Was ist eine gerade Linie?

Du überdenkst es!

Nur ein Scherz, als Ingenieurskollege habe ich eine Ahnung, wo Sie graben. Willkommen in der faszinierenden Schattenseite der Mathematik, die sich ständig mit der Philosophie der Mathematik vermischt. Es verhält sich etwas anders als die oberen Ebenen. Anstatt zu versuchen, mächtige, weltbewegende Aussagen über unsere Realität zu machen, wie zum Beispiel zu beweisen, dass es zählbar unendliche Primzahlen gibt, versuchen sie, die subtilsten und intuitivsten Annahmen zu definieren, die man machen kann, um dorthin zu gelangen. Ihr Konzept, dass es ein Appell an die Intuition ist, ist gültig, weil es das ist, was es ist.

Sobald Sie eine solche Definition, ein solches Axiom akzeptieren, wird es in ein ungeheuer mächtiges System gebracht. Der größte Teil der Mathematik akzeptiert irgendeine Form von induktivem Beweis, daher ist die Annahme eines Axioms eine sehr mächtige Sache. Es bedeutet, dass Sie alle Konsequenzen akzeptieren, die sich aus einer unendlichen Anwendung ergeben können. Es gibt einen guten Grund, warum sie intuitiv sein müssen. Beweissysteme, die Induktion zulassen, gehen wörtlich: „1, 2, überspringe ein paar, 99, 100, überspringe ein paar mehr, unendlich. Sehen Sie, ich habe es bewiesen!" (Bearbeiten: Jan war der Meinung, dass dies keine gültige Verwendung von "buchstäblich" war. Für eine genauere Formulierung siehe die Peano-Axiome. Eine Version von "buchstäblich", die ich richtig verwenden kann, ist zu sagen, dass der Zweck der Induktion besteht darin, buchstäblich unendlich viele Schritte in Ihrem Beweis zu überspringen.) Wenn Ihre Definitionen nicht außerordentlich mit der Realität übereinstimmen, wird eine unendliche Reihe von übersprungenen Schritten Ihre Definition verzerren, bis sie absurd aussieht.Betrachten Sie Xenos Paradoxon, das bewies , dass Sie es könnten Wir bewegen uns nicht durch eine unendliche Anzahl von Schritten irgendwohin, und doch bewegen wir uns die ganze Zeit!

Euklids Definition einer Linie besteht eigentlich aus zwei Teilen. Dem ersten ist es egal, wie es auf die reale Welt abgebildet wird, hätte er sagen können

Ein FribbleMoose liegt gleich in Bezug auf die Punkte auf sich.

Das ist Mathematik! Wir können alles definieren, was wir wollen! Ein FribbleMoose kann eine nette Definition sein, mit der man arbeiten kann. Er hat sich jedoch dafür entschieden, es eine „gerade Linie“ zu nennen, was darauf hindeutet, dass diese mathematische Definition Auswirkungen auf das wirkliche Leben haben könnte. Diese Implikation ist für die Definition nicht wesentlich. Wenn sich herausstellen würde, dass die gesamte Gesellschaft zustimmen würde, dass Euklids Formulierung schlecht war, hätte sie zumindest immer noch mindestens so viel Bedeutung wie ein FribbleMoose, obwohl sich die Leute über sein betrügerisches Namensschema beschweren könnten.

Was Euklids gerade Linie interessant macht, ist, dass sie sehr effektiv ist, um Vorhersagen darüber zu treffen, wie unsere Welt funktioniert. Euklid behauptet, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad ergibt. In 2300 Jahren war niemand in der Lage, ein Dreieck mit einer anderen Winkelsumme zu erstellen (ohne zu "schummeln"), daher sind wir ziemlich sicher, dass Euklids Definition von geraden Linien nützlich genug ist, um es zu rechtfertigen, Kinder zu unterrichten.

Jetzt erwähne ich Betrug. Sie haben alternative Topologien erwähnt, auf denen wir eine "gerade Linie" definieren können, um ein Verhalten zu haben, das sich von dem von Euklid unterscheidet. Das ist nur ein sprachliches Problem. Wenn Euklid es einen FribbleMoose genannt hätte, würden wir wahrscheinlich einen neuen Begriff für das Konzept in anderen Topologien erfinden. Aber "gerade Linie" hat immer noch einen intuitiven Reiz."

Du bist Ingenieur. Sie kennen sich mit Computern aus. Wenn Sie als Teil eines Startups mit minimalem Budget arbeiten und jemanden sagen hören: „Wir brauchen mehr Rechenleistung“, hat das eine Bedeutung. Es bedeutet normalerweise, das Sparschwein aufzubrechen, um Prozessoren im Wert von ein paar GHz zusammenzukramen, um die Arbeit zu erledigen. Wenn Sie jedoch an einem BlueGene/Q arbeiten und jemanden sagen hören: „Wir brauchen mehr Rechenleistung“, hat das eine andere Bedeutung. Wenn Sie versuchten, ihr Problem zu lösen, indem Sie mit ein paar Windows 10-Boxen hereinkamen, würden sie Sie komisch ansehen (aber das Startup könnte gesabbert haben und sich gefragt haben, wo Sie sie her haben). In natürlichen Sprachen ändert sich die Bedeutung von Wörtern oft mit dem Kontext. Für die meisten Kontexte ist Euklids Definition gut genug. Für Fragen der allgemeinen Relativitätstheorie hat der Begriff Gerade eine andere Bedeutung. In der Tat,

Als Ingenieurkollege denke ich, dass hier das Überdenken stattfindet. Der Schwerpunkt der Schattenseite der Mathematik liegt auf Definitionen, auf denen der gesamte Rest der Mathematik aufgebaut werden kann. Es ist einfacher, diese Konzepte Nicht-Mathematikern zu vermitteln, wenn sie Auswirkungen auf das wirkliche Leben haben, sodass Terminologie aus dem wirklichen Leben eindringt. Mathematiker erhalten außerdem eine Vielzahl von Intuitionstests. Wenn etwas die Intuitionsprüfung nicht besteht, lohnt es sich, noch einmal zu prüfen, ob sich die Bedeutung eines Wortes im Laufe der Zeit verändert hat.

Oder Sie können einfach alles FribbleMoose umbenennen und herausfinden, ob FribbleMoose oder PathosDingbat oder eine andere zufällige Wortwahl, die Sie wünschen, auf Ihr Szenario zutrifft. Wenn es jedoch "zufällig" eine gerade Linie ist, erleichtert das den Rest unserer Arbeit mit Sicherheit!

Das ist eine sehr gute Frage, eine, die die Metaphysik zum Leben erweckt. Leider habe ich keine gute Antwort, obwohl ich versucht habe, darüber nachzudenken.

Während Cort Ammon und andere gute Definitionsantworten gegeben haben , geht es hier eher um die „Natur axiomatischer Systeme“, während ich vermute, dass das Gewünschte eher in Richtung der Frage geht, was eine gerade Linie „wirklich“ ist.

Ein paar Fehlstarts.

Erstens ist eine gerade Linie die „höchste Geschwindigkeit“. Denn dies ist einfach eine andere Art zu sagen, dass es die "kürzeste Entfernung" zwischen zwei Punkten ist. Die Lichtgeschwindigkeit "C" ist also physikalisch die "geradeste" Linie. Wir verwenden es, um den Zähler zu definieren. Aber in der physikalischen Realität bricht sich die lineare Ausdehnung des Lichts, wenn wir es so sehen dürfen, in unzähligen Vermittlungen. Und zwar universell durch die „Linse“ der Gravitation.

Zweitens war es für moderne Menschen auf unserem scheinbar kugelförmigen Planeten ein langsamer Schock, als sie entdeckten, dass man sich immer weiter entfernt, wenn man in einer „geraden Linie“ weg von, sagen wir, Lissabon reist. Irgendwann, wenn Sie so weit wie möglich weg sind, werden Sie feststellen, dass Sie nach Lissabon zurückgekehrt sind! Aber von der "anderen Seite". Das Lissabon, das Ihre Schiffe verlassen haben, kehrt als "Ende der geraden Linie" rückwärts zurück. Die nicht-euklidische „Gerade“ oder „Großkreis“.

Drittens ist der „kürzeste Weg“ ebenso wie die „höchste Geschwindigkeit“ auch der „geringstmögliche Unterschied“. Die geringste „Entfernung“ bringt zwei „Haltungen“ oder „Instanziierungen“ oder „Punkte“ mit sich. Ein „Unterschied“ bezieht sich auf das Wurzelwort für „Fähre“. Um direkt hin und her zu gehen. Die schnellste Fähre ist der geringste Unterschied. Und die kürzeste Route oder Entfernung oder "geradeste Linie".

Viertens sagte ein Physiker (kann mich nicht erinnern, welcher), wenn wir nur sorgfältiger über die mehrdeutige Definition eines "Punktes" nachgedacht hätten, wären wir niemals von Quantenparadoxien überrascht worden. Unser Instinkt ist, additiv zu denken. Ein gutes Korrektiv dazu ist die Informationstheorie, in der Wissen durch die Eliminierung von „Unsicherheit“ wächst. Eine Hegelsche „Negation der Negation“.

Fünftens : Um den vierten Punkt zu erweitern. Wir leben in „dreidimensionalen“ Volumen. Angstzitate, weil wir unseren axiomatischen Konzepten von „Dimension“ misstrauen sollten. Zwei Volumen schneiden sich, um eine Ebene zu bilden. Eine Ebene ist die Schnittmenge oder "gegenseitige Eliminierung" zweier Volumen. Ein Flugzeug ist das Mindeste, was wir sehen oder uns vorstellen können. Eine „Linie“ ist der Schnittpunkt oder die „gegenseitige Begrenzung“ zweier Ebenen. Ein Punkt ist die gegenseitige Begrenzung zweier Geraden. Und was ist der Schnittpunkt zweier Punkte? Ein Kreis? Eine "Schwingung?"

Entschuldigung, ich poste so wie es ist. Völlig unvollständig. Nur weil ich mit den "axiomatischen" Antworten unzufrieden war. Es steckt mehr dahinter ... und die Frage verdient eine bessere. Was „sind“ die euklidischen Wesenheiten, die wir so leicht erahnen? Ich hoffe, dies wird zu besseren Antworten führen, und ich werde dieses Durcheinander einer Antwort so schnell wie möglich bearbeiten.

Ein ausgezeichnetes Buch, das sich mit diesem Thema befasst, ist der Klassiker Euclid's Elements von Sir Thomas L. Heath. Darin finden sich Euklids Definitionen:

• „Eine Linie ist endlose Länge.
• "Eine gerade Linie ist eine Linie, die mit den Punkten gleichmäßig auf sich selbst liegt." ( Euklids Elemente , S. 153)

Eine Möglichkeit, sich seine Definition vorzustellen, besteht darin, an die Länge der Linie zu denken, es gäbe keine Unregelmäßigkeiten oder einen Mangel an Symmetrie (siehe Euklids Elemente , S. 168). Um es moderner auszudrücken, Euklid sagte im Wesentlichen, dass eine Linie eine fortlaufende Menge von Punkten entlang einer einzigen Dimension ist. Auch wenn das Konzept von Maßen oder Koordinatensystemen als solches zu seiner Zeit noch nicht existierte, glaube ich, dass er dies mit den Worten „gleich liegen“ (ἐξ ἴσου... κεῖται) auszudrücken versuchte. Diese Idee könnte anhand eines Stapels von Ziegeln veranschaulicht werden, von denen jeder gleichmäßig auf den anderen liegt, so dass jede Unregelmäßigkeit dazu führen würde, dass sie umkippen.

Ob wir es mit Ziegeln oder als Blickrichtung darstellen, die Idee der Richtung wird vorausgesetzt. Bei Ziegeln wird sie durch die vertikale Richtung dargestellt, in der die Schwerkraft auf die Ziegel wirkt. Die Idee einer einzigen Dimension wird auch durch das Wort "gleichmäßig" dargestellt, da jede Unebenheit durch eine Unregelmäßigkeit in Bezug auf die Gesamtrichtung der Linie manifestiert würde. Mit anderen Worten, ein unebener Stein wäre in einer Richtung senkrecht zur Linie fehl am Platz, genau wie eine Dimension senkrecht zu einer anderen ist. Wichtig ist hier zu beachten, dass die Definition einer Linie den Begriff des Raums voraussetzt. Das Konzept einer einzelnen Dimension wird im Gegensatz zu anderen Dimensionen verstanden. Das Gleiche finden wir, als Euklid seine Definition eines Punktes gab, der „das ist, was keinen Teil hat“. (Euklids Elemente , S. 153) Ein Punkt ist eine dimensionslose Einheit, die, wenn sie überhaupt einen „Teil“ oder irgendeine teilbare Größe hätte, kein Punkt mehr wäre. So wird der Mangel an Dimension im Gegensatz zu Dimension verstanden.

Euklids Definitionen beruhen auf der Tatsache, dass Menschen bereits eine Vorstellung von Breite, Ausdehnung und Geradlinigkeit haben. In dieser Hinsicht gibt es eine gewisse Zirkularität in Euklids Definition, die, wie Heath betont, etwas war, das Euklid zu vermeiden versuchte, aber es führte kein Weg daran vorbei:

„Die Wahrheit ist, dass Euklid das Unmögliche versucht hat. Wie Pfleiderer sagt ( Scholia zu Euklid ): „Es scheint, als ob der Begriff einer geraden Linie aufgrund seiner Einfachheit nicht durch eine reguläre Definition erklärt werden kann, die nicht bereits Wörter einführt implizit den zu definierenden Begriff in sich enthalten (wie z. B. Richtung, Gleichheit, Einheitlichkeit oder Gleichmäßigkeit der Lage, unbeirrbarer Kurs), und als ob es unmöglich wäre, wenn jemand nicht schon weiß, was der Begriff gerade hier bedeutet , es ihm zu lehren, es sei denn, indem man ihm auf irgendeine Weise ein Bild oder eine Zeichnung davon vorlegt. ( Euklids Elemente , S. 168)

Jeder Begriff, dessen Einfachheit nicht durch eine Definition reduziert werden kann, die aus einfacheren Begriffen besteht, wird allgemein als primitiv bezeichnet. Alfred Tarski beschreibt diese Ausdrücke wie folgt:

„Wenn wir uns daran machen, eine bestimmte Disziplin zu konstruieren, unterscheiden wir zunächst eine bestimmte kleine Gruppe von Ausdrücken dieser Disziplin, die uns unmittelbar verständlich erscheinen; die Ausdrücke dieser Gruppe nennen wir Grundbegriffe oder unbestimmte Begriffe, und wir verwenden sie, ohne ihre Bedeutung zu erklären, und halten uns gleichzeitig an den Grundsatz, keine der anderen Ausdrücke der betrachteten Disziplin zu verwenden, es sei denn, ihre Bedeutung wurde zuvor mit Hilfe von Grundbegriffen und solchen Ausdrücken der Disziplin bestimmt Disziplin, deren Bedeutung zuvor erklärt wurde“ ( Introduction to Logic: and to the Methodology of Deductive Sciences , S. 118)

Die Notwendigkeit, einige Konzepte als primitiv zu betrachten, kann im Hinblick auf die Beschränkungen der Kommunikation und anderer repräsentativer Wissensformen verstanden werden. Die Wörter und Variablen, die wir in Kommunikation, Logik und Mathematik verwenden, sind nur Symbole, die den zu kommunizierenden Inhalt darstellen. Sie sind keine Träger des Inhalts, als ob sie tatsächlich Bedeutung transportieren könnten; vielmehr werden sie durch Konvention akzeptiert, um Bedeutung zu bezeichnen, und sind daher zufällig mit dem verbunden, was sie bedeuten. Neben diesen repräsentierten Inhalten besteht die Kommunikation auch aus den Wissensformen, die wiederum aus Relationen bestehen. Obwohl Relationen es uns ermöglichen, Inhalte in Bezug auf andere Inhalte zu definieren, wird schließlich eine Grenze erreicht, an der die Einfachheit des Inhalts erschöpft ist, und aus diesem Grund benötigen wir primitive Konzepte.

Daraus folgt, dass eine Kommunikation nur dann ermöglicht wird, wenn der Empfänger bereits ansatzweise über die zu kommunizierenden Inhalte verfügt. Wörter und Variablen können räumliche Konzepte wie Geradheit, Länge und Fläche darstellen, aber sie können sie nicht kommunizieren, ohne dass der Rezipient a priori ihre Bedeutung kennt. Immanuel Kant sprach von Inhalt in Bezug auf seine Form (die von den Formen des Wissens oder der Urteile zu unterscheiden ist) und seine Materie. Während die Materie durch Empfindung aufgenommen wird, werden die räumlichen Eigenschaften innerhalb der Beschränkungen möglicher geometrischer Formen repräsentiert, die a priori besessen sind :

"Raum und Zeit sind die reinen Formen [der Anschauung]; die Empfindung die Materie. Die erstere allein können wir a priori erkennen , das heißt, aller wirklichen Wahrnehmung vorausgehend; und aus diesem Grund wird eine solche Erkenntnis reine Anschauung genannt." ( Kritik der reinen Vernunft , A41/B59)

Der Klarheit halber muss der Rezipient auch über die Mittel verfügen, die „Sache“ des Inhalts darzustellen. Obwohl wir die Materie durch Empfindung erhalten, müssen Qualitäten wie Farben, Geschmäcker und Klänge phänomenal dargestellt werden, da sie zu primitiv sind, um durch irgendwelche symbolischen Mittel mitgeteilt zu werden.

Ich stimme der Antwort von Cort Ammon voll und ganz zu, möchte aber einige Punkte zum Thema Definitionen hinzufügen.

Es gibt verschiedene Dinge, die wir Definitionen nennen können.

Eine strenge Definition verbindet einen Begriff mit einer äquivalenten Aussage, so dass der Begriff in jedem Satz durch die andere Aussage ersetzt werden kann, ohne die Bedeutung des Satzes zu ändern.

Dies kann für abgeleitete Begriffe funktionieren, aber irgendwann werden Sie primitive Begriffe benötigen, die auf diese Weise nicht definiert werden können, aber zur Definition anderer Begriffe verwendet werden (Sie werden den Grund Ihres Begriffssystems erreichen).

Für primitive Begriffe gibt es implizite Definitionen, die eigentlich eine Reihe von Axiomen sind, in denen die Begriffe verwendet werden. Es ist eine Art Definition durch Gebrauch. Nehmen Sie zum Beispiel die Newtonsche Physik: „Masse“ und „Kraft“ werden nie definiert, sie sind primitive Begriffe. Aber die Axiome der Newtonschen Physik setzen Massen und Kräfte so in Beziehung, dass wir sie erfassen können, auch wenn sie nicht genau definiert sind.

Das gleiche gilt für die euklidische Geometrie: Linien, Punkte, Segmente und Winkel sind die Urbegriffe und sie sind nicht streng definiert, sondern implizit durch Axiome, die sagen, wie sich Punkte und Linien relativ zueinander verhalten.

Ein axiomatisches System ist eine gute Beschreibung eines beabsichtigten Bereichs, wenn alle Konsequenzen, die wir daraus ableiten können, auf die Objekte dieses Bereichs zutreffen, die wir intuitiv betrachten, und natürlich spielt die Intuition hier eine Rolle. Im Fall von Linien sind die Axiome gut, weil alle Konsequenzen (Theoreme ...) für unsere Darstellungen von Linien im euklidischen Raum gelten.

Dies lässt die Frage nach dem Ursprung der Intuitionen offen (welche Linien versuchen wir zu definieren?). Im Fall der Geometrie kommen unsere Intuitionen sicherlich aus dem physischen Raum. Um zu wissen, dass die Theoreme der Geometrie für den physikalischen Raum gelten, brauchen wir, was Poincare Koordinationspostulate nennt: zum Beispiel die Annahme, dass sich Licht im Vakuum in geraden Linien ausbreitet. Sie bilden primitive Begriffe eines axiomatischen Systems auf unsere Beobachtungen ab (Poincare betrachtete sie als eine Art Konvention). Koordinationspostulate können als Teil der impliziten Definition physikalischer Linien betrachtet werdenAber es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass ein axiomatisches mathematisches System unabhängig davon ist, wie es auf unsere Beobachtungen abgebildet wird, und in gewissem Sinne bedeutet eine Linie im mathematischen Sinne nichts anderes, als den entsprechenden Axiomen der Geometrie zu gehorchen.

BEARBEITEN Ich denke, es ist problematisch, Linien als Funktionen (y = ax + b) zu definieren, da ein Koordinatensystem kein geometrischer Raum ist. Sie hat einen Ursprung, eine Längeneinheit und Vorzugsrichtungen, die geometrischen Räumen fehlen. Man sollte ein Koordinatensystem eher als eine Möglichkeit sehen, Zahlenmengen geometrischen Punkten zuzuordnen, und eine Funktion ist eine Möglichkeit, eine Zahlenmenge zu definieren, die Linien entsprechen kann, aber all dies erfordert bereits andere Konzepte, also die richtige Art, a zu definieren Linie ist durch die Verwendung von rein geometrischen Axiomen.

Lassen Sie mich mit der nominalistischen Antwort beginnen.

"Gerade Linie" ist eine Folge von Wörtern, und als Gesellschaft haben wir uns implizit auf bestimmte Konventionen geeinigt, in welchen Sätzen wir die Wörter "Gerade Linie" korrekt verwenden können. Das ist alles.

Dies ist keine sehr nützliche Antwort, also lassen Sie mich etwas hinzufügen. In den meisten modernen Formulierungen von Euklid (Euklids ursprüngliche Axiome hatten einige subtile Löcher, sodass sie im 19. Jahrhundert auf verschiedene Weise geflickt wurden) wird „gerade Linie“ als undefinierter Begriff verwendet . In jeder Theorie muss es undefinierte Begriffe geben, denn wenn Sie versuchen, alle Wörter durch andere Wörter zu definieren, erhalten Sie einen unendlichen Regress. Einem undefinierten Begriff wird keine Bedeutung gegeben, aber es gibt Axiomeüber die verschiedenen undefinierten Begriffe, die sagen, wie die undefinierten Begriffe korrekt miteinander verwendet werden können. Zum Beispiel lautet eines der Axiome, dass es bei gegebenen zwei unterschiedlichen Punkten ("Punkt" ist auch ein undefinierter Begriff) genau eine gerade Linie gibt, auf der beide Punkte liegen (die Beziehung eines "Punktes" ist "auf" einem " gerade Linie" ist ebenfalls ein unbestimmter Begriff). Aus den Axiomen lassen sich logisch verschiedene Theoreme ableiten . Einige dieser Theoreme sind kompliziert zu formulieren, wenn nur die ursprünglichen undefinierten Begriffe verwendet werden, daher macht man auch Definitionen , die besagen, dass ein Wort oder eine Phrase eine Abkürzung für eine längere Kombination von undefinierten Begriffen ist (oder andere Definitionen, die dann weiter erweitert werden könnten).

Hier hat ein undefinierter Begriff keine spezifische Bedeutung, aber er hat einen Kontext , der angibt, wie er richtig verwendet werden kann. In gewisser Weise ist dieser Kontext die Bedeutung des Begriffs. Mehr ist der Theorie jedenfalls nicht zu entnehmen.

Lassen Sie mich für einen Moment zurücktreten; Früher habe ich "Theorie" auf eine technische Weise formuliert, die ich erläutern sollte. Eine Theorie ist eine Sammlung undefinierter Begriffe und Axiome.

Wenn man eine Theorie hat, kann man Modelle der Theorie haben. Ein Modellist eine Realisierung einer Theorie im Kontext einer anderen mathematischen Theorie. Für die euklidische Geometrie (die Theorie der geraden Linien und Punkte 3 oben in 3 Absätzen skizziert) gibt es ein Standardmodell der euklidischen Geometrie in der kartesischen Geometrie. Wenn eine Theorie T ein Modell M innerhalb einer anderen Theorie U hat, dann können den undefinierten Termen von T Definitionen in Form der undefinierten Terme von U gegeben werden, so dass die Axiome von T Theoreme von U werden. Das ist es bedeutet, eine Theorie durch eine andere zu verwirklichen. In Bezug auf das Modell der euklidischen Geometrie innerhalb der kartesischen Geometrie ist eine „gerade Linie“ also die „Menge“ aus allen „geordneten Paaren“ von „reellen Zahlen“, die eine Gleichung ax+by=c erfüllen (für feste a, b , und C). Sie können diese Definition nachvollziehen, aber wie Sie beobachten, schließlich stoßen Sie auf die undefinierten Begriffe der kartesischen Geometrie. Sie können weiterhin ein Modell der kartesischen Geometrie innerhalb einer anderen Theorie und letztendlich in der Zermelo-Frankel-Mengentheorie erstellen, aber auch das hat undefinierte Begriffe.

Denken Sie daran, dass die euklidische Geometrie andere Modelle hat, die keine kartesische Geometrie sind, und sogar Modelle in kartesischer Geometrie, die sich vom Standardmodell unterscheiden. Zum Beispiel glaube ich, dass es möglich ist, ein Modell zu konstruieren, bei dem sich für unsere Augen alle geraden Linien biegen, wenn sie die y-Achse kreuzen (wie Lichtstrahlen, die sich biegen, wenn sie in Wasser kreuzen). (Ein humorvolles Modell der projektiven Geometrie finden Sie unter http://arxiv.org/abs/1406.5157 )

Im Grunde bin ich ein Nominalist, und ich würde sagen, das ist alles, was man bekommt. Ich würde sagen, dass Sie weiter daran arbeiten können, verfeinerte und detailliertere und nützlichere Möglichkeiten zu finden, um zu beschreiben, was "gerade Linie" bedeutet, aber Sie erhalten nie eine vollständige Klärung (*). Meine Lieblingsanalogie ist der Bau eines Fundaments für ein Gebäude. Wir bauen ein Fundament in den Boden, und wir können tiefer graben, um das Gebäude sicherer zu verankern, und für höhere Gebäude benötigen wir aus gutem Grund sicherere Fundamente, aber wir bestehen nicht darauf, unsere Gebäude mit dem Erdmittelpunkt zu verbinden ( und es wäre in der Tat töricht, es zu versuchen).

Es gibt auch Realisten der einen oder anderen Art, die der Meinung sind, dass sich einige dieser undefinierten Begriffe auf tatsächliche Objekte beziehen. Platoniker gelten allgemein als die extremsten Realisten, die der Meinung sind, dass einige Theorien (für sie die tatsächlich wahren Theorien) undefinierte Begriffe haben, die sich auf Objekte in einem platonischen Bereich beziehen, in dem sie tatsächlich die durch die Axiome gegebenen Beziehungen haben. Realisten unterscheiden sich im Umfang dessen, welche undefinierten Begriffe ihrer Ansicht nach Realität haben, wie sie Realität haben und so weiter.

Auf der anderen Seite gibt es auch Idealisten der einen oder anderen Art, die der Meinung sind, dass einige undefinierte Begriffe (die in tatsächlichen Theorien vorkommen) als spezifische Gedankenmuster in unserem Geist verschlüsselt leben.

Meiner Meinung nach ist es schwierig, mit dem Banach-Tarski-Paradox ein Empiriker über Mathematik zu sein, aber es gibt einige.

Einige Ideen, die spezifisch für Mathematik und die Philosophie der Mathematik sind, können Ihnen mehr erklären, aber am Ende haben Sie die Wahl zwischen den verschiedenen Antworten auf "Was ist wirklich etwas?" Denken Sie nur daran, dass es möglich ist, für mathematische Objekte eine andere Antwort zu geben als für physische, materielle oder soziale Objekte.

(*) Dieser Satz soll sich auf eine Bemerkung in Philosophical Investigations beziehen, irgendwo um die Nummer 100 herum, aber ich habe mein Exemplar nicht bei mir.

Wir alle müssen zugeben, dass es auf der Welt keine geraden Linien gibt. Was würde es also bedeuten zu sagen, was man wirklich in Bezug auf irgendetwas in der realen Welt außer uns selbst ist?

Das impliziert, dass Sie aus der Mathematik oder aus der objektiven Realität niemals eine Vorstellung davon bekommen werden, was an geraden Linien wichtig ist. Sie müssen eine Antwort von dem suchen, was uns ausmacht: Psychologie und Evolution.

In der Mathematik geht es nicht um reale Dinge. Es geht um Idealisierungen, auf die sich menschliche Köpfe im Allgemeinen einigen können.

Lassen Sie mich diese Perspektive auf die Mathematik ein wenig erläutern.

Lassen Sie uns für ein einfacheres Beispiel zu einer Zahl zurückkehren, sagen wir 5. Sie können mir Sätze von fünf Dingen zeigen und sagen, dass Sie herausgefunden haben, was fünf in der realen Welt bedeutet. Aber das erklärt nicht, warum Sie auch eine Länge von fünf Zentimetern haben können, denn Sie werden niemals in der Lage sein, eine Linie zu zeichnen, die genau fünf Zentimeter lang ist, oder eine Länge in genau fünf einzelne Zentimeterstücke zu schneiden. Ich konnte auch nicht sagen, ob Sie dies getan haben. Noch schlimmer, versuchen Sie, die fünf Objekte zu einer Fläche von fünf Quadratzentimetern zu verbinden.

Nur die Tatsache, dass wir diese Intuitionen über einfache Erklärungen miteinander verknüpfen können, macht sie alle zu Aspekten derselben Sache, der Zahl 5. Aber wie Sokrates und die Pythagoräer bereits vor langer Zeit demonstriert hatten, diese einfachen Erklärungen machen keinen Sinn, es sei denn, Sie sind bereits prädisponiert, sie zu verstehen.

Diese Zahl ist ein Haufen sehr unterschiedlicher Dinge, die in Ihrem Kopf zusammenpassen und eine bestimmte ideale Qualität haben. Diese Fläche von fünf Quadratzentimetern ist schließlich nie genau fünf Quadratzentimeter. Sie wissen nur, was es bedeuten würde, wenn es so wäre.

Wir wissen, was eine Gerade im Idealfall ist: ein Weg, der möglichst schnell von einem Punkt zum anderen führt und das Ergebnis unendlich in beide Richtungen extrapoliert. Und wir wissen, dass es nicht real ist, sondern eine sprachliche Konvention.

Aber es ist eine ganz besondere Art von sprachlicher Konvention – eine, die Menschen ganz natürlich kommt. Natürlicher als wirkliche, beobachtbare Dinge kommen zu uns, wenn wir sie wirklich beobachten.

Das Besondere an einer geraden Linie ist, dass, wenn Sie eine Annäherung an sie ziehen, ein anderer Mensch stark prädisponiert ist, tatsächlich eine bessere Annäherung wahrzunehmen, als Sie gezeichnet haben . Sie könnten versucht sein, Ihre Zeichnung zu korrigieren, oder wenn sie sie kopieren, zeichnen sie eine Version, die die beabsichtigte Figur in ihrem Kopf besser wiedergibt, als Sie es in der Realität geschafft haben.

Wir müssen also zugeben, dass eine gerade Linie eine gemeinsame menschliche Gewohnheit ist, etwas, zu dem unsere visuellen und erklärenden Mechanismen von unserer Natur gezogen werden. (Ich würde behaupten, dass diese gemeinsamen menschlichen Gewohnheiten der eigentliche Gegenstand der Mathematik sind.)

Die Leute werden dasselbe mit einem harmonisierten Intervall oder einer eingängigen rhythmischen Figur machen. Wir können leichter dahinterkommen und die sensorischen Vereinfachungen sehen, die die "richtigeren" Formen ermöglichen. Sie lassen sich leichter reproduzieren, aufgrund der einfacheren Wellenformen, die wir durch Resonanz wahrnehmen können, wenn wir versuchen, die Harmonien zu reproduzieren, oder der Verwendung von Trägheit und Muskelgedächtnis im Körper, die wir verwenden können, um die rhythmischen Figuren zu reproduzieren.

Ich würde vorschlagen, dass Musik und Geometrie dies gemeinsam haben, dass wir uns dazu hingezogen fühlen, ideale Formen zu suchen, die die einfachsten Formen sind, die ohne Werkzeuge mechanisch wiederholt werden können.

So gesehen hat die Gerade eine eindeutige Definition: Sie ist die Idealform der gezeichneten oder sonst wie eingeprägten Figur, die sich ein Mensch beim Kopieren ohne Hilfsmittel am einfachsten annähern kann.

Die ideale Form ist gerade, weil Geradlinigkeit die Lösung eines Optimierungsproblems beinhaltet. Wenn wir sie verfehlen, können wir unsere Annäherung verbessern, indem wir Variationen entfernen. Wenn wir es ausreichend reparieren, können wir es immer gut genug machen, um die richtige Idee zu vermitteln. Für uns hat keine bestimmte Kurve diese Qualität.

Sie hat auch keine vorgegebene Länge, weil wir uns bei der Länge einer Linie immer irren können, und das können wir auch korrigieren. Aber das ist schwer. Die perfekte Linie wäre also eine ohne bestimmte Länge.

Praktischerweise haben wir einen optischen Mechanismus mit Perspektive, also haben wir die Idee des „Verschwindens ins Unendliche“, um beliebig große visuelle Räume in endliche Darstellungen zu packen. Und wir können uns eine Linie vorstellen, die in beide Richtungen einfach ins Unendliche verschwinden würde.

Ich stimme Cort Ammon im Prinzip zu, aber ich möchte seinen Anthropozentrismus untergraben. Ja, gerade Linien sind nützlich und schön. Aber diese Kompaktheit der Darstellung macht die Idee einer geraden Linie für uns nützlich, und diese Kompaktheit ist „kompakt“, weil wir wir sind.

Es ist leicht vorstellbar, dass einige Arten Kreise als geometrische Grundfigur gewählt hätten, wenn sie die extreme Symmetrie eines Oktopus hätten, der einen Kreis peitschen könnte, indem er mit allen Armen gleichzeitig zeichnet – oder Hyperbeln, wenn sie eine wurmähnliche Fähigkeit hätten sich zu beliebig langen Strängen mit fester Geschwindigkeit auszudehnen. Und diese würden zu gleichermaßen nützlichen, sehr unterschiedlichen Perspektiven führen, die Wissenschaft und Technik ebenso fest verankern könnten.

Euklids Definition ist, wenn ich sie richtig interpretiere, eine lokale Definition; Deshalb spricht er von den Punkten auf der Linie, die gleich liegen .

In einem modernen Kontext würden wir sagen, dass die Linie lokal flach ist ; Es wird auch als Definition einer Mannigfaltigkeit verwendet, da es sich um einen Raum handelt, der lokal flach ist .

Von hier aus können wir, wie er in seinem Postulat vorschlägt, eine Linie von einem Punkt zum anderen ziehen; während wir unsere Bewegung lokal als Bewegung in einer geraden Linie verfolgen; das ist Paralleltransport .

Sowohl diese als auch die andere von Ihnen vorgeschlagene Definition - die Variationsdefinition wird sowohl in der modernen Geometrie als auch in der (mathematischen) Physik verwendet.

Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das zufrieden stellen wird, aber es ist eine andere (ziemlich offensichtliche) Art, darüber nachzudenken – eine Linie ist eine Funktion, deren Ableitung eine Konstante ist oder deren zweite Ableitung null ist. Wenn Sie sich die Sammlung von unendlich kleinen Liniensegmenten ansehen, die Sie zuvor beschrieben haben, hat jedes die gleiche Steigung – die gleiche Tangente – wie die davor und danach?

Ich denke, die Konzepte von Steigung und Tangente basieren auch auf dem Konzept der Linie, aber das spricht immer noch meine Intuition an.

Es ist nicht völlig absurd, einen Kreis als "Linie" zu bezeichnen, die auf ein Zentrum ausgerichtet ist. In diesem Fall folgt jedes infinitesimale Segment einem Muster, das von dem vorherigen festgelegt wurde, wobei sich sein "Pfad" gemäß diesem Muster ändert, das sich in Richtung Zentrum bewegt. Eine "gerade" Linie ist eine ohne solche Voreingenommenheit - wo jedes Liniensegment nur eine Transposition des letzten ist, ohne Transformation.

Meine Ideen beginnen ineinander zu fließen, aber ich denke, das ist in Ordnung, denn es scheint nicht so, als suchst du nach einer Antwort, sondern eher nach einem Juckreiz. Hoffe, ich habe geholfen.

Er hat nicht definiert, was eine gerade Linie ist!

Er definierte, was in seinem Satz von Axiomen (der Euclidaen-Topologie) ein Konzept namens „gerade Linie“ ist. Zufälligerweise ist diese Definition intuitiv und wird normalerweise implizit verwendet, ohne anzugeben, welche Topologie wir verwenden – sogar in der „realen Welt“. Aber an diesem Punkt verlassen wir die Mathematik und fragen uns, was eine gerade Linie sein könnte, und stolpern über die saubere und intuitive Definition, die Euklid geliefert hat, und akzeptieren einfach, dass dies in den meisten Fällen der Fall ist.

Ich könnte jederzeit eine neue Topologie erfinden, die ein neues Konzept von etwas namens „gerade Linie“ hat, das völlig anders ist, aber immer noch korrekt ist, solange es nicht in sich widersprüchlich ist.

Sie denken nicht zu viel darüber nach, Sie lassen die reale Welt einfach nicht genug hinter sich . Der Mathematik ist es egal, ob eine Definition vernünftig oder intuitiv ist (das machen nur Mathematiker).

Weil Menschen rechnen, versuchen wir normalerweise – der Einfachheit halber – Namen zu verwenden, die wir tatsächlich verwendet haben und die intuitiv erscheinen.

Es läuft alles auf die Namensgebung hinaus, also fragen Sie sich besser:

• Was ist eine „gerade Linie“ in „unserer Welt“ (und nicht in einem bequemen Satz von Axiomen)?
• Warum haben Mathematiker X 'x' für jedes mathematische Konzept genannt ;-)

Eine gerade Linie ist einfach ein Wahrnehmungsobjekt, das wir „erkennen, wenn wir es sehen“. Das ist genug. Wichtig ist, dass wir genügend Intuition haben, um Axiome über gerade Linien festhalten zu können, die jedem offensichtlich wahr erscheinen. Aus diesen Axiomen können wir dann Eigenschaften von geraden Linien ableiten, einschließlich, dass sie durch Gleichungen der Form ax + by + c = 0 dargestellt werden können (was sich aus Sätzen über ähnliche Dreiecke und der Dreiecksflächenformel ableiten lässt, wenn ich mich recht erinnere ). Die Bereitschaft, bestimmte Axiome über physikalische Objekte zu akzeptieren, ist der Eintrittspreis für die Anwendung der Mathematik auf die reale Welt.

Beachten Sie, dass es überhaupt nicht befriedigend wäre, einfach zu sagen, dass die kartesische Gleichung die Definition einer geraden Linie ist, denn woher wissen Sie dann, dass die Kante meines Schreibtisches eine gerade Linie ist? Sie könnten es messen, aber abgesehen davon, dass es eine sehr hässliche Ad-hoc-Lösung ist, müssen Sie nicht zugeben, dass Sie sich ziemlich sicher waren, dass es sich um eine gerade Linie handelt, bevor Sie jemals gemessen haben.

Das gleiche Problem tritt bei Kreisen auf. Eine Aussage wie "ein Kreis ist die Menge von Punkten in einem festen Abstand vom Mittelpunkt" ist nicht wirklich eine Definition. Die Definition von "Kreis", außerhalb der technischen mathematischen Sprache, ist "das Objekt, das wir alle intuitiv visualisieren können und das wir einen Kreis nennen". Sie erkennen einen Kreis nur, wenn Sie ihn sehen , und das reicht aus, um den mathematischen Stein ins Rollen zu bringen. Sie legen eine Eigenschaft fest wie "jeder Punkt ist gleich weit von einem Zentrum entfernt", die offensichtlich auf diese Form zuzutreffen scheint, die Sie überall um sich herum sehen, und nennen Sie einen "Kreis", und leiten Sie dann weitere Sätze daraus ab. Die Definition der "kürzesten Entfernung" für eine Linie ist ähnlich. Die Bestimmungeiner geraden Linie ist immer noch nur "Dinge, die offensichtlich gerade Linien sind, wenn man sie betrachtet", aber "der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten" ist ein vernünftig erscheinendes Axiom über diese Objekte.

Sehr interessant ist, dass die visuellen Muster – also Formen – die wir am intuitivsten aufgreifen (Linien, Kreise) auchzufällig diejenigen mit einfachen mathematischen Definitionen, die sich als von grundlegender Bedeutung erweisen. Zum Beispiel sind "Linien" einfach eine Art Muster in unseren visuellen Eingaben, die wir leicht erkennen können - wir erkennen sie, wenn wir sie sehen. Doch durch ein seltsames Schicksal stellt sich heraus, dass sie eine einfache analytische Definition durch eine lineare Gleichung haben, und tatsächlich verstehen wir jetzt, dass sie nur ein Fall des allgemeineren Begriffs einer Hyperebene in einem Vektorraum sind, der für alle grundlegend ist Arten von Kontexten, die über die Geometrie des physischen Raums hinausgehen. Das scheint ein höllischer Glücksfall zu sein – die Formen, die die alten Menschen für die „schönsten“ und „einfachsten“ hielten, erweisen sich als wichtig in fortgeschrittenen mathematischen Theorien, die im 19. und 20. Jahrhundert entwickelt wurden!

Was meiner Meinung nach hier vor sich geht, ist im Grunde, dass die Natur mathematisch ist. Daraus folgt, dass sich Konzepte, die in der Mathematik wichtig sind, in den physikalischen Gesetzen manifestieren, die die Realität beherrschen. Die für uns relevantesten Beispiele und gerade Linien sind die Art und Weise, wie eindimensionale Unterräume des euklidischen Raums mit den Gesetzen der Optik und Mechanik interagieren (Objekte bewegen sich ungestört in einer geraden Linie, Licht bewegt sich in einer geraden Linie). Daher bereitet uns die natürliche Selektion auf ein intuitives Verständnis einiger dieser wichtigen mathematischen Konzepte vor, damit wir uns in der physischen Welt zurechtfinden können. Diese Intuitionen geben uns die Fähigkeit, wahre mathematische Eigenschaften dieser Objekte (Axiome) zu erraten,

Ich weiß nicht, wie praktikabel eine solche Definition in der Praxis wäre (eine wichtige Überlegung), aber Sie könnten eine gerade Linie in Bezug auf eine Teilmenge der euklidischen Ebene P und die Abstände zwischen Punkten in P wie folgt definieren:

Eine Teilmenge L von P ist genau dann eine Gerade, wenn es verschiedene Punkte x und y auf P gibt , so dass jedes Element von L gleich weit von x und y entfernt ist .

In ähnlicher Weise könnten Sie eine Ebene anhand einer Teilmenge des euklidischen 3-Raums S3 und der Abstände zwischen Punkten in S3 wie folgt definieren:

Eine Teilmenge P von S3 ist genau dann eine Ebene, wenn es in S3 verschiedene Punkte x und y gibt, so dass jedes Element von P gleich weit von x und y entfernt ist .

BEARBEITEN: Im Allgemeinen können Sie gerade Linien und Ebenen für jeden metrischen Raum auf ähnliche Weise definieren .

Bevor wir uns damit befassen, was eine Linie ist, lasst uns darüber nachdenken, was wir andere Dinge interpretieren.

Zunächst einmal enthält Ihre Frage einen einfachen mathematischen Definitionsfehler. Aus meiner Grundschulmathematik, soweit ich mich erinnere, hat ein Liniensegment zwei Endpunkte, ein Strahl hat einen Anfangspunkt, und eine Linie geht unendlich weiter. Ich denke, Sie wollten in Ihrer Frage nach Liniensegmenten anstelle von Linien fragen.

Wir leben auch in einem mehr als 3D-Universum. Einige argumentieren, dass es 10 oder mehr Dimensionen hat. Was kann das bedeuten? Wir können es immer noch nicht genau wissen. Wenn wir ein 2D-Universum nehmen, befindet sich alles auf einer flachen Ebene, unendlich ausgedehnt oder nicht. Um 2D in 3D umzuwandeln, müssen wir eine weitere Dimension hinzufügen, indem wir sie auf andere Weise erweitern. Wie wir zufällig wissen (schätzen), ist 1d dort, wo nur eine gerade Linie existiert. Wenn diese 1D-Linie in den 3D-Raum transportiert wurde, muss sie noch viele Erweiterungen in verschiedene Richtungen durchlaufen, die für den menschlichen Verstand unvorstellbar sind. 3d -> 4d = Linie -> Quadrat; 4d - 5d = Quadrat -> Würfel; 5d -> 6d = Würfel -> gesamte Zeitleiste des Würfels (wie ich es gerne nenne) oder Rapid Prototyping (wie andere es gerne nennen). Wir sind weit genug gegangen. Wenn wir ein 2D-Dreieck mit Kanten, die sich zu 180 Grad addieren (duh!), in den 3D-Raum nehmen, Die Winkel addieren sich nicht mehr zu 180 Grad. Dasselbe passiert mit einer Linie. Wenn es eine Linie bleiben soll, wird es gekrümmt, also ist es keine Linie mehr? Die Definition liegt bei Ihnen, um sie im nächsten Wörterbuch zu bearbeiten :)

Meine Antwort wird eher ein halb-pseudowissenschaftlicher Ansatz sein ... wenn Sie das tatsächlich so formulieren.

Persönlich würde ich sagen, dass es so etwas wie eine genaue, physische Manifestation dessen, was wir als gerade Linie klassifizieren würden, nicht gibt; zumindest so, wie wir es uns normalerweise vorstellen. Aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation können wir nicht gleichzeitig exakten Impuls und Ort messen; In gewissem Sinne ist Ihre Linie also möglicherweise nie vollständig oder sogar gerade.

Aber wenn ich es von einer normal beobachtbaren Größe aus betrachten würde, würde ich immer noch sagen, dass es so etwas wie eine wirklich gerade Linie nicht gibt. Die einzige Möglichkeit, wie ich etwas wirklich gerade betrachten würde, besteht darin, dass der Schöpfer die Erdkrümmung vollständig berechnet, wenn er das "gerade" Objekt erstellt. Im praktischen und wörtlichen Sinne ist das so nah an einer "geraden" Linie, wie ich es mir vorstellen kann. Während wir eine Reihe von Dingen in unserem Kopf konzipieren könnten, müssten wir die Theorie in die Praxis umsetzen, bevor wir sie als eine ausreichend gute Repräsentation betrachten, wie alles andere auf der Welt.

Aus philosophischer Sicht müsste ich die ursprüngliche Aussage wiederholen: So etwas gibt es im physikalischen oder beobachtbaren Universum nicht. Eine „gerade“ Linie ist nichts anderes als ein mentales Bild, das wir konzipiert und dann in der physischen Welt erschaffen haben. Eine gerade Linie so zu definieren, dass man sie physikalisch verstehen kann, erinnert mich fast an den Versuch, Emotionen, Logik oder Rationalität zu definieren. Sie können die „kürzeste Distanz“ nicht machen, ohne die Zeit anzuhalten, jedes einzelne Teilchen im Raum einzufrieren und sie alle von Hand zu bewegen.

Auf eine viel einfachere, aber immer noch komplexe Weise heruntergebrochen: Eine gerade Linie ist nichts anderes als eine Idee, die von Menschen mit Geräuschen erklärt wird, die versucht wird, im physikalischen Bereich genau nachgebildet zu werden, sich aber letztendlich den Gesetzen der wahrnehmbaren Physik widersetzt als die Konzept selbst ist fehlerhaft. Die Idee, dass Sie den "kürzesten" Weg schaffen, bedeutet, dass Sie es tatsächlich wissender kürzeste Weg. Durch wie viele Dimensionen müssen wir navigieren? Können wir ein Wurmloch benutzen? Wenn wir „gerade“ als den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten definieren und das negieren, was die meisten Menschen unter „gerade“ verstehen (wie keine Kurven oder Abweichungen von einem direkten und sich nie ändernden Kurs), könnten Sie tatsächlich den Verstand ein wenig beugen. Wenn wir zu unseren normalerweise wahrgenommenen 3 Dimensionen (x-, y- und z-Achse) eine weitere Dimension hinzufügen und sagen wir ... die w-Achse ... einfügen, würden wir jetzt beginnen, die Bedeutung von "gerade" auf völlig neue Weise zu hinterfragen Weg.

Gibt es wirklich so etwas wie eine gerade Linie? Konzeptionell würde ich ja sagen. Existieren in der physischen Welt? Ich denke, Sie müssen die Silizium-28-Kugel im Naturwissenschaftsunterricht wie eine langweilige Tatsache aussehen lassen, um Nerds zu vervollständigen.

„Straight“ ist ein abstraktes Konzept, und zwar ein sehr breites.

Es gibt keine einheitliche Definition dafür, was es bedeutet, dass eine Linie gerade ist, da es viele Dinge gibt, von denen ein solches Konzept abhängen würde, z. B. welche Topologie diese beiden Punkte einnehmen werden. Wie sieht es mit der räumlichen Dimension aus? Was ist das für ein Raum, euklidisch, kartesisch, polar? Um zu definieren, was es bedeutet, dass eine Linie gerade ist, müssten Sie sie viel weiter eingrenzen. Für eine zweidimensionale kartesische Ebene wäre dies der kürzestmögliche Weg zwischen zwei Punkten. Es gibt jedoch auch noch eine Reihe mathematischer Axiome zu erfüllen ...

Direkt über ein abstraktes Konzept nachzudenken, ohne Gründe, das Konzept umzusetzen, würde Sie zu paradoxem Denken, irreführenden Gedanken und völliger Verwirrung führen. Um es noch einmal zu wiederholen, Sie müssten eingrenzen, was und wo diese gerade Linie wäre; Sie müssten das Konzept in irgendeiner Form oder Weise implementieren. Finden Sie ein System von Regeln, die erfüllt werden müssen, um die gerade Linie zu definieren.

Denn eine Welt ohne Regeln ist Chaos.