Mit welcher Frequenz schwingt eine Saite?

Wenn eine Saite mit festen Enden vibriert (z. B. beim Zupfen einer Gitarrensaite), besagt das Fourier-Theorem, dass die Vibration als Summe ihrer normalen Moden ausgedrückt werden kann, die sinusförmige Vibrationen mit Frequenzen sind, die alle ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

Meine Frage ist ganz einfach: Da die resultierende Schwingung eine Summe vieler einfacher Schwingungen ist, mit welcher Frequenz schwingt die Saite wirklich (da es ja schließlich eine Schwingung ist)? Schwingen alle Punkte in der Saite mit der gleichen Frequenz, aber mit räumlich modulierter Amplitude, wie dies bei den normalen Modi der Fall ist?

Ich frage nicht, welche Tonhöhe wir wahrnehmen (die Grundfrequenz), sondern bei welcher Frequenz die Saite schwingt.

Was genau meinst du mit der Frequenz, mit der die Saite " wirklich schwingt"? Sie wissen, dass es Fourier-Komponenten mit mehreren Frequenzen enthält und dass die von uns wahrgenommene Tonhöhe durch ihre Grundfrequenz bestimmt wird. Also, was willst du noch wissen?
Ja, was @knzhou gesagt hat. Siehe: sciencemadness.org/talk/…
Zum Beispiel: Die Saite könnte exakt im Grundton schwingen. In diesem Fall wäre seine Frequenz f. Wenn es auf der reinen zweiten Harmonischen schwingen würde, wäre seine Frequenz 2f. Nun, für eine komplexe Schwingung, bei der viele dieser Moden überlagert sind, wiederholen sich die Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung jedes Punktes periodisch ... Also muss es "eine" Frequenz haben. Nicht wahr?

Antworten (2)

Wir nehmen die Grundfrequenz wahr, die niedrigste Frequenz. Auch wenn andere Harmonische in der schwingenden Saite vorhanden sind, wenn keine Dämpfung vorhanden ist, bewegt sich die Form über die Saite und kehrt bei der Grundfrequenz zu ihrer ursprünglichen Konfiguration zurück. Die anderen Harmonischen werden als Ton wahrgenommen. Zum Beispiel erzeugt das Zupfen einer Saite näher an einer der Stützen (auch bekannt als Grenzen) mehr High-End-Harmonische und in der Gitarrensprache klingen diese "twangy" oder "hot", "bright". Das Zupfen nahe der Mitte betont den Grundton und klingt „warm“ oder „sanft“. Aber alle werden als dieselbe Note wahrgenommen. Erfahrene Musiker werden darauf trainiert, einige der Obertöne zu hören, sobald Sie darauf trainiert sind, sie zu hören, können Sie sie nicht mehr überhören, und Musik ist nie dieselbe. Die Oktave ist ziemlich leicht zu hören, aber jede Note enthält (mindestens) einen Dur-Dreiklang in reiner Stimmung. Jede Note, die Sie spielen, erzeugt also einen weichen Dur-Akkord. Aus musiktheoretischer Sicht sehr merkwürdig.

Ich verstehe, dass wir die Grundfrequenz als Tonhöhe und die anderen Obertöne als Klangfarbe wahrnehmen. Meine Frage bezieht sich jedoch nicht auf die Wahrnehmung, sondern auf die physikalische Schwingung der Saite.
Nach dem, was Sie sagen, spielt es keine Rolle, viele verschiedene Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen hinzuzufügen: Die Frequenz des Komplexes wird die Grundfrequenz sein. Nehmen wir ein dummes Beispiel: Angenommen, eine Saite vibriert mit dieser Überlagerung: Modus 1 mit Amplitude 0001 und Modus 2 mit Amplitude 0,999. Schwingt diese Saite mit der Frequenz des Grundtons? Nehmen wir Frequenz 1 als fundamental wahr?
Ihre Frage scheint mehr als eine Idee zu beinhalten. Erstens schwingt jeder Punkt bei allen vorhandenen Frequenzen. Die Bewegung wird eine lineare Überlagerung aller Moden sein, nicht einer. Wenn Sie sagen, mit welcher Frequenz vibriert die Saite, implizieren Sie "mit welcher Frequenz wiederholt sich die Form". Das wird die niedrigste Frequenz sein, weil alle Moden mit den gleichen Anfangsbedingungen zusammenkommen müssen. Die Form wiederholt sich also bei der niedrigeren Frequenz. Da der niedrigste Modus schwach ist? In diesem Fall fällt es vielleicht nicht auf, aber es ist da und die Kommentare halten.

Der Inhalt des Fourier-Theorems ist, dass jede periodische Funktion der Periode T als eine Reihe von (im Prinzip unendlichen) Harmonischen dargestellt werden kann, dh harmonische Bewegungen von Frequenzen der Art:

v ich = ich ⋅ v 1           ich = 1 , 2 , 3 …
jeder mit seiner eigenen Phase.

Daher ist das Signal, das die Synthese all seiner Harmonischen darstellt, als Funktion der Zeit, obwohl es aus vielen verschiedenen Frequenzen besteht, eine periodische Funktion der Frequenz v 1 . Ein Beispiel für die Zeitvariation für ein Signal aus fünf Harmonischen ist das folgende (ich habe es mit dem Applet auf der Seite http://www.falstad.com/fourier/ erhalten ; es ist ein gutes Applet und ich empfehle, a wenig damit, um ein erstes Verständnis dafür zu bekommen, wie sich verschiedene Harmonische kombinieren; auf der Abszisse steht die Zeit ):

Summe von 5 Harmonischen

Das Diagramm enthält fast 3 Perioden des Grundmodus. Aus der Darstellung wird ebenso klar, dass die Überlagerung von Normalmoden eine periodische Funktion ist, aber definitiv keine harmonische Schwingung.

Danke für die Erklärung; es hilft mir sehr. Ein paar Fragen: Wenn wir über eine Saite sprechen würden, die mit den harmonischen Komponenten Ihres Beispiels schwingt, wäre der Graph die Verschiebung, die ein fester Punkt in der Saite haben würde. Ist das korrekt? Würden alle Punkte auf der Saite mit demselben Muster vibrieren? Und da diese Schwingung periodisch mit einer Frequenz gleich der Grundschwingung ist, ist es richtig zu sagen, dass die Saite mit der Frequenz = der Grundschwingung schwingt, aber dass es sich nicht um eine harmonische Schwingung handelt? Danke!
Frage Nr. 1: Nein, im Allgemeinen ist es nicht so, dass alle Punkte das gleiche Zeitverhalten zeigen. Jede Harmonische über der Grundwelle hat einige räumliche Knoten. Wenn Sie dort sitzen, gibt es keinen Beitrag zur Verschiebung aus diesem Modus und daher fehlt im Allgemeinen auch die entsprechende Frequenz. Frage 2: Ist in gewisser Weise Definitionssache, aber aus mathematischer Sicht akzeptabel. Wahrscheinlich bleibt eine genauere Beschreibung die einer Überlagerung harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen.
Mit welcher Frequenz schwingt eine Saite?
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