mit der einfachen alten Quantenmechanik? Dort genügt die Zeitentwicklungskarte (oder der Operator ). F T ( F S ( X ) ) = F T + S ( X ) direkt. Die wichtigen „universellen Eigenschaften“ des Zeitentwicklungsoperators sind Einheitlichkeit und je nach Kontext verschiedene physikalische Symmetrien. In der klassischen Physik wird Unitarität im Wesentlichen durch den Satz von Liouville ersetzt. Unitarität ist das Herzstück vieler wichtiger Ergebnisse in der Quantenmechanik und auch in der Quantenfeldtheorie, und ihre genaue Rolle in der Quantengravitation ist das, worum es beim Informationsparadoxon geht.

Vielleicht etwas zu direkt? Für einen konstanten Hamiltonoperator ist dies die explizite Lie-Gruppe, also dann lediglich funktional zusammengesetzt F ( X ) = X S So F T ( X ) = X S T ?
Nun, so hatte ich es mir vorgestellt X ≅ | ψ ⟩ Und F T ( X ) ≅ U ( T ) | ψ ⟩ , so dass F T ( F S ( X ) ) ≅ U ( T ) U ( S ) | ψ ⟩ = U ( T + S ) | ψ ⟩ ≅ F T + S ( X ) . In Ihrer Terminologie Einstellung X = U ( Δ T ) und Einstellung F ( X ) = X S = U ( S Δ T ) , impliziert, dass F T erhöht einfach die Zeit vorwärts in Einheiten von S Δ T .
Richtig; dies ist nur eine Lie-Group-Aktion einer Linie, nicht genau ein selbstähnliches dynamisches System.
Nun, dann spezialisieren Sie die 'Quantenmechanik' auf die 'konforme Feldtheorie'.
Was ist das Ereignis in der Geschichte, bei dem iterierte Funktionen für die Modellierung der Physik geeignet wurden?
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