Was ist der Unterschied zwischen der im Faradayschen Gesetz induzierten EMF und der Potentialdifferenz aufgrund des elektrischen Felds?

Ja, dieses Problem sorgt oft für Verwirrung. Die grundlegende Sache, an die Sie hier denken müssen, ist das elektrische Feld. Entfernen Sie zunächst jeden leitenden Draht und nehmen Sie einfach an, es gäbe einen Raumbereich, in dem ein Magnetfeld vorhanden ist, das räumlich einheitlich ist (dh einheitliche Richtung und Größe), sich aber mit der Zeit ändert. Nehmen wir an, es nimmt zu. In diesem Szenario gibt es auch ein elektrisches Feld in dieser Region des Weltraums. Das elektrische Feld verläuft dabei in Kreisschleifen um die magnetischen Feldlinien.

Ok, so weit, so gut: Wir haben ein sich änderndes Magnetfeld und in derselben Region des Weltraums auch ein elektrisches Feld, das in kreisförmigen Schleifen verläuft.

Nehmen wir nun an, Sie legen in derselben Region einen leitenden Draht in eine Schleife, der Richtung der elektrischen Feldlinien folgend, aber schließen den Stromkreis für den Moment nicht. Das heißt, Sie haben eine Drahtschleife, aber mit einer Lücke darin, damit sie sich nicht schließt. Was wird passieren?

Die Elektronen im Draht werden durch das elektrische Feld geschoben und bewegen sich, sodass sie sich auf einer Seite der Lücke zu stapeln beginnen. Dieses Ungleichgewicht in der Ladungsverteilung im Draht verursacht ein ausgleichendes elektrisches Feld. Die Elektronen bewegen sich weiter, bis dieses ausgleichende elektrische Feld (verursacht durch die Elektronen) gleich und entgegengesetzt zu dem ist, das durch das sich ändernde Magnetfeld verursacht wird. Wenn sich das System also beruhigt, ist das elektrische Nettofeld innerhalb des leitenden Drahtes Null (ich gehe davon aus, dass die Änderungsrate der$B$Feld ist hier konstant).

An diesem Punkt baut sich auf einer Seite der Lücke in der Drahtschleife eine negative elektrische Ladung und auf der anderen Seite der Lücke eine entsprechende positive Ladung auf. Außerdem gibt es einen Potenzialunterschied über diese Lücke: Er entspricht der EMK, die Sie mit dem Faradayschen Gesetz berechnen können. Wenn Sie jetzt also einen Widerstand oder eine Glühbirne oder ähnliches über die Lücke anschließen würden, dann würde ein Strom fließen.

Wenn ein Widerstand über die Lücke angeschlossen wird, gibt es eine Potentialdifferenz über dem Widerstand und ein elektrisches Feld innerhalb des Widerstands. Es gibt kein elektrisches Feld innerhalb des leitenden Drahtes (wenn wir einen Nullwiderstand des Drahtes annehmen), und das elektrische Feld direkt außerhalb wird auch von der Ladungsverteilung im Draht beeinflusst.

Über elektrische Potentialdifferenz

Oben habe ich das Konzept der Potentialdifferenz erst gegen Ende erwähnt. Dies liegt daran, dass es im Elektromagnetismus am besten ist, die Felder und die Ladungen als Hauptidee zu betrachten, und dann kommen Konzepte wie die Potentialdifferenz als nützliche Werkzeuge zum Rechnen und zum Gewinnen von Einsichten ins Spiel.

Das elektrische Potential kommt als Konzept unter statischen Bedingungen zur Geltung, weil wir dann eine Funktion finden können$V(x,y,z)$so dass das elektrische Feld geschrieben werden kann als

$${\bf E} = - {\bf \nabla} V.$$ (Dies ist eine Standard-Kurzschreibweise für einen Gradienten. In Bezug auf Komponenten bedeutet dies: $$E_x = - \frac{\partial V}{\partial x},\\ E_y = - \frac{\partial V}{\partial y},\\ E_z = - \frac{\partial V}{\partial z}.)$$

In nicht statischen Fällen, wie zum Beispiel bei einem sich ändernden Magnetfeld, ist die Sache nicht so einfach, weil jetzt das elektrische Feld so ist, dass es um eine Schleife zeigen kann, und das bedeutet, dass es keine Funktion gibt$V$, mit einem einzigen Wert an jeder Position, so dass$\bf E$ist seine Steigung. Wir können jedoch immer noch Mengen untersuchen, wie z

$$-\int_{P_1}^{P_2} {\bf E} \cdot d{\bf l}$$ Wo$P_1$Und$P_2$sind zwei Punkte im Raum (oder möglicherweise derselbe Punkt) und das Integral wird entlang eines Pfades genommen, der zwischen diesen Punkten verläuft. In einem statischen Problem würde dieses Integral die Potentialdifferenz zwischen angeben$P_2$Und$P_1$. Bei einem nicht statischen Problem können wir dem Ergebnis dieses Integrals einen anderen Namen geben. Es wird oft als „elektromotorische Kraft“ oder „EMK“ bezeichnet (dies ist wohl kein sehr klarer Name, wird aber aus historischen Gründen übernommen). Aber das ist nur ein Name. Wenn Sie möchten, könnten Sie es eine Potentialdifferenz nennen, solange Sie erkennen, dass Sie wirklich über das Integral des elektrischen Felds entlang eines bestimmten Pfads sprechen. Was Sie wissen, ist, dass, wenn sich eine Ladung auf diesem Weg bewegen würde, die Nettoenergie, die der Ladung durch das elektrische Feld gegeben wird, minus dem Betrag ist, der durch dieses Integral gegeben ist. Dies kann daraus abgeleitet werden, weil die Kraft auf eine solche Ladung wäre $${\bf f} = q ( {\bf E} + {\bf v} \times {\bf B} )$$ und damit die Arbeit, die verrichtet wird, wenn sich die Ladung durch eine Verschiebung bewegt$d{\bf r}$Ist $${\bf f} \cdot d{\bf r} = q {\bf E} \cdot d{\bf r}.$$ Hier trägt der Magnetfeldterm nicht bei, da für eine Ladung, die sich entlang eines durch beschriebenen Pfads bewegt$\bf r$wir haben das$\bf v$Und$d{\bf r}$sind parallel, also steht die magnetische Kraft senkrecht dazu$d{\bf r}$.

Der Hauptpunkt dieses letzten Abschnitts meiner Antwort besteht darin, zu sagen, dass „Potenzialdifferenz“ und „EMK“ unterschiedliche Wörter für im Wesentlichen dasselbe sind, nämlich das Integral des elektrischen Felds entlang eines Pfads. Der Grund für zwei Begriffe ist, dass der erste (Potentialdifferenz) auf eine nützliche Eigenschaft statischer Felder aufmerksam macht und der zweite auf die Tatsache aufmerksam macht, dass die betrachtete Situation nicht statisch ist, also müssen wir ein wenig weiter vorgehen sorgfältig in unserer Argumentation. Insbesondere sollten wir für einen nicht statischen Fall nicht annehmen, dass es irgendeine Funktion gibt$V(x,y,z)$(mit einem einzigen Wert an jedem Punkt$(x,y,z)$), der das elektrische Feld als Gradient angibt.

Eine mögliche Quelle der Verwirrung ist das$\mathbf E = -\nabla V$wenn kein Vektorpotential vorhanden ist, kein sich änderndes Magnetfeld. Ansonsten lautet die Beziehung:

$$\mathbf E = -\nabla V - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$$

Wo$\mathbf A$ist das Vektorpotential.

Aus der Maxwell-Induktionsgleichung:

$$\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = -\nabla \times \mathbf E$$ Nehmen wir in diesem Fall an, dass das Magnetfeld in z-Richtung und die Schaltung in der xy-Ebene verläuft. Die Gleichung gilt nur in z-Richtung:

$$\frac{\partial B_z}{\partial t} = -(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y})$$

Wenn wir fälschlicherweise nehmen$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$Und$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}$, (ohne das Vektorpotential) würden wir erhalten:

$$\frac{\partial B_z}{\partial t} = -(\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial x}) = 0 \implies B_z = cte$$

Aber das stimmt laut Hypothese nicht! Und deshalb fragen wir uns, wie das möglich ist$\oint E.dl \neq 0$. Tatsächlich gibt es zum Beispiel keinen Unterschied im Potential für denselben Punkt (Anfang und Ende des Schleifenintegrals).

Wenn wir die richtigen Begriffe für die E-Felder setzen und ausdrücken$B_z$auch hinsichtlich des Vektorpotentials heben sich alle Terme auf und die Gleichung ist erfüllt.

Das Fazit lautet: Die$emf$kann nicht durch den Begriff eines (Skalar) erklärt werden$V$Potenzial. Beispiel: Ein linear wachsendes B-Feld induziert in der Drahtschleife ein konstantes E-Feld. Befindet sich nur ein Widerstand in der Schleife, müssen die Punkte unmittelbar davor und danach das gleiche Potential haben, da sie durch einen praktisch widerstandslosen Draht verbunden sind (der Rest der Schleife). Aber aufgrund des elektrischen Feldes fließt trotzdem ein Strom im Widerstand.

Ein zeitveränderliches Magnetfeld induziert ein rotierendes (nicht konservatives) elektrisches Feld, das wir nennen werden$\vec{E}_{induced}$. Wenn ein Leiter innerhalb dieses zeitlich veränderlichen Magnetfelds vorhanden ist, ordnen sich Elektronen im Leiter neu an, und diese Neuanordnung bewirkt, dass ein zweites drehungsfreies (konservatives) elektrisches Feld vorhanden ist. Wir nennen dies das Reaktionsfeld$\vec{E}_{reaction}$.

Das gesamte elektrische Feld ist die Summe aus dem induzierten Feld und dem Reaktionsfeld.

$$\vec{E}_{total}=\vec{E}_{induced}+\vec{E}_{reaction}$$

Was ist der Unterschied zwischen der im Faradayschen Gesetz induzierten EMK und der Potentialdifferenz aufgrund des elektrischen Felds?

Die EMF wird entlang einer Kurve C induziert, die als Punkt A beginnt und an Punkt B endet (möglicherweise derselbe wie A).

$$\mathscr E_{induced} = \int_C \vec{E}_{induced} \cdot d\vec{\ell}$$

oder in dem Fall, wo Kurve C eine geschlossene Kurve ist

$$\mathscr E_{induced} = \oint_C \vec{E}_{induced} \cdot d\vec{\ell}$$

In diesem Fall ist die induzierte EMF gleich der Änderungsrate des Flusses, der von der Schleife C eingeschlossen wird.

$$\mathscr E_{induced} = -\frac{d\Phi}{dt}$$

Wenn wir das gesamte elektrische Feld entlang der Kurve C integrieren , erhalten wir den Spannungsabfall durch diesen Pfad C.

$$V_C = \int_C \vec{E}_{total} \cdot d\vec{\ell}$$

Dieser Spannungsabfall$V_C$wird verwendet, wenn Sie das Ohmsche Gesetz auf einen Draht in Form der Kurve C anwenden möchten.

$$V_C=IR$$

Wo$I$ist der Strom durch den Draht, und$R$ist der Widerstand durch den Draht.

$V_C$stellt auch die Arbeit pro Ladung dar, die mit dem Bewegen einer Testladung von A nach B entlang der Kurve C verbunden ist (unter der Annahme, dass sich das elektrische Feld nicht über die Zeit ändert, in der die Ladung von A nach B bewegt wird).

Beachten Sie, dass das gesamte elektrische Feld eine Rotationskomponente hat und daher nicht konservativ ist, da wir in einem Regime arbeiten, in dem ein zeitveränderliches Magnetfeld vorhanden ist . Das bedeutet, dass der Spannungsabfall entlang eines Pfades im Allgemeinen anders ist als der Spannungsabfall entlang eines anderen Pfades. Das heißt, wenn der Pfad bei A beginnt und bei B endet, ist der Spannungsabfall zwischen A und B nicht pfadunabhängig. Daher trifft der Begriff einer Potentialdifferenz zwischen A und B in diesem Fall nicht wirklich zu. (Zumindest kein Begriff der Potentialdifferenz , der bei Berechnungen nach dem Ohmschen Gesetz verwendet werden kann). Wir können jedoch von einem Spannungsabfall von A nach B entlang eines bestimmten Pfads C sprechen.

$\oint \vec{E}\cdot \vec{dl} = 0$

Ist, wenn kein sich änderndes Magnetfeld vorhanden ist. Was meinen Sie, wenn Sie "in Schaltungen" sagen?

Dies bedeutet, dass bei einer GESCHLOSSENEN Schleife die EMK über dieser Schleife Null ist.

In statischen Stromkreisen ist die Potentialdifferenz an 2 beliebigen Punkten NICHT Null, das ist einfach falsch. Wenn dies der Fall wäre, würde kein Strom erzeugt werden.

Sie ist nur bei GESCHLOSSENEN Kurven Null, bei denen Anfang und Ende am selben Punkt liegen. Es gibt eine Potentialdifferenz vom positiven zum negativen Anschluss in einem Stromkreis, da sie sich nicht am selben Punkt befinden, sind die Anschlüsse durch einen Abstand getrennt. Die EMK in Kreisen wird in Bezug auf eine nicht geschlossene Kurve gemessen. Die geschlossene Kurve ist Null, weil das Feld innerhalb der Batterie in die entgegengesetzte Richtung zeigt und das Feld außerhalb aufhebt

In beiden Fällen, in denen die EMK durch das Feld in der Batterie oder über das Faradaysche Gesetz erzeugt wird, ist das elektrische Feld die Ursache der EMK. Die Unterschiede in diesen elektrischen Feldern bestehen darin, dass eines eine Kräuselung hat und das andere nicht.

Eine EMK ist nur eine ausgefallene Art zu sagen, dass auf dem gewählten Weg ein elektrisches Feld ungleich Null existiert. Wo es ein E-Feld gibt, gibt es eine Kraft auf Ladungen, die sie veranlasst, zu beschleunigen und einen Strom zu erzeugen.

Suchen Sie ein Drude-Modell der Leitfähigkeit, um zu verstehen, warum es sich um einen KONSTANTEN Strom handelt.

Potentialdifferenz über einem Draht ohne Widerstand