Was ist die qualitative Ursache dafür, dass ein angesteuerter Oszillator eine max. Amplitude bei Resonanz?

Die Leistungsübertragung wird bei Resonanz maximiert, da die Antriebskraft und die Geschwindigkeit des Oszillators in Phase sind.

Wenn Sie zwei sinusförmige Terme miteinander (die Kraft und die Geschwindigkeit) mit einer Phasendifferenz zwischen ihnen multiplizieren, dann hat das Produkt seinen maximalen Durchschnittswert, wenn die Phasendifferenz null ist, und einen minimalen Wert, wenn die Phasendifferenz null ist$\pm \pi/2$.

Ihre stationäre Lösung könnte korrekt sein, aber es ist üblicher zu sagen, dass dies der Fall ist$F_0 \sin \omega t$, dann die Verschiebung$x \propto \sin(\omega t + \phi)$, wo die Phasendifferenz$\phi$wird von gegeben

Das sieht man wann$\omega = \omega_0$die Phasendifferenz zwischen Verschiebung und Kraft ist$-\pi/2$. Aber wenn Sie die Verschiebung differenzieren, um die Geschwindigkeit zu erhalten

Wird die Kraftübertragung maximiert, so wird deshalb auch die Amplitude maximiert, da mit der Amplitude der Verschiebung auch die Geschwindigkeitsamplitude zunimmt.

Sie wünschen eine qualitative Antwort, also wird sich meine Antwort mit den physikalischen Aspekten der Schwingung befassen.

Betrachten wir ein einfaches Szenario eines Blocks, der an einer horizontal auf dem Boden liegenden Feder befestigt ist.

Nehmen wir an, diese Feder erlaubt Schwingungen mit einer Zeitspanne von 4 Sekunden. Dies würde bedeuten, dass sich der Block in 4 Sekunden vom Mittelwert zum Extrem, von einem Extrem zum nächsten und zurück zum Mittelwert bewegen würde. Diese Feder bewegt sich also natürlich in 1 Sekunde vom Mittelwert in die äußerste Position.

Stellen Sie sich nun eine zeitlich veränderliche externe Kraft vor, die mit einer Zeitdauer von 2 Sekunden oszilliert [Resonanz]. Angenommen, die Kraft wirkte anfangs in die richtige Richtung und war maximal. Mal sehen, was in dem Szenario anfangs passiert.

Von t=0s-1s:

Der Block wird durch diese äußere Kraft nach rechts geschoben. Die Größe der Kraft würde allmählich zunehmen und schließlich bei t = 1 s Null werden. Zu diesem Zeitpunkt hätte sich auch der Block in die äußerste Position bewegt.

Von t=1s-3s:

Der Block wird seine Richtung umkehren und ihn an die andere äußerste Stelle auf der anderen Seite bewegen. Da die externe Kraft auch die gleiche Frequenz hat, ändert sie auch ihre Richtung nach links und nimmt an Größe zu, bis der Block die mittlere Position kreuzt, danach abnimmt und schließlich an der äußersten Position Null wird.

Sie können das interessante Phänomen hier beobachten. Wenn der Block schwingt, bewegt sich auch die äußere Kraft Hand in Hand. An den Extrempositionen, wenn der Block an der Extremposition ruhen muss, ist die externe Kraft Null [die Federkraft wirkt immer noch auf den Block, so dass der Block nicht wirklich dort bleibt. Wenn sich der Block in der mittleren Position befindet und sich mit maximaler Geschwindigkeit bewegt, ist auch die Kraft maximal. Was also passiert, ist, dass die Kraft eine natürliche Bewegung des Blocks zulässt . Kraft und Geschwindigkeit haben immer die gleiche Richtung. Wenn das passiert, beschleunigt der Block und erhöht seine Geschwindigkeit und seine Amplitude mit der Zeit. Im Idealfall würde der Block bald eine unendliche Amplitude erreichen, aber eine Dämpfung ist immer vorhanden, sodass die Amplitude endlich bleibt, aber immer noch ziemlich groß.

Jetzt können wir uns also leicht auf eine nicht resonierende Kraft beziehen. Die nicht in Resonanz stehende Kraft kann eine Frequenz haben, die entweder größer oder kleiner als die Resonanzfrequenz ist. Betrachten wir diese beiden Fälle separat.

Fall 1: Die externe Kraftfrequenz ist kleiner als die Resonanzfrequenz

Angenommen, der Block bewegt sich von seiner anfänglichen mittleren Position nach rechts. Nach Erreichen der Extremposition neigt das Objekt dazu, in die mittlere Position zurückzukehren. Aber die äußere Kraft hat aufgrund ihrer niedrigeren Frequenz ihre Richtung noch nicht umgekehrt. Somit bewegt sich der Block nach links, aber die Kraft ist immer noch nach rechts, was zu einer Verzögerung führt und Geschwindigkeit und Amplitude verringert.

Fall 2: Die externe Kraftfrequenz ist größer als die Resonanzfrequenz

Hier kehrt sich die Kraft um, bevor der Block die äußerste Position erreicht. Hier bewegt sich der Block nach rechts, aber die Kraft wird bereits nach links, was zu einer Verzögerung und einer ähnlichen Abnahme der Geschwindigkeit und Amplitude führt

Ich hoffe, diese Analogie ist für Sie von großem Nutzen.

Obwohl das mathematische Modell generisch ist, unterscheiden sich die physikalischen Systeme, die es darstellen kann, in Bezug darauf, was die Parameter und Eingangs-/Ausgangsvariablen darstellen können. Also pauschal ist deine Frage schwer zu beantworten.

Aber zur Veranschaulichung können Sie zum Beispiel das einfache Pendel nehmen, genauer gesagt die Schaukel, die Sie normalerweise auf einem Spielplatz finden. Als qualitative Erklärung kann der Elternteil, der das Kind in der Schaukel mit einer Frequenz schiebt, die nicht mit der Eigenfrequenz des Pendels übereinstimmt, nicht in der Lage sein, die gleiche Dauerzustandsamplitude aufzubauen, als ob er bei der Resonanzfrequenz schieben würde. Indem die Eltern mit der gleichen Frequenz wie die Eigenfrequenz schieben, können die Eltern aus zwei Gründen die maximale Energiemenge pro Stoß übertragen: (1) Die Schaukel bewegt sich in die richtige Position, um den Stoß aufzunehmen, und (2) die Eltern drücken, während sich die Schaukel bewegt entfernt (nicht wie es sich nähert).

Um es allgemeiner auszudrücken, möchten Sie vielleicht in jedem System danach suchen, welche Frequenz die Energieübertragung zwischen dem Antriebseingang und der Eigenfrequenz des Systems maximiert.