Was ist Grundfrequenz, wie macht sie Sinn?

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Was ist Grundfrequenz, wie macht sie Sinn?

Schnur
Physik
Akustik
Frequenz
Obertöne
Wellenlänge

Pfarrei Nancy

Ich gehe gerade durch Oberschwingungen und verstehe die Grundfrequenz überhaupt nicht. Ich verstehe, dass es die einfachste Schwingung einer Saite ist, aber ich verstehe nicht, wie sie überhaupt eine Frequenz haben kann, wenn sie nur eine halbe Wellenlänge beträgt. Ist die Frequenz nicht, wie viele Zyklen pro Sekunde abgeschlossen werden, und ist die Grundfrequenz nicht nur eine halbe Periode, wenn sie eine halbe Wellenlänge ist? Wie kann es eine Frequenz von (sagen wir) 162 Zyklen pro Sekunde geben, wenn ein Zyklus nicht einmal im Medium der Saite abgeschlossen ist? Misst es die Frequenz der halben Wellenlänge als vollen Zyklus? Wird die Frequenz als ganzer Zyklus von einer Hälfte gemessen, weil es sich um eine resultierende Welle aus zwei Wellen handelt, die die halbe Wellenlänge bilden? Wenn ja, warum müssen wir mit zwei multiplizieren, um die Wellenlänge des Zyklus aus der Saitenlänge zu erhalten?

Benutzer137289

Holen Sie sich einen Slinky oder so etwas und beobachten Sie seine Schwingungen.

Pfarrei Nancy

Ja, aber wie ist eine halbe Wellenlänge ein Zyklus? Wie wird aus dieser halben Periode im Medium eine Frequenz gemacht? Ich verstehe eine Wellenlänge = einen Zyklus

Benutzer137289

Oder spielen Sie mit phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/… . (Aber nichts ist so aufschlussreich wie ein Slinky.)

Pfarrei Nancy

Vielen Dank für die Simulation, aber das hilft mir immer noch sehr wenig dabei, das Warum mit der Stehwellenfrequenz zu verstehen.

Alfred Centauri

Ich glaube, hier herrscht Begriffsverwirrung. Die einfachste Schwingung einer an beiden Enden befestigten Saite ist die Grundschwingung . Ja, die räumliche Variation entlang der Länge der Saite, z. B.

ϕ (x) = \sin (π x / L)

$\phi(x) = \sin(\pi x/L)$ ist ein "Halbzyklus", aber die Grundfrequenz bezieht sich auf die zeitabhängige Amplitude, z.

A (t) = A_{0} \cos (ω_{0} t)

$A(t) = A_0\cos(\omega_0 t)$ wo

ω_{0} = \frac{π}{L} \sqrt{T / ρ}

$\omega_0 = \frac{\pi}{L}\sqrt{T/\rho}$ . Somit vervollständigt sich die Amplitude des Modus

ω_{0} / 2 π

$\omega_0/2\pi$ Zyklen pro Sekunde. Siehe das animierte GIF bei dieser Antwort

Pfarrei Nancy

Was mich verwirrt, ist, ob eine Schleife, eine halbe Wellenlänge, da dies eine resultierende Welle ist, ein vollständiger Zyklus ist. Weil ich verstehe, dass Zyklen durchlaufen werden müssen, um die Frequenz zu messen, und die Grundfrequenz eine Frequenz von einigen Zyklen pro der kleinsten Frequenz hat, die das Medium haben kann, aber werden diese Zyklen in einer Schleife abgeschlossen? Und fügt die harmonische Reihe einem Zyklus einen weiteren und einen weiteren Zyklus hinzu? Ist es einfach, die resultierende Welle in eine Wanderwelle aufzufalten, um die Wellenlänge zu finden? Stellt jede Schleife in einem Standardwellenmuster einen Zyklus dar? Es tut mir so leid für so viele Fragen!

Antworten (3)

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Ja, aber wie ist eine halbe Wellenlänge ein Zyklus? Wie wird aus dieser halben Periode im Medium eine Frequenz gemacht? Ich verstehe eine Wellenlänge = einen Zyklus
Oder spielen Sie mit phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/… . (Aber nichts ist so aufschlussreich wie ein Slinky.)
Vielen Dank für die Simulation, aber das hilft mir immer noch sehr wenig dabei, das Warum mit der Stehwellenfrequenz zu verstehen.
Ich glaube, hier herrscht Begriffsverwirrung. Die einfachste Schwingung einer an beiden Enden befestigten Saite ist die Grundschwingung . Ja, die räumliche Variation entlang der Länge der Saite, z. B. $\phi(x) = \sin(\pi x/L)$ ist ein "Halbzyklus", aber die Grundfrequenz bezieht sich auf die zeitabhängige Amplitude, z. $A(t) = A_0\cos(\omega_0 t)$ wo $\omega_0 = \frac{\pi}{L}\sqrt{T/\rho}$ . Somit vervollständigt sich die Amplitude des Modus $\omega_0/2\pi$ Zyklen pro Sekunde. Siehe das animierte GIF bei dieser Antwort
Was mich verwirrt, ist, ob eine Schleife, eine halbe Wellenlänge, da dies eine resultierende Welle ist, ein vollständiger Zyklus ist. Weil ich verstehe, dass Zyklen durchlaufen werden müssen, um die Frequenz zu messen, und die Grundfrequenz eine Frequenz von einigen Zyklen pro der kleinsten Frequenz hat, die das Medium haben kann, aber werden diese Zyklen in einer Schleife abgeschlossen? Und fügt die harmonische Reihe einem Zyklus einen weiteren und einen weiteren Zyklus hinzu? Ist es einfach, die resultierende Welle in eine Wanderwelle aufzufalten, um die Wellenlänge zu finden? Stellt jede Schleife in einem Standardwellenmuster einen Zyklus dar? Es tut mir so leid für so viele Fragen!

Alfred Centauri · Answer 1

Ist die Frequenz nicht, wie viele Zyklen pro Sekunde abgeschlossen werden, und ist die Grundfrequenz nicht nur eine halbe Periode?

Wenn eine an beiden Enden befestigte Saite im Grundmodus schwingt , der senkrechten Verschiebung $\phi_1(x,t)$ eines Punktes, der sich bei befindet $x$ entlang der Länge der Zeichenfolge wird durch gegeben

ϕ_{1} (x, t) = {EIN}_{1} (t) ϕ_{1} (x) = {EIN}_{1} \cos (2 π f_{1} t + φ) Sünde (\frac{π}{L} x)

$\phi_1(x,t) = A_1(t)\phi_1(x) = A_1\cos(2\pi f_1t + \varphi)\sin\left(\frac{\pi}{L}x\right)$

Nun ist es wahr, dass die räumliche Variation der Grundmode ein „Halbzyklus“ ist, da das Argument der $\sin$ reicht von $0$ zu $\pi$ .

Die Grundfrequenz bezieht sich jedoch auf die zeitabhängige Amplitude $A_1(t)$ . Beachten Sie, dass $A_1(t)$ führt aus $f_1$ Zyklen pro Sekunde. Sehen Sie sich dieses animierte GIF des Grundmodus und der ersten drei Harmonischen an:

Animiertes GIF-Guthaben

Beachten Sie, dass, obwohl der Grundmodus eine räumliche Variation von einem "Halbzyklus" aufweist, die zeitabhängige Amplitude in einer Zeit von einem Maximum über Null, ein Minimum, zurück durch Null zurück zum Maximum geht $T_1 = \frac{1}{f_1}$ wo $f_1$ ist die Grundfrequenz .

Beachten Sie auch, dass die Frequenz der 2. Harmonischen doppelt so hoch ist wie die Grundfrequenz, die Frequenz der 3. Harmonischen dreimal so hoch ist wie die Grundfrequenz und so weiter.

Ohh, okay, also, die Periode dieser Welle ist nicht die räumliche Variation, eine halbe Wellenlänge, sondern abhängig von der Amplitude, die sozusagen auf und ab geht, und das ist die Periode und daher der Zyklus und damit die Menge Amplitudenbewegungen nach oben und unten, die einem Zyklus entsprechen, würden eine Frequenz von sagen wir 162 Zyklen pro Sekunde ergeben, aber in Bezug auf die Angabe der Wellenlänge behandeln wir sie als Sinuswelle, als ob wir sie ausfalten würden. Wie im GIF hätte das erste eine niedrigere Frequenz, das zweite verdoppelt die Frequenz, da die Zyklen in einer Sekunde doppelt so oft abgeschlossen werden, und so weiter.

Michael Seifert · Answer 2

Eine stehende Welle auf einer Schnur kann man sich als Wanderwelle vorstellen, die in einer Dimension hin und her springt. Jedes Mal, wenn es eines der Enden erreicht, wird es reflektiert, entweder umgekehrt oder aufrecht, je nachdem, welche Bedingungen Sie am Ende haben. Unter der Annahme, dass Sie an beiden Enden die gleichen Randbedingungen haben, bedeutet dies, dass die Wanderwelle zu dem Zeitpunkt, an dem sie einen vollständigen Zyklus macht, aufrecht steht: Entweder wurde sie zweimal invertiert oder sie wurde nie invertiert.

Zu dem Zeitpunkt jedoch, zu dem die Welle eine Rundreise gemacht hat, ist die "erste Spitze" der Welle möglicherweise nicht mehr in Phase mit den späteren Spitzen. Wenn es ein wenig phasenverschoben ist, dann wird es nach einem weiteren Umlauf noch phasenverschobener sein; und nach vielen Hin- und Rückfahrten wird es noch mehr phasenverschoben sein (und ebenso der zweite Peak und der dritte und ...). Alle diese phasenverschobenen Wellen zeigen destruktive Interferenz und heben sich gegenseitig auf aus. In diesem Fall können Sie also keine stehende Welle haben.

Aber es gibt einen Weg, dies zu umgehen: Angenommen, die Zeit, die die Welle für einen Umlauf benötigt, ist genau gleich der Periode der Welle. In diesem Fall stimmt die „erste Spitze“ mit der zweiten Spitze überein, und Sie erhalten eine konstruktive Interferenz zwischen der ersten Spitze und der zweiten Spitze. So erhalten Sie eine stehende Welle.

Beachten Sie jedoch, dass Sie die Umlaufzeit benötigt haben, um gleich der Periode zu sein. Das bedeutet, dass die Strecke, die der erste Peak in einem Zyklus zurücklegt, doppelt so lang sein muss wie die Länge der Saite. Da die von einer Spitze einer Welle in einem Zyklus zurückgelegte Strecke gleich der Wellenlänge ist, bedeutet dies, dass die Wellenlänge der entsprechenden Wanderwelle doppelt so lang ist wie die Saite. Mit anderen Worten, ein Zyklus der Welle muss in die "Round-Trip"-Distanz passen, nicht in die Länge der Saite.

Man kann das übrigens verallgemeinern: Die höheren Harmonischen kann man sich als Wanderwellen vorstellen, die einen Hin- und Rückweg machen $n$ Zyklen der Welle, so dass die erste Spitze mit der übereinstimmt $(n+1)$ Gipfel, nachdem er eine Rundreise gemacht hat.

Vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort! So ist eine stehende Welle, eine halbe Wellenlänge, technisch gesehen ein „Hin- und Rückweg“ einer Welle und daher ein Zyklus, aber die entsprechende Wellenlänge der stehenden Welle wäre doppelt so groß wie die der Saite für die Grundfrequenz. Und dann nimmt die Wellenlänge ab, indem dieser Hin- und Rückweg noch einmal stattfindet, zweite Harmonische und eine Schleife ist immer noch ein Hin- und Rückweg, also gibt es jetzt zwei Zyklen in der zweiten Harmonischen und die Wellenlänge ist gleich der Länge der Schleifen mit zwei Zyklen?

Guill · Answer 3

Aus den vielen Fragen, die Sie stellen, scheint es, dass Sie den Unterschied zwischen Frequenz und Wellenlänge nicht verstehen. Die Frequenz ist umgekehrt proportional zur Wellenlänge. Dies wird durch die Gleichung ausgedrückt $f = \frac{v}{\lambda}$ . (v = Schallgeschwindigkeit)
Auch für eine Saite $\lambda$ = 2l. (l = Länge der Saite)

Einige Beispiele könnten nützlich sein:

Für Schall ist v = 343 m/s, also wäre f für eine Saite mit einer Wellenlänge von 1 m 343 cps. Da jedoch für eine Zeichenfolge $l = \frac{\lambda}{2}$ , muss die Länge (l) der Schnur 0,5 m lang sein!

Wenn die Länge der Schnur 1 m beträgt, dann $\lambda$ = 2l = 2 m, und die Frequenz wäre f = 343/2 = 171,5 cps.

Denken Sie daran, dass die Saitenlänge unabhängig von ihrer Länge nur 1/2 der Wellenlänge darstellt. Wenn Sie also die Länge einer Saite suchen, die mit 162 cps schwingen würde, wäre die Antwort $l = \frac{\lambda}{2} = \frac{v}{2f}$ = 343/2x162 = 1,058 m.

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