WARUM treten Oberschwingungen auf?

Es ist eine einfache Frage mit einer ziemlich komplizierten Antwort.

Zuerst eine kurze Einführung in Wellenlänge, Frequenz und Tonhöhe.

Die Frequenz gibt an, wie oft sich eine Schwingung in einem bestimmten Zeitraum wiederholt. Die Wellenlänge ist die Länge einer einzelnen Schwingung, die für so etwas wie eine Gitarrensaite der Zeit entspricht, die zum Wiederholen benötigt wird. Sie können sehen, dass sich die Frequenz verdoppelt, wenn sich die Wellenlänge halbiert.

Praktischerweise ist die Wellenlänge des Tons einer schwingenden Saite proportional zur Länge der Saite, sodass wir fast austauschbar über die beiden sprechen können.

Die Verdoppelung der Frequenz (Halbierung der Wellenlänge) bringt uns eine Oktave nach oben.

Wenn Sie etwas schlagen/zupfen/schütteln, vibriert es in allen möglichen Frequenzen. Die meisten dieser Frequenzen werden sehr schnell abklingen. Hier ist der Grund.

Dies sind konzeptionelle Bilder einer schwingenden Saite. Stellen Sie sich ein Ende als den Sattel einer Gitarre und das andere als Brücke vor. Die untere ist "keine Resonanzfrequenz", weil die Leitung nicht am Steg endet. Ich hätte vielleicht den letzten Teil der Welle mit einer steileren Kurve zeichnen können, damit sie den Punkt erreicht, und das hätte gezeigt, was mit Wellen dieser Frequenz passiert – anstatt mit der Länge der Saite zu arbeiten, um sich selbst zu verstärken wirkt gegen die Länge der Saite, hebt sich auf und verklingt.

Betrachten Sie nun die anderen Wellen. Sie halten, weil sie in die Länge der Saite "passen". Sie würden ewig so weiterschwingen, wenn nicht der Resonanzboden, die Reibung der Luft und so weiter, vielleicht das Magnetfeld eines Tonabnehmers, Energie wegnehmen würde.

Ich habe den 1., 2., 3. und 4. gezeigt – aber sie machen weiter, mit unterschiedlichen Lautstärken.

Die komplexe Wellenform einer Gitarrennote ist das Ergebnis der Addition all dieser Resonanzfrequenzen.

Hier sind einige Wellenformen:

Hier ist eine Frequenzanalyse einer einzelnen Gitarrennote - die horizontale Achse ist die Frequenz, die vertikale Achse die Amplitude. Jede Spitze ist eine andere Harmonische.

Es ist die präzise Mischung von Frequenzen und wie schnell jede einzelne abklingt, die das Timbre des Instruments liefert.

Ein guter Weg, um ein Gefühl dafür zu bekommen, ist, mit einem analogen Synthesizer (oder einer Simulation eines solchen) zu spielen. Diese verwenden "additive Synthese", bei der ein Oszillator eine reine Sinuswelle erzeugt, und Sie bauen ein Timbre auf, indem Sie "Harmonische" hinzufügen, indem Sie mehr Oszillatoren verwenden und die relative Tonhöhe und Lautstärke für jeden auswählen.

Sie haben vielleicht bemerkt, dass Ihre Gitarre "boomiger" klingt, wenn Sie sie in der Nähe des 12. Bundes zupfen, und höher, wenn Sie sie in der Nähe der Brücke zupfen. Das liegt daran, dass Sie, wenn Sie nahe der Mitte der Saite zupfen, der 1. Harmonischen viel Energie und den anderen Harmonischen nur sehr wenig Energie geben.

Was passiert nun, wenn Sie den Mittelpunkt der Saite sanft berühren?

• Sie töten die 1. Harmonische. Das beinhaltete, dass sich die Saite genau an der Stelle bewegte, die Sie unterdrückt haben.
• Sie lassen die 2. Harmonische weiterklingen - die Saite muss sich nicht an der Position bewegen, die Sie stummgeschaltet haben.
• Sie töten die 3. Harmonische
• Die 4. Harmonische klingelt weiter
• ... usw.

Das Ergebnis ist, dass Sie die Grundnote und viele "ungerade" Harmonische subtrahieren, wodurch eine Harmonische übrig bleibt, die eine Oktave höher ist, und einige der höheren Harmonischen. Das Ergebnis ist ein Klang mit weniger Obertönen, der dadurch „reiner“ klingt.

Eine gute Möglichkeit, ein Gefühl dafür zu bekommen, besteht darin, die leere Saite zu spielen und dann genau zuzuhören, während Sie den Mittelpunkt sanft berühren, um zu sehen, wie Sie die Oktave erreichen, indem Sie einen Teil des Klangs subtrahieren.

Siehe auch diesen anderen Beitrag

WARUM treten Oberschwingungen auf?

Nun, sie passieren nicht – nicht unbedingt.

Strings können alles Mögliche:

All dies sind mögliche Möglichkeiten, wie ein Schnappschuss einer sich bewegenden Saite aussehen könnte. Nicht nur das, es könnte sich auch an jedem Punkt mit einer beliebigen Geschwindigkeit bewegen. Die Geschwindigkeit könnte überall 0 sein (für einen infinitesimal kurzen Moment). Wenn wir im ersten gezeigten Zustand auch die Geschwindigkeit auf Null setzen, würde dies bedeuten, dass sich die Saite einfach im „Silent-Modus“ befindet, dh überhaupt keine Vibration. Der zweite Zustand ist ein obertonfreier (tiefster Eigenzustand der Saite; wenn dieser Schnappschuss bei Geschwindigkeit Null ist, bedeutet dies, dass die Saite an der oberen Umkehrposition ist, dh sie hat sich bisher nach oben bewegt und wird dann anfangen, sich nach unten zu bewegen).

Der 4. Zustand ist ein wirres Bündel von Obertönen. Damit meine ich, Sie könnten ein bisschen vom Grundzustand aus Bild 2 nehmen, etwas von der zweiten Harmonischen (eine S-ähnliche Form), ein bisschen von der 3. und so weiter, alles zusammenzählen und genau Bild 4 erhalten Wie würde das klingen? Nun, nur die Summe all dieser Frequenzen als Obertöne, wie bei einer typischen Saitenschwingung, wie wir sie zu hören gewohnt sind. Abgesehen davon, dass Bild 4 kein typischer String-Zustand ist: Ich würde nicht erwarten, jemals einen echten String in diesem Zustand zu finden.

Im Gegensatz zu Zustand 3: Genau so sieht eine Gitarrensaite aus, wenn man sie gezupft hat und gerade dabei ist, vom Nagel/Plektrum zu rutschen. Und was passiert dann? Nun, es bewegt sich weiter, als ob es nie einen Hacken gegeben hätte, dh als wäre es mitten in seiner normalen Bewegung und wir hätten einfach einen Schnappschuss gemacht, der zufällig wie Bild 3 aussah. Aber Bild 3 ist eindeutig kein Eigenzustand: genau wie Bild 4, die einzige Möglichkeit, wie eine Saite so aussehen könnte, besteht darin, in mehreren Modi gleichzeitig zu vibrieren. Und deshalb erzeugt eine Gitarre auch keine Sinusschwingungen, sondern Eigentöne mit Obertönen.

Eigentlich ist die umgekehrte Frage relevanter

• Warum schwingt eine Saite nicht bei allen Frequenzen? Wenn Sie es treffen, stellen Sie nicht nur einen Vibrationsknoten bereit, sondern setzen einen Batzen Energie ein.

Es kommt darauf an, wo sich die Knoten oder Nullen befinden (sehen Sie sich die Antwort von @MatthewRead hier an ), da sich bei fixierten Enden der Zeichenfolge jede Welle, die an diesen Punkten ein Bewegungselement aufweist, nicht ausbreitet (der Endpunkt nur bewegt sich nicht)

Das schränkt also die möglichen Frequenzen auf solche ein, die eine Wellenlänge haben, die ganzzahlig in die Saite passt.

Rein theoretisch hat es mit zwei Dingen zu tun: Anregung und Nichtlinearität.

Wie aus den Diagrammen von leftaroundabout hervorgeht, wirkt sich WO Sie beispielsweise an einer Saite zupfen, in hohem Maße darauf aus, ob sie hauptsächlich am "Grundton" oder an einer Oberwelle schwingt. Das ist Erregung. Jemand, der ein Saiteninstrument spielt, kann also einen reineren, "fundamentaleren" Klang erzielen, indem er nahe der Mitte der Saite zupft, und einen "reicheren", "harmonischeren" Klang, indem er näher am Ende der Saite zupft.

Nichtlinearität hingegen hat damit zu tun, dass z. B. die Saite eines Saiteninstruments nicht perfekt flexibel ist, mit dem Luftwiderstand und einer Reihe anderer Faktoren fertig werden muss. Dies bedeutet, dass, selbst wenn sie anfänglich irgendwie genau auf die Grundfrequenz angeregt werden, die Tatsache, dass z. B. die Saiten an den Enden steif sind, dazu führt, dass die Enden der Bewegung des Rests der Saite leicht "hinterherhinken", also anstatt mitzuschwingen Durch einen glatten Bogen nimmt die Saite eine leichte S-Form an. Wenn Sie die S-Form mathematisch analysieren und ihr Frequenzspektrum aufzeichnen, gibt es eine starke Spitze bei der Grundfrequenz, aber (aufgrund der S-Form) schwächere Spitzen bei den Obertönen. Außerdem wird sich die "scharfe" Spitze beim Grundton (und den Obertönen) aufgrund des Luftwiderstands usw. leicht "ausbreiten".

Es sind all diese subtilen Variationen, die einem Musikinstrument seinen Klang verleihen. Ein reiner Grundton klingt „elektronisch“ und sehr künstlich. (Aber natürlich führen zu viele Obertöne und zu viel "Spreizung" zu einem matschigen Klang.)

Bisher habe ich niemanden gesehen, der die „Warum“-Frage der Obertöne in sinnvollem Maße angesprochen hat: Jeder ist entweder darauf bedacht zu erklären, wie eine Saite (als schönes Beispiel für einen Oszillator mit Obertönen) mehrere Obertöne unterstützen kann, oder um das Problem herumzuschwenken .

Die Antwort lautet „Randbedingungen“. Ein Oszillator kann mehrere Moden unterstützen, daher stellt sich die Frage, welche Kombination von Moden tatsächlich einer bestimmten einmaligen oder kontinuierlichen oder halbkontinuierlichen Erregung entspricht: Die Erregung stellt die Randbedingungen. Wenn wir eine nicht klingende Saite zupfen, wird sie zu zwei geraden Liniensegmenten geformt (unter der Annahme, dass das Zupfen im Vergleich zur Vibration langsam ist) und dann losgelassen.

Wir müssen also eine Überlagerung von Obertönen und Moden finden, die zu genau der Form der Saite und den Kräften und Impulsen in jedem Teil davon führt, wenn wir loslassen und sie sich selbst überlassen: Dies wird die verschiedenen bestimmen Verhältnisse der Moden, und sie werden normalerweise auch mit unterschiedlichen Zeitkonstanten abklingen. Bei Streichern können Sie einigen Teiltönen einen unfairen Vorteil verschaffen, indem Sie die Saite an Stellen berühren, an denen sie sich nicht bewegen würden: Dann klingen andere Teiltöne viel schneller aus, was zu einem „Flageolet“ oder einem reinen harmonischen Klang führt.

Auch das Zupfen einer Saite an verschiedenen Stellen führt zu unterschiedlichen Obertönen im Ergebnis. Manche zupfen ihn gerne sehr nah am Steg, so dass im Grunde das auf der Saite hin- und herwandernde Zupfgeräusch den Anfangsklang ausmacht, ziemlich obertonreich bis die höheren Teiltöne absterben.

Ich gehe davon aus, dass Sie sich über die harmonischen Komponenten eines Sounds wundern, nicht über die Gitarrenharmonischen, die durch einfaches Berühren der Saite gespielt werden (was die eigentliche Frage hinter "Wie funktionieren Harmonische?" war, glaube ich).

Jedes periodische Signal kann als Summe von Sinuswellen dargestellt werden. Diese Sinuswellen werden in einem Spektrum dargestellt: Die Spikes im Spektraldiagramm von slim stellen die Amplituden von Sinuswellen dar, deren Frequenzen durch die x-Achse der Spikes gegeben sind.

Summieren Sie diese Sinuswellen und Sie erhalten Ihr ursprüngliches Signal zurück. Wenn Sie nur eine Komponente (eine Spitze) in einem Spektrum haben, ist das Signal nur ein Sinus mit dieser Frequenz und Amplitude.

In Anbetracht dessen könnte Ihre Frage umformuliert werden:

„ Warum schwingt eine Gitarrensaite nicht nur auf einer Frequenz? “ -> „ Warum schwingt eine Gitarrensaite nicht als Sinuswelle? “

Man könnte sagen, dass eine Gitarrensaite mit einer Frequenz schwingt (in einer Nicht-Sinus-Wellenform). Aber seine Wellenform kann in eine Summe von Sinuswellen unterschiedlicher Frequenz zerlegt werden.

Warum schwingt eine Gitarrensaite nicht als Sinus? Wie von anderen erwähnt, wird dies durch die auf die Zeichenfolge angewendeten Einschränkungen gesteuert. Der Kontakt mit dem Zupfen, wo die Saite angeschlagen wird, die Steifigkeit der Saite, die Verbindungen zum Gitarrenkorpus, der Korpus selbst, der Raum, deine Finger...

Das hat alles mit Obertönen zu tun. Kurz gesagt, Schall ist eine Kompressionswelle. (Der Einfachheit halber wird sie normalerweise als stehende Welle gezeichnet.) Jede Tonhöhe hat eine festgelegte Frequenz, sodass der Höhepunkt in der Welle von Zeit zu Zeit auftritt.

Ein Oberton, das ist eine Harmonische, entsteht, wenn Sie zwei Schallwellen haben, deren Höhepunkte sich in bestimmten Abständen überlappen. Zum Beispiel ist eine Oktave über einer bestimmten Note doppelt so hoch wie die Frequenz dieser Note, sodass die hohen Punkte der oberen Note jedes Mal die hohen Punkte der unteren Note überlappen. Ähnliche Effekte treten für die meisten Obertöne auf.

Eine Gitarrensaite schwingt wirklich nur mit einer einzigen Frequenz, die durch ihre Länge und ihre Spannung bestimmt wird. Die Obertöne stimmen mit anderen Frequenzen überein, wodurch alle passend gestimmten Saiten in der Nähe mit der Saite in Resonanz treten, wenn sie mit einer der Harmonischen übereinstimmen.

Das ist natürlich eine grobe Vereinfachung. Dieses YouTube-Video ist die beste Erklärung des gesamten Prozesses, die ich seit einiger Zeit gesehen habe.

Warum schwingt eine Gitarrensaite nicht nur mit einer Frequenz?

Eine ideale Saite, die sorgfältig in der Mitte gezupft wird, würde dies tun, aber echte Gitarrensaiten sind keine idealisierten Saiten. Sie sind nicht masselos, sie haben Dicke, sie sind oft verdrehte Metallbündel, unkonstante Spannung, Dicke usw. Und, was wahrscheinlich am wichtigsten ist, sie werden irgendwo in der Nähe eines Endes der Saite gezupft , was der natürlichen Bewegung entgegensteht eine ideale Saite nehmen möchte. Somit vibriert mehr als ein Modus (Frequenz) der Saite; das sind die Obertöne.

Dieses Diagramm zeigt, wie die reale Bewegung einer gezupften Saite (schwarz) aussieht:

Die Farben sind die verschiedenen Moden (Obertöne oder Obertöne) der Schwingung der Saite. Jede dieser farbigen "Saiten" ist eine natürliche Bewegung, die die schwarze Saite gerne machen würde. Da die rote "Saite" die größte Amplitude hat, ist ihre Frequenz am stärksten von der vibrierenden Saite zu hören. Alle diese Farben erzeugen, wenn sie überlagert werden, die nicht „reine“ Schwingung eines gezupften Stachels. Sie können sehen, dass die Form der schwarzen Saite nicht symmetrisch ist, sondern „gebogen“, im Gegensatz zu den farbigen „Saiten“.

Das Zupfen in der Mitte der Saite ist eine Möglichkeit, die Obertöne zu minimieren. Wenn Sie dies tun, hören Sie einen reineren Klang. Dies liegt daran, dass es nicht so gegen die natürliche Bewegung einer Saite ist wie das Zupfen nahe einem Ende der Saite.

Warum schwingt eine Gitarrensaite nicht nur mit einer Frequenz?

Harmonische werden im Allgemeinen von Systemen erzeugt, die eine nichtlineare Antwort haben, wie eine Saite.

Eine Möglichkeit, Harmonische zu verstehen, besteht darin, mathematische Operationen wie Fourier-Transformationen oder andere Transformationen zu betrachten. Diese Operationen wandeln (transformieren) eine Integralgleichung einer Größe, typischerweise Amplitude vs. Zeit, in eine Summe einer anderen Größe, typischerweise Amplitude vs. Frequenz, wobei harmonische Frequenzen als Hauptterme der Summe erscheinen.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, zu untersuchen, wie Nichtlinearität Harmonische erzeugt. Darauf werde ich hier näher eingehen. Nichtlinearität ist für Musiker nichts Unbekanntes, sobald ein Verstärker oder ein Mikrofon nichtlinear ist, erzeugt es eine harmonische Verzerrung , bei der es sich lediglich um parasitäre harmonische Frequenzen handelt, die der verstärkten Kopie des Audioeingangs hinzugefügt werden. Harmonische Verzerrung in der Musik wird auch als Instrumententimbre bezeichnet . So viele verschiedene Wörter für einen physikalischen Effekt!

Linearität der Rückstellkraft: Feder

Stellen Sie sich als Beispiel für Linearität eine Feder vor. Wenn man die Feder dehnt, spüren sie eine Rückstellkraft, je größer die Dehnung und je größer die Kraft, vielleicht bis zu dem Punkt, an dem die Feder nicht weiter gedehnt werden kann. Im Allgemeinen entwickelt eine Schraubenfeder eine Rückstellkraft, die genau proportional zur Dehnung ist:

Ein solches System wird im Hinblick auf seine Reaktion auf eine Störung als linear bezeichnet. Für weitere Informationen über die Linearität von Federn und einige Anwendungen ist der Wikipedia-Artikel über das Hookesche Gesetz eine gute Lektüre .

Linearität der Rückstellkraft: Diapason

Das Diapason ist ein interessantes Instrument, weil es meist ohne Oberton schwingt. Zinkenoszillation tritt im linearen Bereich der Metallelastizität auf, wo die Rückstellkraft proportional zum aktuellen Abstand von der Ruheposition ist.

Diese (quasi-)lineare Elastizität existiert für metallisches Material, aber nur für kleine Verschiebungen, was bedeutet, dass eine geringe Energie an die Luft übertragen wird und eine begrenzte Schallintensität. Wenn wir versuchen würden, höhere Klänge zu erzeugen, würden wir den linearen Bereich verlassen und Obertöne würden erscheinen.

Wir kommen später auf die Diapason zurück. Sehen wir uns zunächst ein wirklich nichtlineares System an: Die Gitarrensaite!

Gitarre: Große Schwingung, meist nicht linear

Ein schwingendes System wie eine schwingende Saite hat auch eine Ruhelage. Wenn es aus dieser Position herausbewegt wird, entwickelt es eine Kraft in Form einer Spannung, die darauf abzielt, den Ruhezustand wiederherzustellen, je größer der Querabstand von der Ruheposition ist, desto größer ist die Längsspannung.

Allerdings funktioniert die Gitarrensaite nicht im kleinen linearen Elastizitätsbereich der Membran, sie muss kräftige Töne erzeugen, die Saite wird mit großen Inputs „aufgeregt“, auf die das Material nicht linear reagieren kann. Die Spannung ist nicht proportional zum Querabstand an einem bestimmten Punkt der Saite:

^{(Rechte Grafik von Henrik B. Pedersen und Jeppe Langeland Knudsen , angepasst)}

(Hinweis: Die obige Abbildung wurde aktualisiert, nachdem @user1079505 den falschen Wert für die Amplitude x kommentiert hatte. Die falsche/ursprüngliche Abbildung ist hier .)

Die Amplitude der Rückstellkraft nimmt tendenziell stärker zu, wenn wir uns der Elastizitätsgrenze nähern und der bleibenden Verformungs-/Bruchgrenze etwas näher kommen. Andere Faktoren spielen eine Rolle, unter anderem ist die Reaktion nicht zeitunabhängig, die Reaktion hängt auch von vorherigen Störungen der Saite ab.

Das Ergebnis ist, dass die Rückstellkraft keine skalierte Kopie des aktuellen Saitenabstands von ihrer Ruheposition ist und, was die Komplexität erhöht, der Skalierungsfaktor zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht für alle Segmente der Saite gleich ist.

Diese Nichtlinearität zwischen Verschiebungsamplitude und Rückstellspannung ist der Ursprung der Harmonischen. Der tatsächliche Mechanismus ist komplex, aber wir werden einen einfachen Fall sehen, indem wir uns noch einmal die Diapason ansehen, die schließlich nicht vollständig linear ist ...

Zurück zur Diapason mit ihrer kleinen Nichtlinearität

Zu sagen, dass ein Diapason keine Obertöne hat, war eine Annäherung. Das Diapason entwickelt normalerweise die zweite Harmonische, und das Detail, wie dies geschieht, ist ein gutes Beispiel für die extreme Empfindlichkeit physikalischer oszillierender Geräte gegenüber Asymmetrie und Nichtlinearität, die bei Saiten in Aktion zu sehen ist.

Grundsätzlich schwingen die Zinken einer Stimmgabel in ihrer gemeinsamen Ebene wie Kragbalken, und der Massenmittelpunkt, von oben gesehen, wird aufgrund der Symmetrie der Verschiebungen bewegungslos gehalten. Dies gilt jedoch nicht für seine vertikale Position.

Wenn die Zinken schwingen, bewegt sich ihr individueller Massenschwerpunkt auf einem Kreisbogen um eine kleine Strecke auf und ab. Es tritt auch bei 440 Hz auf (oder auf welche Frequenz auch immer die Gabel abgestimmt ist). Diese Verschiebung der Masse bewirkt eine Reaktion in vertikaler Richtung, der Schaft bewegt sich um einen sehr kleinen Betrag auf und ab.

Das Diapason wird normalerweise gegen eine andere Stütze, zB einen Tisch, gehalten. Dabei werden Zinkenschwingungen auf den als Verstärker wirkenden Träger übertragen.

Es scheint, dass der Schaft effizienter ist, um vertikale Vibrationen zu übertragen, und die Tischoberfläche lässt sich leichter vertikal biegen als horizontal bewegen. Aufgrund dieser selektiven Verstärkung durch den Tisch kommt der sehr kleinen vertikalen Schwingung nun eine relativ größere Bedeutung zu.

Da die Frequenz der Transversalwelle und der Schwerpunktwelle gleich ist, könnte dies noch folgenlos bleiben, problematisch ist jedoch, dass ihre Wellenform unterschiedlich ist, man ist eine verzerrte Sinuswelle. Und erraten Sie den Grund für diese Verzerrung ... Hier sind wir: Nichtlinearität!

^Quelle

Diese Grafik ist Teil einer gut zu lesenden Studie. Es zeigt die beiden Oszillationen (Skalen sind nicht von der gleichen Ordnung). Während die Transversalwelle nahezu sinusförmig ist, hat die Vertikalwelle aufgrund der Massenverschiebung Höhen und Tiefen unterschiedlicher Form. Die Ursache liegt in der vertikalen Oszillation, die abwechselnd Zug- und Druckkräfte im Schaft auslöst, auf die Metall unterschiedlich reagiert, mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Wir haben zwei Wellen übrig, die natürlich interferieren und die 880-Hz-Harmonische erzeugen:

Dies ist ein einfaches Beispiel für Harmonien, die durch eine kleine Nichtlinearität erzeugt werden. Das Prinzip ist das gleiche für andere Materialien und vibrierende Geräte, einschließlich Gitarrensaiten, obwohl mehr Elemente beteiligt sind.

Linearität: Eine genauere Definition

Technisch sagen wir, es ist ein Homomorphismus, aus homos- same und -morphe Form. Das sind große Worte, praktisch ist hier eine lineare Transformation:

^Quelle

BC und B'C' sind lineare Transformationen voneinander. Die Definition eines linearen Systems lautet:

• Wenn die Eingabe x die Ausgabe u erzeugt, dann muss kx für jede Zahl k ku produzieren. Das bedeutet, dass die Ausgabe proportional zur Eingabe sein muss. Wird der Input um den Faktor k erhöht, so erhöht sich der Output um den gleichen Faktor.

• Wenn Eingabe x u erzeugt und Eingabe y v erzeugt, dann muss Eingabe k1.x + k2.y k1.u + k2.v erzeugen (wobei k1 und k2 beliebige Multiplikatoren sind). Das bedeutet, dass die durch die Summe erzeugte Ausgabe gleich der Summe der Ausgaben der einzelnen Eingaben ist.

Das ist alles. Jedes System, das die beiden oben genannten Eigenschaften nicht aufweist, erzeugt Verzerrungen / Oberwellen. Dies kann bei Verstärkern, Vibrationsgeräten, kosmischen Wellen oder dem Stromnetz der Fall sein. Oberschwingungen sind normalerweise unerwünscht, aber sie können schwierig zu entfernen sein.

Sie haben gefragt: "Warum schwingt eine Gitarrensaite nicht nur auf einer Frequenz?". Betrachten wir es aus der anderen Perspektive: Jede Art von Musikinstrument erzeugt Klänge, die Obertöne enthalten, und jede Tonhöhe, die auf jeder Art von Instrument gespielt wird, enthält mehrere Frequenzen – nicht nur auf der Gitarre. Es gibt keinen sich wiederholenden, oszillierenden Ton, der von einem Musikinstrument erzeugt wird, das absolut keine Obertöne hat. Der einzige Ton, der ohne Obertöne existieren kann, wäre eine völlig reine Sinuswelle. Eine reine Sinuswelle könnte man nur mit einem elektronischen Oszillator erzeugen. Kein akustisches oder elektroakustisches Musikinstrument kann einen Klang erzeugen, der einer reinen Sinuswelle ähnelt.

Es würde nur in der Grundfrequenz schwingen, wenn man es genau in der Mitte anregt und es keine Verluste im Material gibt.

Wenn Sie es jedoch zufällig anregen, geht es in einen "Gleichgewichts" -Status, in dem nur stehende Wellen mit Vielfachen der Grundfrequenz überleben.

Das heißt, im Idealfall könnten Sie nur die gewünschten Obertöne erzeugen, wenn Sie eine ideale Saite an den richtigen Stellen anregen.

Aufbauend auf den bisherigen Antworten aller werde ich ein konkretes Beispiel geben, mit dem Sie spielen können: https://www.desmos.com/calculator/ii4bptqcb0 . In allen Beispielen möchten Sie die t-Variable ändern lassen, indem Sie die Wiedergabetaste neben der Variablen drücken.

Um dies zu verstehen, beginnen Sie mit der Basisversion und verstehen Sie, dass k die Phase der 2. Harmonischen ändert.

Danach können Sie sehen, dass im ursprünglichen Beispiel v1 ... vk die Phase ist, die jeder Harmonischen entspricht, sodass sie angepasst werden können.

Beachten Sie, dass beim Laden des Experiments die Linie den Moment simuliert, bevor der Spieler die Saite loslässt, wie im Diagramm von leftaroundabout:

Und nach der Freigabe sieht es eher wie die letzte Welle im obigen Diagramm aus.

Beachten Sie auch, dass das Setzen aller Parameter auf 0 auch eine gute Annäherung an ein Zupfen ergibt: https://www.desmos.com/calculator/p8rpxes5tw

Und dann die t-Variable "spielen" lassen. Beachten Sie, wie nah diese Bewegung an der Bewegung ist, die wir in diesem Video beobachten:

Ich hoffe, diese Beispiele helfen Ihnen, die anderen Lösungen konkret zu verstehen.