Was ist die mathematische Erklärung für die Entstehung magnetischer Monopole während des frühen Universums?

Warum treten diese topologischen Defekte überhaupt auf?

Sie treten nicht auf.

Bisher wurde kein magnetischer Monopol experimentell nachgewiesen, daher gibt es eine Diskrepanz zwischen Experiment und Theorie, die durch die Einbeziehung magnetischer Monopole in den aktuellen Rahmen behoben werden muss.

Die Physik wird letztlich von experimentellen Erkenntnissen getrieben, die (noch?) keine Monopole gefunden haben, daher sage ich "Sie kommen nicht vor". Wie Feynman sagte:

Es spielt keine Rolle, wie schön Ihre Theorie ist, es spielt keine Rolle, wie schlau Sie sind. Wenn es nicht mit dem Experiment übereinstimmt, ist es falsch

So. Woher kommt der „magnetische Monopoldiskurs“?

Im Interesse, die Mathematik auf einem Bachelor-Niveau zu halten, werde ich gemäß Ihrer Bitte Beweise vermeiden und nur die Ergebnisse angeben. Ich denke, die Mathematik ist in dieser Rezension (bereits in den Kommentaren zur Frage erwähnt) von meinem alten Dozenten Arttu Rajantie (lustige Trivia) ziemlich zugänglich.

Ein paar physikalische Theorien würden eleganter und symmetrischer aussehen und einen theoretischen Beweis für Fakten liefern, z. B. die elektrische Ladungsquantisierung (die in der realen Welt tatsächlich als wahr beobachtet wird), wenn magnetische Monopole existieren würden:

1) Die klassische Elektrodynamik hätte eine ("schöne") Dualitätssymmetrie zwischen elektrischen und magnetischen Feldern :

• Genauso wie elektrische Feldlinien an elektrischen Ladungen beginnen und enden$q$, würden magnetische Feldlinien auf magnetischen Ladungen beginnen und enden$g$.
• Die Maxwell-Gleichungen würden bei der Transformation unverändert bleiben$\mathbf{E}\rightarrow \mathbf{B}$Und$\mathbf{B}\rightarrow -\mathbf{E}.$
• Die Lorentz-Kraft für eine elektrische (magnetische) Ladung, die sich in einem EM-Feld bewegt, würde ebenfalls der oben genannten Symmetrie gehorchen: $$\mathbf{F}_{\text{on q}} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \quad \text{and} \quad \mathbf{F}_{\text{on g}} = g(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times \mathbf{E})$$
• Das elektrische Feld und das magnetische Feld einer Punktladung würden genau gleich aussehen: $$\mathbf{E} = q\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = g\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

Kurz gesagt, die klassische Elektrodynamik wäre perfekt kompatibel mit dieser Dualitätssymmetrie, deren Fehlen sie daher "suggeriert", dass sie "gebrochen" ist.

2) Magnetische Monopole in der Quantenmechanik würden zu einer theoretischen Forderung nach elektrischer Ladungsquantisierung führen .

Dies ist als Dirac-Quantisierungsbedingung bekannt und in der Tat etwas subtil, und ich verweise auf die Rezension für die ganze Geschichte. Aber um es auf Grundniveau zu halten: Wenn Sie ein Doppelspaltexperiment mit Elektronen durchführen würden, würden Sie ein Interferenzmuster erhalten, dessen räumliches Profil von der Phase bestimmt wird, die von der Wellenfunktion des Elektrons zwischen dem Spalt und dem Bildschirm erfasst wird. Wenn Sie jetzt eine Magnetflussquelle (z. B. eine Magnetspule oder dieses nützlich konstruierte Ding namens Dirac-String ) direkt vor den Schlitzen platzieren würden, würden die Elektronen eine zusätzliche Phase aufnehmen$\Delta \theta$( Bild ):

Dies wurde eigentlich schon beim Aharnov-Bohm-Effekt beobachtet und diese Phase ist gegeben durch:

$$\Delta\theta = q \oint_C \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r},$$

Wo$C$ist die geschlossene Kontur im Bild: Quelle$\rightarrow$Bildschirm$\rightarrow$zurück zur Quelle.

Wenn nun das magnetische Vektorpotential$\mathbf{A}$durch einen magnetischen Monopol verursacht werden, dann hätte es a$g$darin (siehe klassischen Ausdruck für punktförmiges magnetisches Ladungsfeld oben), was bedeutet, dass$\Delta \theta \propto q\cdot g$. Aber eine Phase in der Quantenmechanik in nur sinnvollem Modulo$2\pi$, was dazu führt:

$$\frac{qg}{2\pi} \in \mathbb{Z},$$ dh die Dirac-Quantisierungsbedingung , die besagt, dass wenn magnetische Monopolladungen g existieren würden, dann die elektrische Ladung$q$quantisiert werden würde. Das ist verlockend, weil es tatsächlich in der Natur beobachtet wird, dass alle elektrischen Ladungen ganzzahlige Vielfache davon sind$\pm e/3$, die Ladung von Quarks.

3) Magnetische Monopole entstanden als Nebenprodukt alternativer elektroschwacher und Grand-Unification-Theorien (GUT)

Die Mathematik der elektroschwachen Symmetrie, die den Higgs-Mechanismus durchbricht, ist nicht gerade ein Grundstudium, aber es genügt zu sagen, dass einige Leute herausgefunden hatten, dass Elektromagnetismus und die schwache Wechselwirkung unter einem einheitlichen Rahmen beschrieben werden könnten, wenn man eine bestimmte Gruppensymmetrie annehmen würde ($SU(2)_L \times U(1)_Y$) und die Existenz eines anderen Feldes namens Higgs- Feld. Ein Phasenübergang, der stattfand, als das frühe Universum abkühlte, „brach“ diese Symmetrie und gab uns den separaten Elektromagnetismus und die schwache Wechselwirkung, die wir heute erleben.

Es stellte sich heraus, dass einige andere Leute eine ähnliche Theorie mit einer anderen Gruppensymmetrie hatten (erstens$SO(3)$, Dann$SU(5)$). Diese Theorien hatten auch ein (oder zwei) Higgs-Feld, das ein 3D-Vektorfeld war. Der gleiche oben erwähnte Phasenübergang würde die 3D-Symmetrie brechen und sie zwingen, "eine Richtung zu wählen". Um es kurz zu machen, es gibt eine Konfiguration, bei der eine Richtung "ausgewählt" wurde, aber nicht homogen ist, bekannt als Igelkonfiguration oder eine 't Hooft-Polyakov -Monopollösung:

(nebenbei: da dieses Ding nicht kontinuierlich zu etwas Flachem verformt werden kann, spricht man von einem topologischen Defekt)

Man kann das Magnetfeld dieser Konfiguration berechnen (die Arbeit von 't Hooft von 1974 ), und es stellt sich heraus, dass es das Feld eines magnetischen Monopols mit einer magnetischen Ladung ist$g = \frac{4\pi}{q}$.

Da du ausdrücklich gefragt hast

Warum müssen diese Defekte/Partikel eine magnetische Ladung tragen?

Ich gehe davon aus, dass Sie das Argument "stellt sich heraus" nicht zufrieden stellt.
Der Grund dafür ist, dass Elektromagnetismus a entspricht$U(1)$Gruppensymmetrie, die nur ein Kreis mit Radius ist$1$im komplexen Argand-Diagramm. Es gibt eine offensichtliche Symmetrie um die z- Achse, die Achse durch den Mittelpunkt des Kreises. Elektromagnetismus und damit elektrische und magnetische Felder hängen also mit der Drehung um diese Achse zusammen. In dieser Theorie ist die Achse die Richtung des Higgs-Feldvektors nach dem Symmetriebrechen (dh die Richtung, die "ausgewählt" wurde).

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Die Masse dieses Teilchens wurde zuerst theoretisiert$100$GeV (in der$SO(3)$Theorie) und dann$10^{15}$GeV (in der$SU(5)$). Die letztere Theorie würde auch einen Kanal für den Protonenzerfall einführen . Weder der Teilchen- noch der Protonenzerfall wurde (noch) beobachtet.

Was ist mit Kosmologie und frühem Universum?

Wie ich sehe, erwähnen Sie "frühes Universum" im Titel und verwenden das Tag "Kosmologie".

Wenn magnetische Monopole nach den fundamentalen Gesetzen der Physik existieren durften, dann besteht die Möglichkeit, dass sie zusammen mit allem anderen im Urknall oder kurz danach im frühen Universum entstanden sind. Man sollte sie also finden können. Unnötig zu erwähnen, dass (noch) niemand einen gefunden hat.

Tatsächlich ist dies als das Monopolproblem bekannt .

Und in der Tat gibt es mehrere Theorien, die versuchen, dieses offensichtliche Fehlen von Monopolen zu erklären (außer „sie existieren nicht“), einschließlich der (kosmischen) Inflation , die die Raumzeit in so kurzer Zeit so stark gedehnt hätte, dass dies der Fall wäre haben das bereits spärliche magnetische Monopolreservoir zu einer extrem verdünnten Dichte verstreut, was es sehr unwahrscheinlich macht, dass sie entdeckt werden. Ich habe diesen letzten Absatz hinzugefügt, weil Sie das Tag „Weltraumerweiterung“ hatten, das ich zugunsten des Tags „Elektromagnetismus“ entfernt habe, weil ich das Gefühl hatte, dass Sie dieses haben mussten, und „Kosmologie“ bereits das „Weltraum“-Zeug abdeckte .