Wie entstehen Obertöne beim Zupfen einer Saite?

Die einzige Möglichkeit, Obertöne zu vermeiden, wäre, die Saite so zu zupfen, dass ihre Ausgangsform sinusförmig ist. Das wäre jedoch nahezu unmöglich. In der Praxis ist die Ausgangsform fast immer dreieckig.

Wenn Sie mit Fourier-Transformationen vertraut sind, überlegen Sie, wie Sie eine diskrete Fourier-Zerlegung der ursprünglichen Form der Zeichenfolge durchführen würden. Die Fourier-Komponenten entsprechen den Obertönen.

Eigenmoden einer Saite haben eine sinusförmige räumliche Form$f_m(x) = C_m \sin(\pi m x/L)$, wo$x$ist die parallele Koordinate und$L$ist die Länge der Zeichenfolge. Zupfen einer Saite an einer festen Stelle$x_0$bedeutet, ihm eine nicht-sinusförmige anfängliche Störung zu geben, z. B. so etwas wie eine stückweise lineare Funktion,$f(x) = A x/x_0$Pro$x \le x_0$und$f(x) = A (L-x)/(L-x_0)$Pro$x \ge x_0$. Erweitern der anfänglichen Störung$f(x)$in Eigenmoden$f_m(x)$zeigt, wie stark jede Harmonische anfangs angeregt wird, wäre es im Allgemeinen ein vollständiges Spektrum von Eigenmoden.

Sie beginnen mit einer Dreiecksform, die ihre Fourier-Reihe hat. Nehmen wir an, die ursprüngliche Form ist$f(x)$:

Diese Form entwickelt sich dann mit der Zeit. Jeder Modus hat eine Frequenz, bezogen auf die Wellenlänge:

Dies würde die Bewegung vollständig periodisch machen und die Form würde nach einem Zyklus der Grundfrequenz zur ursprünglichen Form zurückkehren. Vibrationen werden jedoch immer gedämpft: ein kleiner Teil durch Abstrahlen von Schall in die Luft und meistens durch Umwandlung in Wärme (die Saite ist nicht vollkommen elastisch). Moden mit höheren Frequenzen sind immer viel stärker gedämpft: Wenn Sie sehr fein detaillierte lockige Schwingungen verlangen, werden diese stark gedämpft, da die Krümmung der Saite hoch ist. Normalerweise bekommt man sowas:

wo$\tau_n$ist die charakteristische Dämpfungszeit von$n$ter Modus. Man könnte sagen, dass die Intensität der Spektralanteile bei höheren Obertönen schneller abfällt und der Ton sinusförmiger wird. Sehr hohe Obertöne, die durch den scharfen dreieckigen Knick an der Zupfposition verbunden sind, erzeugen nur einen "Plunk" -Sound und verschwinden fast sofort.

Höhere Frequenzen zu dämpfen hat immer eine glättende Wirkung auf die Form: Mit der Zeit wird die Form abgerundet, ohne scharfe Ecken.

Sie hören nicht die Saite, sondern den Resonanzkörper und die Saite. Eine akustische Gitarre schwingt mit ihren gezupften Saiten mit. Die Farbe des Klangs wird durch seinen Formanten bestimmt, und was Sie als Grundfrequenz hören, kann tatsächlich ein Vielfaches davon sein, sowohl mit Unter- als auch mit Obertönen, je nach Art des Resonanzkörpers. Die Resonanzkörper einer Gitarre und beispielsweise eines Cellos haben unterschiedliche Formanten und ergeben daher bei gleicher Grundfrequenz eine unterschiedliche spektrale Hüllkurve und eine unterschiedliche Klangfarbe.