Gezupfte Saiteneigenwerte/harmonische Frequenzen: ganzzahlige Vielfache (oder nicht)

Question

Gezupfte Saiteneigenwerte/harmonische Frequenzen: ganzzahlige Vielfache (oder nicht)

Schnur
Physik
Obertöne
Eigenwert
Vibrationen
Newtonsche Mechanik

Nick Boshaft

Ich versuche, ein Modell einer gezupften Saite aus Newtons zweitem Gesetz abzuleiten. Meine Herleitung ergibt

ω_{N} = C \cdot \sqrt{N}, N = 1, 2, 3 \dots ganze Zahl

$ω_n = C\cdot\sqrt{n},\, n=1,2,3\dots\text{integer}$ Ich denke, es sollte sein

ω_{N} = C \cdot N, N = 1, 2, 3 \dots ganze Zahl

$ω_n = C\cdot n,\, n=1,2,3\dots\text{integer}$

Ich begann mit Perlen, die jeweils Masse hatten $m$ gleichmäßig verteilt auf einer Saite mit Saitenspannung $T$ . Korn $n$ wird um eine Strecke nach oben verschoben $y$ . Die Kräfte auf Perle $n$ scheinen mir zu sein:

F_{N} = M_{N} {\ddot{j}}_{N} = - T Sünde (θ_{N - 1, N}) - T Sünde (θ_{N, N + 1})

$F_n = m_n \ddot y_n =-T \sin⁡(\theta_{n-1,n}) -T \sin⁡(\theta_{n,n+1})$

Sünde (θ_{N - 1, N}) \approx (j_{N} - j_{N - 1}) / D

$\sin⁡(\theta_{n-1,n}) \approx (y_n - y_{n-1})/d$

Sünde (θ_{N, N + 1}) \approx (j_{N} - j_{N + 1}) / D / D

$\sin⁡(\theta_{n,n+1}) \approx (y_n - y_{n+1})/d/d$ Ersetzen und Umordnen:

{\ddot{j}}_{N} + \frac{T}{D M_{N}} (- j_{N - 1} + 2 j_{N} - j_{N + 1}) = 0

$\ddot y_n+\frac{T}{dm_n}(-y_{n-1} + 2y_n -y_{n+1})=0$ Nun lass

j_{N} = A_{N} \cdot e^{ich ω T}, ⟹ {\dot{j}}_{N} = ich ω \cdot j_{N}, {\ddot{j}}_{N} = - w^{2} \cdot j_{N}

$y_n = A_n \cdot e^{i\omega t}, \implies \dot y_n = i\omega \cdot y_n, \ddot y_n = -w^2 \cdot y_n$ Definiere auch

C \equiv \sqrt{\frac{T}{D \cdot M}}

$C ≡ \sqrt{\frac{T}{d\cdot m}}$ Jetzt

ω^{2} + C^{2} \cdot (- j_{N - 1} + 2 j_{N} - j_{N + 1}) = 0

$\omega^2 + C^2\cdot(-y_{n-1} + 2y_n -y_{n+1})=0$ Expandieren in Matrixform:

[\begin{matrix} A \end{matrix}] {\vec{j}}_{N} = \frac{ω^{2}}{C^{2}} {\vec{j}}_{N}

$\begin{bmatrix} A\end{bmatrix} \vec y_n = \frac{\omega^2}{C^2} \vec y_n$ Wo

| A | \equiv [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}]

$|A| \equiv \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 &\\ \end{bmatrix}$ Ein Online-Rechner zeigt die Eigenwerte von

| A |

$|A|$ sein:

1, 2, 3, 4 \dots

$1, 2, 3, 4\dots$

So scheint mein Ergebnis zu sein

ω_{N} = C \cdot \sqrt{N}, N = 1, 2, 3 \dots ganze Zahl

$ω_n = C \cdot\sqrt{n},\, n=1,2,3\dots\text{integer}$ Was ist falsch?

Frobenius

Verwandt, wenn nicht doppelt vorhanden: Eigenwertgleichung für kinetische und potentielle Energie . Die tridiagonale Matrix ist ein Spezialfall der sogenannten Toeplitz-Matrizen [siehe Gleichung (19)] und ihre Eigenwerte und Eigenvektoren konnten analytisch bestimmt werden [siehe Gleichungen (20) bzw. (21)].

Papa Kropotkin

Sind Sie an den Rändern mit Schnüren an, sagen wir, Wände gebunden? Oder gibt es unendlich viele Saiten?

John Alexiou

\sqrt{n} ω_{0}

$\sqrt{n} \omega_0$ ist richtig.

Frobenius

Es scheint, dass Ihr Modell (durch das eine gezupfte Gitarrensaite simuliert wird, von

n

$\:n\:$ identische Perlen, die gleichmäßig entlang der Schnur verteilt sind) ist falsch.

Nick Boshaft

Ihr habt Recht. Ich habe ein Schur-Programm (das ich zuvor validiert hatte) verwendet, um das Eigensystem auf 15 und die Eigenwerte zu berechnen, und es waren keine ganzen Zahlen darin (beachten Sie, dass es Quadratwurzeln von ganzen Zahlen gab). Zugegeben, mein Modell funktioniert nicht, aber die Frage in meinem Kopf bleibt immer noch: Warum nicht??

Antworten (3)

Gezupfte Saiteneigenwerte/harmonische Frequenzen: ganzzahlige Vielfache (oder nicht)

Verwandt, wenn nicht doppelt vorhanden: Eigenwertgleichung für kinetische und potentielle Energie . Die tridiagonale Matrix ist ein Spezialfall der sogenannten Toeplitz-Matrizen [siehe Gleichung (19)] und ihre Eigenwerte und Eigenvektoren konnten analytisch bestimmt werden [siehe Gleichungen (20) bzw. (21)].
Sind Sie an den Rändern mit Schnüren an, sagen wir, Wände gebunden? Oder gibt es unendlich viele Saiten?
Es scheint, dass Ihr Modell (durch das eine gezupfte Gitarrensaite simuliert wird, von $\:n\:$ identische Perlen, die gleichmäßig entlang der Schnur verteilt sind) ist falsch.
Ihr habt Recht. Ich habe ein Schur-Programm (das ich zuvor validiert hatte) verwendet, um das Eigensystem auf 15 und die Eigenwerte zu berechnen, und es waren keine ganzen Zahlen darin (beachten Sie, dass es Quadratwurzeln von ganzen Zahlen gab). Zugegeben, mein Modell funktioniert nicht, aber die Frage in meinem Kopf bleibt immer noch: Warum nicht??

RoderickLee · Answer 1

Warum denkst du $\omega_n=n{\omega_0}$ oder $\sqrt{n}\omega_0$ ?

Die „Quantenzahl“ $n$ hier ist Schwung $k$ da es sich offensichtlich um ein translationsinvariantes System handelt. Mit einigen Fourier-Transformationen können Sie die Energie erhalten $\omega_n=2\omega_0\sin(k)$ , Wo $k=\pi/(2N)\cdot i$ Und $i=-N,\cdots,N$ , $N$ für die Gesamtzahl der Gitterplätze. Kleine Abweichungen in $k$ wenn die Grenze offen ist.

Diese Streuung stimmt mit den Eigenwerten Ihrer tridiagonalen Matrix überein .

Ich dachte, mein Ergebnis würde echter Musik entsprechen, bei der (dachte ich) die Obertöne eines gezupften Saiteninstruments ganzzahlige Vielfache des Grundtons sind.

Nick Boshaft · Answer 2

Die Antworten früherer Experten lassen die beiden grundlegenden Fragen unbeantwortet:

Warum entsprechen die Eigenwerte meiner gleichförmigen, tridiagonalen, symmetrischen (Töplitz-) Harmonischen nicht den bekannten Eigenschaften einer echten Gitarrensaite?
Warum konvergieren die Eigenwerte für zunehmend größere Matrizen nicht gegen die Kontinuumslösung der Lagrange-Analyse?

Hilfe findet sich in "Almost-dispersionless pulse transport in long quasi uniform spring-mass chains ..." R. Via, 2. August 2018. Siehe Gleichungen (38)-(41).

Die Eigenwerte der Matrix $(A)$ In meiner Frage definiert (wie in den vorherigen Antworten angegeben und im referenzierten Papier bestätigt) sind:

λ_{N} = 2 - 2 \cdot \cos (k_{N})

$\lambda_n = 2-2\cdot \cos(k_n)$ Wo:

k_{N} ≝ (\frac{N π}{N + 1})

$k_n ≝ \left(\frac{ n\,\pi}{N+1}\right)$ So:

\frac{ω_{N}^{2}}{C^{2}} = 2 - 2 \cdot \cos (k_{N})

$\frac{\omega_n^2}{C^2}= 2-2 \cdot \cos \left(k_n\right)$

ω_{N} = C \sqrt{2 - 2 \cdot \cos (k_{N})} = 2 C \cdot Sünde (\frac{k_{N}}{2}) = 2 C \cdot Sünde (\frac{N \cdot π}{2 \cdot (N + 1)})

$\omega_n = C\, \sqrt { 2-2\cdot \cos( k_n ) } = 2\, C \cdot \sin { \left( \frac{k_n}{2} \right) } = 2 \, C \cdot \sin { \left(\frac{ n\cdot \pi}{2\cdot (N+1)}\right) }$ Meine erste verbleibende Frage wird durch einen Schlüsselsatz im Referenzpapier beantwortet:

Für $k\ll 1$ (dh $n\ll N$ ) Sie die $\omega_n$ ] sind fast linear in $k$ und gleichmäßig verteilt $n$ .

Für $n\ll N$

Sünde (\frac{N \cdot π}{2 \cdot (N + 1)}) \approx (\frac{N \cdot π}{2 \cdot (N + 1)})

$\sin { \left(\frac{ n\cdot \pi}{2\cdot (N+1)}\right) } \approx { \left(\frac{ n\cdot \pi}{2\cdot (N+1)}\right) }$

Also in diesem speziellen Fall:

ω_{N} \approx (\frac{C \cdot π}{N + 1}) N

$\omega_n \approx {\left(\frac{C\cdot \pi}{N+1}\right) n}$

Aber wie in meiner Frage erwähnt:

C ≝ \sqrt{\frac{T}{D \cdot M}}

$C ≝ \sqrt{\frac{T}{d\cdot m}}$ Die Länge der Zeichenfolge als Konstante halten

L

$L$ und die Gesamtmasse der Saite als konstant

M

$M$ :

M = \frac{M}{N}, D = \frac{M}{N + 1}

$m = \frac{M}{N},\, d = \frac{M}{N+1}$ Für sehr groß

N

$N$ , d. h. wenn die Massenkette zu einer durchgehenden Schnur wird:

C \approx \sqrt{\frac{T}{L \cdot M}} \cdot N

$C \approx \sqrt{\frac{T}{L\cdot M}}\cdot N$ Wir können jetzt definieren:

ω_{0} ≝ \sqrt{\frac{T}{L \cdot M}} \cdot \frac{N}{N} \cdot π = π \sqrt{\frac{T}{L \cdot M}}

$\omega_0 ≝\sqrt{\frac{T}{L\cdot M}}\cdot \frac{N}{N}\cdot \pi = \pi\,\sqrt{\frac{T}{L\cdot M}}$ Endlich:

ω_{N} \approx ω_{0} \cdot N, N = 1, 2, 3 \dots ganze Zahl

$\omega_n \approx \omega_0 \cdot n,\, n=1,2,3\dots\text{integer}$

Das ist die klassische Antwort und löst meine letzte verbleibende Frage.

Thomas: Ich sehe, Sie haben meine Antwort bearbeitet. Danke (glaube ich). Als Lerngelegenheit möchte ich, dass Sie erklären, warum Sie das, was Sie getan haben, geändert haben.

Frobenius · Answer 3

$\newcommand{\bl}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\e}{\bl=} \newcommand{\p}{\bl+} \newcommand{\m}{\bl-} \newcommand{\gr}{\bl>} \newcommand{\les}{\bl<} \newcommand{\greq}{\bl\ge} \newcommand{\leseq}{\bl\le} \newcommand{\plr}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\blr}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\lara}[1]{\langle#1\rangle} \newcommand{\lav}[1]{\langle#1|} \newcommand{\vra}[1]{|#1\rangle} \newcommand{\lavra}[2]{\langle#1|#2\rangle} \newcommand{\lavvra}[3]{\langle#1|\,#2\,|#3\rangle} \newcommand{\vp}{\vphantom{\dfrac{a}{b}}} \newcommand{\hp}[1]{\hphantom{#1}} \newcommand{\x}{\bl\times} \newcommand{\qqlraqq}{\qquad\bl{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\qquad} \newcommand{\qqLraqq}{\qquad\boldsymbol{\e\!\e\!\e\!\e\!\Longrightarrow}\qquad} \newcommand{\tl}[1]{\tag{#1}\label{#1}}$

Die Ergebnisse der OP sind falsch. Genauer gesagt wenn

\begin{matrix} (01) & Ξ = [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 2 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm\Xi\e \begin{bmatrix} \hp\m 2&\m1&\hp\m 0&\cdots&\hp\m 0&\hp\m 0\hp\m\\ \m1 &\hp\m 2&\m1&\cdots&\hp\m 0&\hp\m 0\hp\m\\ \hp\m 0&\m1&\hp\m 2&\cdots&\hp\m 0 &\hp\m 0\hp\m\\ \hp\m\vdots &\hp\m\vdots &\hp\m\vdots&\cdots &\hp\m \vdots&\hp\m\vdots\hp\m\\ \hp\m 0&\hp\m 0&\hp\m 0&\cdots&\hp\m 2&\m1\hp\m\\ \hp\m 0&\hp\m 0&\hp\m 0&\cdots&\m1&\hp\m 2\hp\m \end{bmatrix} \tag{01}\label{01} \end{equation}$ ist ein

n \times n

$\:n\times n\:$ symmetrische Toeplitz-Matrix, ihre Eigenwerte sind nicht die des OP

\begin{matrix} (02) & λ_{ρ} = ρ, ρ = 1, 2, 3, \dots N (falsch) \end{matrix}

$\begin{equation} \lambda_\rho\e\rho\,, \qquad \rho\e1,2,3,\cdots n \qquad\qquad \texttt{(wrong)} \tag{02}\label{02} \end{equation}$ Aber

\begin{matrix} (03) & ξ_{ρ} = 4 {Sünde}^{2} [ρ \frac{π}{2 (N + 1)}] = 2 (1 - \cos [ρ \frac{π}{(N + 1)}]), ρ = 1, 2, \dots, N \end{matrix}

$\begin{equation} \xi_\rho\e 4\sin^{2}\blr{\rho\dfrac{\pi}{2\plr{n\p1}}}\e 2\Bigg(1\m\cos\left[ \rho\dfrac{\pi}{\plr{n\p1}} \right]\Bigg), \quad \rho\e 1,2,\cdots, n \tag{03}\label{03} \end{equation}$

$\bl{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!}$

Gegenbeispiel 1: Betrachten Sie die $\:2\times 2\:$ symmetrische Toeplitz-Matrix

\begin{matrix} (04) & Ξ = [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm\Xi\e \begin{bmatrix} \hp\m 2&\m1\hp\m\vp\\ \m1 &\hp\m 2\hp\m\vp \end{bmatrix} \tag{04}\label{04} \end{equation}$ Nach den OP-Ergebnissen sind seine Eigenwerte

\begin{matrix} (05) & λ_{1} = 1, λ_{2} = 2 (falsch) \end{matrix}

$\begin{equation} \lambda_1\e 1\,, \qquad \lambda_2\e 2 \qquad\qquad \texttt{(wrong)} \tag{05}\label{05} \end{equation}$ anstatt

\begin{matrix} (06) & \begin{aligned} ξ_{1} & = 4 {Sünde}^{2} (\frac{π}{6}) = 1 \\ ξ_{2} & = 4 {Sünde}^{2} (\frac{π}{3}) = 3 \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{split} \xi_1 & \e 4\sin^{2}\plr{\dfrac{\pi}{6}}\e 1 \\ \xi_2 & \e 4\sin^{2}\plr{\dfrac{\pi}{3}}\e 3 \end{split} \tag{06}\label{06} \end{equation}$ in Übereinstimmung mit Gleichung

(03)

$\eqref{03}$ .

$\bl{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!}$

Gegenbeispiel 2: Betrachten Sie die $\:3\times 3\:$ symmetrische Toeplitz-Matrix

\begin{matrix} (07) & Ξ = [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm\Xi\e \begin{bmatrix} \hp\m 2&\m1&\hp\m0\hp\m\vp\\ \m 1 &\hp\m 2&\m1\hp\m\vp\\ \hp\m 0 &\m 1&\hp\m 2\hp\m\vp \end{bmatrix} \tag{07}\label{07} \end{equation}$ Nach den OP-Ergebnissen sind seine Eigenwerte

\begin{matrix} (08) & λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 3 (falsch) \end{matrix}

$\begin{equation} \lambda_1\e 1\,, \qquad \lambda_2\e 2\,, \qquad \lambda_3\e 3 \qquad\qquad \texttt{(wrong)} \tag{08}\label{08} \end{equation}$ anstatt

\begin{matrix} (09) & \begin{aligned} ξ_{1} & = 4 {Sünde}^{2} (\frac{π}{8}) = 2 [1 - \cos (\frac{π}{4})] = 2 - \sqrt{2} \\ ξ_{2} & = 4 {Sünde}^{2} (\frac{π}{4}) = 2 [1 - \cos (\frac{π}{2})] = 2 \\ ξ_{3} & = 4 {Sünde}^{2} (\frac{3 π}{8}) = 2 [1 - \cos (\frac{3 π}{4})] = 2 + \sqrt{2} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{split} \xi_1 & \e 4\sin^{2}\plr{\,\dfrac{\pi}{8}\,}\e 2\Bigg[1\m\cos\left(\,\dfrac{\pi}{4}\,\right)\Bigg]\e 2\m\sqrt{2} \\ \xi_2 & \e 4\sin^{2}\plr{\,\dfrac{\pi}{4}\,}\e2\Bigg[1\m\cos\left(\,\dfrac{\pi}{2}\,\right)\Bigg]\e 2\\ \xi_3 & \e 4\sin^{2}\plr{\!\dfrac{3\pi}{8}\!}\e 2\Bigg[1\m\cos\left(\!\dfrac{3\pi}{4}\! \right)\!\Bigg]\e 2\p\sqrt{2} \\ \end{split} \tag{09}\label{09} \end{equation}$ in Übereinstimmung mit Gleichung

(03)

$\eqref{03}$ .

Beachten Sie, dass

\begin{matrix} (10) & λ_{1} λ_{2} λ_{3} = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \neq 4 = det (Ξ) \end{matrix}

$\begin{equation} \lambda_1\lambda_2\lambda_3\e 1\cdot 2 \cdot 3 \e 6 \bl\ne 4\e \det\plr{\mathrm\Xi} \tag{10}\label{10} \end{equation}$ während

\begin{matrix} (11) & ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3} = (2 - \sqrt{2}) \cdot 2 \cdot (2 + \sqrt{2}) = 4 = det (Ξ) \end{matrix}

$\begin{equation} \xi_1\xi_2\xi_3\e \plr{2\m\sqrt{2}}\cdot 2\cdot\plr{2\p\sqrt{2}} \e 4\e \det\plr{\mathrm\Xi} \tag{11}\label{11} \end{equation}$

Eine andere Überprüfung ist

\begin{matrix} (12) & \sum_{ρ = 1}^{ρ = N} λ_{ρ} = \sum_{ρ = 1}^{ρ = N} ρ = \frac{N (N + 1)}{2} \neq 2 N = Verfolgen (Ξ) \end{matrix}

$\begin{equation} \sum\limits_{\rho\e 1}^{\rho\e n}\lambda_\rho\e\sum\limits_{\rho\e 1}^{\rho\e n}\rho\e\dfrac{n\plr{n\p1}}{2}\bl\ne 2n\e \texttt{Trace}\plr{\mathrm\Xi} \tag{12}\label{12} \end{equation}$

Ich schätze Ihre Mathematik, aber meine physikalische Frage lautet: Warum ergeben die Berechnungen nicht etwas, das dem entspricht, was Sie auf einem Frequenzanalysator für eine gezupfte Gitarrensaite sehen?
@Nick Boshaft: Also, was du gezupfte Saite nennst, wird nicht simuliert von $\:n\:$ identische Perlen, die gleichmäßig entlang der Schnur verteilt sind. Bitte klären Sie.
Frobenius: Sehen Sie irgendwelche Fehler in meiner Analyse von „n identischen Perlen, die gleichmäßig entlang einer gespannten schwerelosen Schnur verteilt sind? Wenn nicht, dann scheinen Sie Recht zu haben, dass das Modell eine gezupfte Saite nicht richtig modelliert, weder mit Ihren Eigenwerten noch mit meinen, selbst wenn ich mehr, kleinere Perlen verwendet habe, die näher beieinander liegen und sich dem Kontinuum nähern. Warum nicht?

Gezupfte Saiteneigenwerte/harmonische Frequenzen: ganzzahlige Vielfache (oder nicht)

Nick Boshaft

Frobenius

Papa Kropotkin

John Alexiou

Frobenius

Nick Boshaft

Antworten (3)

RoderickLee

Nick Boshaft

Nick Boshaft

Nick Boshaft

Frobenius

Nick Boshaft

Frobenius

Nick Boshaft

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