Werden Elektronen durch Vakuumenergie zusammengehalten?

Modelliert man das Elektron als hohlen Kugelleiter mit Ladung e und Radius A dann ist seine elektrostatische Energie gegeben durch:

E e M = 1 2 e 2 4 π ϵ 0 A

Wenn man jedoch den Impuls im Feld eines sich bewegenden Elektrons berechnet, dann findet man, dass die Gesamtmasse im Feld gegeben ist durch:

M e M = 2 3 e 2 4 π ϵ 0 C 2 A

Daher haben wir eine Diskrepanz in der Energie, die gegeben ist durch:

E P = 1 6 e 2 4 π ϵ 0 A

Poincare stellte die Hypothese auf, dass es Spannungen geben muss, die das Elektron gegen die elektrostatische Abstoßung der Ladung auf seiner Oberfläche zusammenhalten. Irgendwie muss es Energie kosten E P um diese Poincare-Betonungen aufrechtzuerhalten.

Vielleicht lässt sich das Elektron durch eine leitende Kugelschale mit Vakuum darin modellieren. Vermutlich würde das Vakuum aufgrund des Casimir-Effekts zu einem Unterdruck auf der geladenen Hülle führen. Dieser Druck muss die elektrostatische Abstoßung der geladenen Hülle ausgleichen.

Nach kosmologischen Modellen hat beispielsweise das Vakuum eine Zustandsgleichung, die gegeben ist durch:

P = − ρ C 2

Dieser Ausdruck kann damit begründet werden, dass der Spannungs-Energie-Tensor des Vakuums Lorentz-invariant sein muss .

Der nach außen gerichtete Druck auf die Oberfläche der geladenen Kugel aufgrund der Coulomb-Abstoßung ist gegeben durch:

P = 1 2 ϵ 0 ( e 4 π ϵ 0 A 2 ) 2

Dieser Druck muss durch den Unterdruck des Vakuums in der Hülle ausgeglichen werden. Wenn wir das Vakuum in der Kugel in die obige Zustandsgleichung einsetzen, finden wir, dass seine Energie gegeben ist durch:

E P = 1 6 e 2 4 π ϵ 0 A

Somit scheinen wir die Energiediskrepanz zwischen dem EM-Feld eines statischen Elektrons und eines sich bewegenden Elektrons berücksichtigt zu haben, indem wir die Energie des Vakuums innerhalb des Elektrons, das es zusammenhält, einbeziehen.

Aber tatsächlich ist der Einwärtsdruck auf das Elektron auf den Casimir-Effekt zurückzuführen. Dies bedeutet, dass es auf einen Überschuss an elektromagnetischen Nullpunktmoden außerhalb der leitenden Hülle im Vergleich zur Anzahl der Moden im Inneren zurückzuführen ist. Daher die zusätzliche Energie E P die diesen zusätzlichen Modi zugeordnet sind, befindet sich außerhalb der Shell. Dies ist sinnvoll, da wir die Diskrepanz in der Gesamtmasse / -energie im Feld außerhalb der Hülle berücksichtigen möchten.

Man kann folgendes in enge Analogie zu dem Fall ziehen, in dem man einen Kolben aus einem Zylinder herauszieht, der von normalem atmosphärischem Druck umgeben ist. Man muss Energie liefern, um Arbeit gegen die Außenatmosphäre zu leisten. Die zugeführte Energie wird nicht in dem im Zylinder entstehenden Vakuum gespeichert; stattdessen befindet es sich außerhalb in der umgebenden Atmosphäre.

Ist dies die richtige Art, über Poincare-Betonungen nachzudenken?

Ich habe gerade einen sehr interessanten Artikel gefunden , der gegen meine Hypothese (eigentlich Casimirs Hypothese!) eines klassischen Elektrons spricht, das durch Nullpunktsenergie zusammengehalten wird. Der Autor berechnet die Casimir-Kräfte auf einem Kugelleiter aus ersten Prinzipien und kommt zu dem Schluss, dass sie eher abstoßend als anziehend sind.

Aber warum widerspricht dieses Ergebnis der bekannten Vakuum-Zustandsgleichung? P = − ρ C 2 ?

Die Annahme (Problem mit em. Masse) ist falsch; vgl. meine Antwort hier: physical.stackexchange.com/questions/160264/…
Können Sie deutlich machen, was genau Ihrer Meinung nach der Widerspruch ist?
Unter Verwendung der Vakuum-Zustandsgleichung P = − ρ C 2 man kann die Energiediskrepanz ableiten E P korrekt, während man bei sorgfältiger Berechnung der Casimir-Kräfte aufgrund des Vakuums in der Kugel stattdessen feststellt, dass sie dazu neigen, die Kugel auszudehnen, anstatt sie zusammenzuhalten.
An Jan Lalinsky: Ich würde sagen, dass die Diskrepanz zwischen der Masse/Energie des statischen Feldes und der Masse/Energie des bewegten Feldes noch berücksichtigt werden muss. Ich akzeptiere Ihren Standpunkt, dass man die Trägheit nicht in das em-Feld einbeziehen sollte, wenn sich die eigene Bewegungsgleichung nur mit Kräften befasst, die auf den Körper selbst wirken.
Nun, unter der Annahme, dass die Zustandsgleichung anwendbar ist (es ist nicht offensichtlich, dass dies der Fall ist, aber lassen Sie uns damit rollen), liegt das Problem in der Annahme, dass der Vakuumdruck für die Stabilisierung einer geladenen Hülle verantwortlich ist. Das kann es eindeutig nicht sein, weil die Casimir-Kraft abstoßend ist. Daher muss eine andere Kraft dafür verantwortlich sein, sowohl die Coulomb-Abstoßung als auch den Vakuumdruck auszugleichen.

Antworten (3)

Tatsächlich ist die Casimir-Kraft für eine dreidimensionale Kugel abstoßend.

http://arxiv.org/abs/hep-th/9406048

Weder ich noch die Autoren dieses Artikels kennen eine intuitive Erklärung dafür, warum dies der Fall ist. Es ist jedoch wichtig anzumerken, dass dieses Ergebnis tatsächlich das naive und sehr verbreitete Argument der „Modenzählung“ widerlegt, das scheinbar beim Casimir-Effekt für eine Parallelplattengeometrie funktioniert.

Den Druck leiten Sie richtig ab , indem Sie die Nullpunktsenergie als Summe über die Moden aufschreiben. Diese Summe ist an sich nicht aussagekräftig, da sie typischerweise stark divergiert. Sie müssen es regularisieren, das heißt, aus der divergenten, unendlichen Reihe eine endliche Zahl extrahieren. Was Sie nach der Regularisierung der Summe erhalten, kann positiv oder negativ sein. Es gibt keinen offensichtlichen Weg, das zu sagen.

In der Parallelplattenversion des Casimir-Effekts trifft man beispielsweise auf die berühmte Reihe

1 + 2 + 3 + 4 + . . . = − 1 12

Dieses Ergebnis kann durch Regularisierung der Zeta-Funktion erhalten werden . Das negative Vorzeichen ergibt eine anziehende Kraft.

Für eine verwandte Reihe ergibt sich jedoch eine Regularisierung der Zeta-Funktion

1 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + . . . = 1 + 8 + 27 + 64 + . . . = − B 3 + 1 3 + 1 = 1 120

Wenn Sie diese Reihe bei der Berechnung des Casimir-Effekts für eine bestimmte Geometrie finden würden, würden Sie einen positiven Druck finden.

Und wenn Sie diese andere Serie gefunden haben

1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + . . . = 1 + 4 + 9 + 16 + . . . = 0

es würde überhaupt keinen Druck geben.

Die Regularisierung bei der Berechnung des Casimir-Effekts für eine Kugel ist etwas komplizierter, aber dies ist das allgemeine Prinzip. Sehen Sie sich auch Terry Taos Herangehensweise an, um ein wenig mehr Intuition darüber zu bekommen, was die regulären Summen bedeuten und warum sie die richtige Antwort sind.

Mit anderen Worten, es gibt keinen Widerspruch, weil das Modenzählargument für alle außer den einfachsten Geometrien versagt.

Ich glaube nicht, dass das möglich wäre, da es auch außerhalb des Elektrons Vakuum gibt, alles zwischen dem Elektron und dem Kern ist Vakuum.

Da freie Elektronen stabil sind, bin ich mir nicht sicher, was der Kern damit zu tun hat.
@ JonCuster Das tut es nicht, ich habe nicht gesagt, dass es das hat. Mein Punkt ist, dass in diesem Fall nicht nur das Vakuum im Zentrum des Elektrons es zusammenhalten würde, sondern das Vakuum außerhalb genau das Gegenteil tun würde.
Die Idee ist, dass innerhalb des Elektrons nur bestimmte stehende elektromagnetische Nullpunktwellen erlaubt sind, während außerhalb alle möglichen Wellen erlaubt sind. Somit übt das "wahre" Vakuum außerhalb des Elektrons einen Nettodruck auf es aus.

Der Einfluss interner EM-Kräfte auf die Kugel kann nicht auf der Grundlage des Feldimpulses außerhalb der Kugel berechnet werden - es ist komplizierter, da sich das Feld nicht einfach mit der Kugel bewegt, wenn sich die Kugel allgemein bewegt.

Auch der elektromagnetische Defekt ist vorhanden, ist aber rein mit gegenseitigen EM-Kräften erklärbar. Es ist keine Wirkung des Nullpunktfeldes erforderlich.

Auch Poincarés Betonungen sind notwendig, um die Sphäre zusammenzuhalten, aber nicht zur Erklärung des angeblichen Problems mit em. Masse; die Kugel muss nicht stabil sein, damit das angebliche Problem auftritt. Es reicht aus, dass die Ladungen eine extrem große mechanische Masse haben, damit die Kugel lange genug überlebt; dann führen bereits die Poynting-Energie und der Poynting-Impuls zu unterschiedlichen EM-Massen.

Ich glaube nicht, dass es einen guten Grund gibt, die Gleichung einzuführen

P = − ρ C 2

für den Raum innerhalb oder außerhalb der geladenen Kugel. Abgesehen von der Tatsache, dass es kein offensichtliches Problem mit der Masse der Kugel gibt, hängt die Art und Weise, wie diese Gleichung in der oben referenzierten GIF-Datei erhalten wurde, von einer Reihe von Annahmen ab, die im vorliegenden Kontext gerade daneben liegen. Zum Beispiel wird angenommen, dass das Vakuum einen Spannungs-Vier-Tensor hat, der sich vom EM-Tensor unterscheidet, und dass dieser Tensor die Form des Standard-Tensors für perfekte Flüssigkeiten hat (der nur für materielle Flüssigkeiten eingeführt wurde, nicht für Vakuum), und dass alle Komponenten von der Tensor sind Lorentz-Invarianten. Warum sollten wir das denken? Es gibt einfach keinen Grund, solche seltsamen Ideen im Zusammenhang mit geladenen Sphären anzunehmen. Und selbst wenn wir davon ausgehen, dass die obige Gleichung gültig ist, bringt dies nichts zur Frage der effektiven Masse der Kugel.

Die Vakuumzustandsgleichung P = − ρ C 2 kann damit gerechtfertigt werden, dass es Lorentz-invariant ist, sodass man keine Gravitationsbetrachtungen benötigt.
@JohnEastmond, ich habe meine Antwort bearbeitet.
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