Was ist falsch an der folgenden Methode zur Berechnung der mittleren Lebensdauer aus der Halbwertszeit?

Wenn Sie die mittlere Lebensdauer durch Summieren einer Reihe berechnen möchten, ist das Summieren der richtige Weg

$$\tau = \sum(\text{time at which particle decays})\times(\text{probability that particle decays at that time})$$ Das erste Problem ist also, dass Sie etwas anderes berechnen. Ihre Serie rechnet $$\sum(\text{time at which particle hasn't decayed})\times(\text{probability that particle hasn't decayed at that time})$$ das ist keine aussagekräftige Größe. Nicht zuletzt wird dadurch ein Teil der Partikel doppelt gezählt. Insbesondere einige der Partikel, die eine Sekunde überleben, werden auch zwei Sekunden oder drei Sekunden oder länger überleben, und diese werden in Ihrer Summe in mehreren Termen enthalten.

Wenn Sie dieses eine Problem beheben, erhalten Sie die folgende Serie:

$$1\times \underbrace{\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)}_{P(\text{decay},1)} + 2\times \underbrace{\frac{1}{2}}_{P(\text{survival},1)}\times\underbrace{\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)}_{P(\text{decay},2)} + \cdots$$ Wo $P(\text{decay},1)$stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass das Teilchen danach zerfällt $1\ \mathrm{s}$, usw.

An diesem Punkt werden Sie vielleicht feststellen, dass Sie die Partikel auch darauf beschränken, nur in ganzzahligen Sekunden zu zerfallen. Wenn Sie darüber nachdenken, macht Ihre Berechnung keinen Unterschied zwischen einem Teilchen, das danach zerfällt$1.1\ \mathrm{s}$und ein Teilchen, das danach zerfällt$1.9\ \mathrm{s}$, aber das sollte einen Unterschied machen, weil es sich ändert$1.1\ \mathrm{s}$-Lebensdauer Partikel für$1.9\ \mathrm{s}$-Lifetime-Partikel erhöhen die durchschnittliche Lebensdauer.

Sie können Ihre Logik tatsächlich extrapolieren, um die richtige Lösung zu finden, indem Sie einfach das Zeitintervall verkleinern. Zum Beispiel aus Ihrer ersten Gleichung$N(t) = N(0)\ 2^{-t/T_{1/2}}$, wissen Sie, dass das Teilchen eine Wahrscheinlichkeit hat$\frac{1}{2}$die erste Sekunde zu überleben. Aber was ist mit der ersten halben Sekunde?

$$\begin{align} P(\text{survival},1/2) &= \frac{N(1/2)}{N(0)} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ P(\text{decay},1/2) &= 1 - P(\text{survival},1/2) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$$ Und die zweite halbe Sekunde? $$\begin{align} P(\text{survival},1) &= \frac{1}{2} \\ P(\text{decay},1) &= 1 - P(\text{survival},1) = \frac{1}{2} \end{align}$$ Usw. Wenn Sie also zulassen, dass Partikel in Schritten von einer halben Sekunde statt in Schritten von einer Sekunde zerfallen, erhalten Sie $$\frac{1}{2}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + 1\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \frac{3}{2}\times\biggl[1 - \biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)\biggr]\times\frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots$$ was vereinfacht zu $$\frac{1}{2}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + 1\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \frac{3}{2}\times\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^2\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \cdots = \sum_n \frac{n}{2}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^{n - 1}\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) \approx 1.707$$ Wenn Sie dasselbe mit Viertelsekundenintervallen tun, gelangen Sie dazu $$\sum_n \frac{n}{4}\biggl(\frac{1}{2^{1/4}}\biggr)^{n - 1}\biggl(1 - \frac{1}{2^{1/4}}\biggr) \approx 1.571$$ Vielleicht können Sie das Muster hier sehen: if $\Delta$ist das Zeitintervall in Sekunden, it's $$\sum_n n\Delta\frac{1}{2^{\Delta(n - 1)}}\biggl(1 - \frac{1}{2^{\Delta}}\biggr)$$ Unter der Grenze als $\Delta\to 0$gibt Ihnen $\frac{1}{\ln 2}$.