Physik der Gitarrensaiten

Question

Physik der Gitarrensaiten

Wellen
Schnur
Physik
Akustik
Obertöne

Rebekka Murray

Gitarristen drücken normalerweise fest auf die Bünde und zupfen dann eine Saite, um eine Note zu erhalten. Man kann jedoch auch Noten erzeugen, indem man einfach die Saite über einem bestimmten Bund berührt und zupft.

Wenn ich zum Beispiel nur auf eine Saite etwa zwei Drittel der Höhe der Gitarre (vom Steg aus) drücke, wird eine Note erzeugt, die eine Oktave höher ist, als wenn ich an derselben Stelle fest drücke. Ich weiß, dass eine Erhöhung um eine Oktave dasselbe ist wie eine Verdoppelung der Tonhöhe.

Wie kommt es dazu? Was ist die Physik dahinter? Ich nahm an, dass es etwas mit Knoten zu tun hatte, war mir aber nicht sicher.

fqq

Hinweis: Die von Ihnen beschriebene Note, eine Oktave höher, wird genau bei halber Länge (12. Bund) erreicht, nicht bei 2/3.

Nathan Schied

@fqq "eine Oktave höher in der Tonhöhe als wenn ich an derselben Stelle fest nach unten drücke ", dh die 3. Harmonische der offenen Saite, im Vergleich zum Ärgern der Saite auf 2/3 ihrer offenen Länge.

Nathan Schied

Und für das OP heißt das Phänomen Gitarrenharmonik und Wikipedia hat eine gute Erklärung.

fqq

@NathanReed du hast recht, ich habe nicht gut gelesen, tut mir leid. Das ist richtig.

Antworten (4)

Physik der Gitarrensaiten

Hinweis: Die von Ihnen beschriebene Note, eine Oktave höher, wird genau bei halber Länge (12. Bund) erreicht, nicht bei 2/3.
@fqq "eine Oktave höher in der Tonhöhe als wenn ich an derselben Stelle fest nach unten drücke ", dh die 3. Harmonische der offenen Saite, im Vergleich zum Ärgern der Saite auf 2/3 ihrer offenen Länge.
Und für das OP heißt das Phänomen Gitarrenharmonik und Wikipedia hat eine gute Erklärung.
@NathanReed du hast recht, ich habe nicht gut gelesen, tut mir leid. Das ist richtig.

Alfred Centauri · Answer 1

Wie kommt es dazu? Was ist die Physik dahinter?

Wenn Sie die Saite anfassen und zupfen, vibriert die Saite am stärksten in der Mitte (zwischen Steg und Bund). Dies ist der grundlegende Schwingungsmodus der Saite.

Indem Sie Ihren Finger z. B. leicht auf die Mitte der Saite legen und zupfen (während Sie Ihren Finger schnell entfernen), zwingen Sie die Saite, so zu vibrieren, dass die Mitte ein Knoten ist .

In einem solchen Fall schwingt die Saite in einem Modus höherer Ordnung (2., 3. usw.), bei dem es einen oder mehrere Knoten entlang der Saite gibt, anstatt nur an den Enden.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Bildnachweis

Die Physik erfordert, dass in den Moden höherer Ordnung die Frequenz der Amplitudenvariationen höher ist, was einer höheren Tonhöhe entspricht.

Beispielsweise ist im 2. Modus die Tonhöhe doppelt so hoch wie im Grundmodus.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Animiertes GIF-Guthaben

@BillN, ich habe gerade die Credits hinzugefügt, als dein Kommentar hereinkam.
Die tatsächliche Wellenform weicht von der oben gezeigten ab. Wenn Sie sich Zeitlupenvideos von Gitarrensaiten ansehen, sehen die Wellenformen eher wie Trapeze aus als wie Sinuswellen.
@ ja72, wenn Sie die Gitarrensaite in der Nähe der Brücke, weit vom Anti-Knoten entfernt, zupfen, klingt sie "hell", was auf das Vorhandensein mehrerer Harmonischer hinweist, wie es beispielsweise von einer Trapezwelle erwartet würde (jedoch die höheren Harmonischen). schneller abklingen als der Grundton und schließlich wird die Saite mehr oder weniger im Grundton schwingen). Zupft man die Gitarrensaite am Bauch, schwingt sie nahezu sinusförmig. Wenn Sie, wie das OP fragt, die Saite oben, sagen wir, den 12. Bund, leicht berühren und beim Zupfen loslassen, werden Sie die Saite in die 2. Harmonische erregen.

Bill N · Answer 2

Eine an beiden Enden befestigte Saite, wie bei einer Gitarre, kann in einem "stehenden Wellen"-Modus mit mehreren verschiedenen Frequenzen schwingen. Die niedrigste Frequenz, die Grundfrequenz, ist so, dass die Länge der Saite einer halben Wellenlänge entspricht, $L=\lambda/2$ . Die Mitte der Saite hat die maximale Verschiebung aus der Ruhe und die beiden Enden bewegen sich nicht. In diesem Fall wird der Mittelpunkt der Saite als Bauch bezeichnet und die Enden sind (immer) Knoten. Die Frequenz der Saite und damit die Frequenz der Schallwelle in der durch die Saite erzeugten Schwingungen ist

F_{1} = \frac{v}{λ} = \frac{v}{2 L}

$f_1 = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2L}$ Wo

v

$v$ ist die Geschwindigkeit der Welle in der Saite . Diese Geschwindigkeit hängt vom Saitenmaterial, der Dicke und der Spannung (Festigkeit) der Saite ab. Eine dickere und dichtere Saite bedeutet langsamere Geschwindigkeit und straffer bedeutet höhere Geschwindigkeit. Aus diesem Grund sind höhere Saiten im Allgemeinen dünn und tiefere Saiten dick. Es hilft, wenn die Gitarrensaiten eine nahezu gleichmäßige Spannung haben, damit der Hals nicht seitlich gezogen wird.

Dieser Grundton ist nicht die einzige Frequenz, die vorhanden ist, wenn eine Saite gezupft wird. Eine andere stehende Welle hat einen Knoten in der Mitte und Bäuche bei 1/4 und 3/4. Das bedeutet, dass die Länge der Saite gleich der Wellenlänge dieser Welle ist, $L=\lambda_2$ . Die Frequenz dieser Welle ist also

F_{2} = \frac{v}{L} = 2 F_{1} .

$f_2=\frac{v}{L} = 2f_1.$ Aha! Diese zweite Welle liegt eine Oktave über dem Grundton. Es wird der 2. Teilton, die 2. (musikalische) Harmonische und der 1. Oberton einer Saite (an beiden Enden befestigt) genannt. Sie können diese Note auf zwei Arten stark klingen lassen: 1) Drücken Sie am 12. Bund, was die Länge der Saite auf zwingt

L_{n e w} = L / 2

$L_{new}=L/2$ so jetzt ist das neue Fundamental

v / L

$v/L$ oder 2) berühren Sie die Saite direkt über dem 12. Bund (at

L / 2

$L/2$ ), was einen Knoten erzwingt, wo normalerweise ein Antiknoten der Grundwelle wäre. Dadurch wird verhindert, dass der Grundton erklingt, sodass Sie den Oberton hören können.

Sehen Sie, wenn Sie eine Gitarrensaite zupfen, fügen Sie der Saite Energie in Hunderten von verschiedenen Frequenzen hinzu. Dies liegt an dem sogenannten Fourier-Theorem. Nur die Frequenzen in diesem Zupfen, die möglichen stehenden Wellen in der Saite entsprechen, werden länger als ein paar Millisekunden anhalten. Alle anderen lösen sich schnell in die innere Energie der Saiten- und Gitarrenkomponenten auf, um nie wieder gehört zu werden. Ein Zupfen führt also dazu, dass die Saite den Grundton, den 1. Oberton, den 2., den 3. und so weiter hat.

Betrachten wir den 2. Oberton. Dies erfordert einen weiteren Knoten, wobei die Knoten gleichmäßig auf der Saite verteilt sind, also haben wir jetzt 3 Bäuche und die Länge der Saite wird in 3 halbe Wellenlängen aufgeteilt, $L=3\frac{\lambda_3}{2}$ . Die resultierende Frequenz ist

F_{3} = \frac{v}{L (2 / 3)} = \frac{3 v}{2 L} = 3 F_{1}

$f_3=\frac{v}{L(2/3)}=\frac{3v}{2L} = 3f_1$ Diese Frequenz ist auch

3 / 2 f_{2}

$3/2f_2$ . Ein Frequenzverhältnis von 3/2 ist eine musikalische Quinte, zum Beispiel G bis D.

Wenn Sie die Position des Spielens von D auf der G-Saite berücksichtigen, ist dies der 7. Bund und es ist auch 1/3 des Weges vom Sattel zur Brücke (Ihre 2/3-Position). Wenn Sie dort drücken, ist die neue Länge der Saite 2/3L, also wäre der Grundton dieser Bundsaite

F_{F R e T 7} = \frac{v}{2 (L) (2 / 3)} = \frac{3 v}{4 L}

$f_{fret7}=\frac{v}{2(L)(2/3)} = \frac{3v}{4L}$ . Das ist genau die Hälfte der Frequenz des 2. Obertons (auch 3. Harmonische genannt). Das bloße Berühren der Saite direkt über dem 7. Bund tötet den ursprünglichen Grundton und den 1. Oberton, sodass der 2. Oberton mit einer Frequenz gehört werden kann, die eine Oktave höher ist als die im 7. Bund gedrückte Note.

Und so passiert es. Wenn Sie direkt über dem 5. Bund berühren, erhalten Sie eine Doppeloktave, weil Sie jetzt die Schwingungen der ersten drei Obertöne beseitigt und einen Knoten an der Knotenposition für den 4. Oberton/3. Oberton erzwungen haben.

Kleine Spitzfindigkeit. Das Fourier-Theorem verursacht nicht die mehreren Frequenzen ("aufgrund"), es hilft, sie zu beschreiben .
Mit @ Floris Fourier Theorem können Sie zeigen, dass die Pluck-Wellenform Sinus-/Cosinus-Eingängen mit mehreren Frequenzen entspricht. "Aufgrund" handelt davon, "wie wir erklären" die multiplen f's. Nie gemeint, Ursache zu implizieren .

John Alexiou · Answer 3

Harmonische Antwort

Stellen Sie sich eine elastische Schnur vor, die zwischen zwei festen Punkten in einer Entfernung gespannt ist $L$ auseinander. Die harmonische Antwort ist eine stehende Welle mit Geschwindigkeit $c=\sqrt{E/\rho}$

\begin{aligned} j (X, T) & = \sum_{ich = 1}^{\infty} Sünde (\frac{ich π X}{L}) (A_{ich} Sünde (\frac{ich π C T}{L}) + B_{ich} \cos (\frac{ich π C T}{L})) \\ \dot{j} (X, T) & = \sum_{ich = 1}^{\infty} Sünde (\frac{ich π X}{L}) \frac{ich π C}{L} (A_{ich} \cos (\frac{ich π C T}{L}) - B_{ich} Sünde (\frac{ich π C T}{L})) \end{aligned}

$\begin{align} y(x,t) &=\sum_{i=1}^{\infty}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)\left(A_{i}\sin\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)+B_{i}\cos\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)\right) \\ \dot{y}(x,t) &=\sum_{i=1}^{\infty}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)\frac{i\pi c}{L}\left(A_{i}\cos\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)-B_{i}\sin\left(\frac{i\pi ct}{L}\right)\right) \end{align}$

mit unbekannten Koeffizienten $A_{i}$ Und $B_{i}$ je nach Ausgangsbedingungen. Dies ergibt sich aus der Bewegungsgleichung

T \frac{\partial^{2} j (X, T)}{\partial X^{2}} - ρ S \frac{\partial^{2} j (X, T)}{\partial T^{2}} = 0

$T\,\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}-\rho\,S\,\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}=0$

_{Wo $T$ ist die elastische Spannung in $\rm{[N]}$ , $E$ der Elastizitätsmodul in $[{\rm N/m^2}]$ , $S$ ist der Saitenbereich in $[{\rm m^2}]$ Und $\rho$ die Massendichte in $[\rm{kg}/{m^{3}}]$ .}

Anfangsbedingungen

Betrachten Sie nun at $t=0$ die Form und Geschwindigkeit der Saite sein $y(x,0)=U(x)$ Und $\dot{y}(x,o)=V(x)$ .

Zum Beispiel für ein langsames Zupfen an der Spitze $x_p$ Die Anfangsgeschwindigkeit ist Null $V(x)=0$ und die Form ist

U (X) = {\begin{cases} U_{0} (\frac{X}{X_{P}}) & 0 \geq X \geq X_{P} \\ U_{0} (1 - \frac{X - X_{P}}{L - X_{P}}) & X_{P} > X \geq L \end{cases}

$U(x)=\begin{cases} U_{0}\left(\frac{x}{x_{p}}\right) & 0\geq x\geq x_{p}\\ U_{0}\left(1-\frac{x-x_{p}}{L-x_{p}}\right) & x_{p}>x\geq L \end{cases}$ _{Wo $U_0$ ist die Amplitude des Zupfens}

Fourier-Analyse

Durch Erweiterung der folgenden Frequenzzerlegung erhalten wir die Koeffizienten $A_i$ Und $B_i$ .

\begin{aligned} \int_{0}^{L} Sünde (\frac{J π X}{L}) U (X) D X & = \frac{L}{2} \sum_{ich = 1}^{\infty} [B_{ich} δ_{ich J}] = \frac{L}{2} B_{J} \\ \int_{0}^{L} Sünde (\frac{J π X}{L}) v (X) D X & = \frac{L}{2} \sum_{ich = 1}^{\infty} [\frac{ich π C}{L} A_{ich} δ_{ich J}] = \frac{ich π C}{2} A_{J} \end{aligned}} \begin{aligned} A_{ich} & = \frac{2}{ich π C} \int_{0}^{L} Sünde (\frac{ich π X}{L}) v (X) D X \\ B_{ich} & = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} Sünde (\frac{ich π X}{L}) U (X) D X \end{aligned}

$\left. \begin{aligned} \int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{j\pi x}{L}\right)U(x)\,{\rm d}x&=\frac{L}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\left[B_{i}\delta_{ij}\right]=\frac{L}{2}B_{j} \\ \int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{j\pi x}{L}\right)V(x)\,{\rm d}x&=\frac{L}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{i\pi c}{L}A_{i}\delta_{ij}\right]=\frac{i\pi c}{2}A_{j} \end{aligned} \right\} \boxed{ \begin{aligned} A_{i}&=\frac{2}{i\pi c}\int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)V(x)\,{\rm d}x \\ B_{i}&=\frac{2}{L}\int\limits _{0}^{L}\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)U(x)\,{\rm d}x \end{aligned} }$

Wieder für die langsam gezupfte Saite, die wir bekommen

\begin{aligned} A_{ich} & = 0 \\ B_{ich} & = U_{0} \frac{2 L^{2} Sünde (\frac{π ich X_{P}}{L})}{π^{2} {ich}^{2} X_{P} (L - X_{P})} \end{aligned}

$\begin{aligned} A_{i}&=0 \\ B_{i}&=U_{0}\frac{2L^{2}\sin\left(\frac{\pi ix_{p}}{L}\right)}{\pi^{2}i^{2}x_{p}\left(L-x_{p}\right)} \end{aligned}$

Beispiel

Eine langsam gezupfte Saite in der Mitte $x_p = \frac{1}{2} L$ Lösung hat

j (X, T) = \sum_{ich = 1}^{\infty} \frac{8 U_{0}}{{ich}^{2} π^{2}} Sünde (\frac{ich π X}{L}) Sünde (\frac{ich π}{2}) \cos (\frac{π C ich T}{L})

$y(x,t) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{8 U_0}{i^2 \pi^2} \sin\left( \frac{i \pi x}{L} \right) \sin\left( \frac{i \pi}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi c i t}{L} \right)$

j (X, T) \approx \frac{8 U_{0}}{π^{2}} [\cos (θ) Sünde (\frac{π X}{L}) - \frac{1}{9} \cos (3 θ) Sünde (\frac{3 π X}{L}) + \frac{1}{25} \cos (5 θ) Sünde (\frac{5 π X}{L}) + \dots]

$y(x,t) \approx \frac{8 U_0}{\pi^2} \left[ \cos(\theta) \sin\left( \frac{\pi x}{L} \right) - \frac{1}{9} \cos(3\theta) \sin\left( \frac{3 \pi x}{L} \right) +\frac{1}{25} \cos(5\theta) \sin\left( \frac{5 \pi x}{L} \right) + \ldots \right]$

_{Wo $\theta = \frac{\pi c t}{L}$ ist eine neue unabhängige Variable, die die Zeit ersetzt.}

MrFrety · Answer 4

Zusätzlich zur "normalen" Frequenz der Saite erzeugt sie aufgrund eines Effekts, der als stehende Wellen bezeichnet wird, immer Töne mit ganzzahligen Vielfachfrequenzen mit abnehmender Lautstärke. Wenn Sie beispielsweise in der Mitte der Saite dämpfen, bleiben nur Vielfache von 2 übrig, da nur diese stehenden Wellen dort einen Knoten haben. Was Sie hören, ist eine Oktave, weil die tiefste der Frequenzen am lautesten ist. Bedämpft man ein Drittel der Saite, bleiben nur Vielfache der 3-fachen Grundfrequenz übrig usw.

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Rebekka Murray

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Nathan Schied

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Alfred Centauri

Bill N

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John Alexiou

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Bill N

Floris

Bill N

John Alexiou

Harmonische Antwort

Anfangsbedingungen

Fourier-Analyse

Beispiel

MrFrety

Physik einer Gitarre

Wie entstehen Obertöne beim Zupfen einer Saite?

Wie kann man auf einer Saite Obertöne erzeugen? [Duplikat]

Wenn alle Obertöne durch Zupfen erzeugt werden, wie erzeugt dann eine Gitarrensaite einen reinen Frequenzklang?

Wo kommen neben Obertönen in der Natur reine Töne vor?

Harmonische Frequenzen einer Gitarrensaite

Warum sind die geschlossenen und offenen Enden einer Orgelpfeife Knoten und Bäuche?

Berechnung der Abklingraten für Moden einer idealen kreisförmigen Membran (zB Trommelfell) mit Wellengleichungen?

Gibt es Physik, Theorien, die harmonische Abweichungen von stehenden Wellen in gekrümmten Rohren vorhersagen?

Es scheint, dass die harmonischen (ganzzahligen Vielfachen) Obertöne eines Klangs normalerweise alle die gleiche Phase haben. Stimmt das und wenn ja warum?