Auf der Oberseite der Abbildung haben wirn + 1
ideale Federn uN
Teilchen im Gleichgewicht. Die Konstanten der Federn sindkρ( ρ = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 )
mit Gleichgewichtslängenℓρ( ρ = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 )
und die TeilchenmassenMρ( ρ = 1 , 2 , ⋯ , n )
. Stört das System aus diesem Gleichgewicht die Bewegungsgleichung des TeilchensMρ
Ist
MρX¨ρ= −kρ(Xρ−Xρ − 1) +kp + 1(Xp + 1−Xρ)(01)
WoXρ( t )
die Verschiebung dieses Teilchens aus seiner Gleichgewichtslage, siehe in der Mitte der obigen Abbildung. Legen wir festX0( t ) = 0
UndXn + 1( t ) = 0
für die extremen Fixpunkte A bzw. B.
Gleichung (01) kann geschrieben werden als
MρX¨ρ−kρXρ − 1+ (kρ+kp + 1)Xρ−kp + 1Xp + 1= 0(02)
oder
MX¨+ K x = 0(03)
Wo
x =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢X1X2X3⋮Xn − 1XN⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥∈RN(04)
M
Dien × n
diagonale Matrix
M =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢M100⋮000M20⋮0000M3⋮00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋮Mn − 10000⋮0MN⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(05)
Und
K
Die
n × n
Tridiagonale symmetrische Matrix
K =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢(k1+k2)−k20⋮00−k2(k2+k3)−k3⋮000−k3(k3+k4)⋮00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋮(kn − 1+kN)−kN000⋮−kN(kN+kn + 1)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(06)
Gleichung (03) liefert
X¨+ (M− 1K ) x =0(08)
oder
X¨+ S x = 0 ,S. ≡M− 1K(09)
Wenn jetztS =M− 1K
ist mit Eigenwerten diagonalisierbarλρ( ρ = 1 , 2 , ⋯ , n )
UndP
eine invertierbare Matrix, die es dann diagonalisiert
P− 1S P = d ich ein g (λ1,λ2, ⋯ ,λN)(10)
Definieren
y ≡P− 1X(11)
und Multiplizieren von (09) mit
P− 1
, wir haben
j¨+ (P− 1S P ) y =0(12)
das istN
unabhängige Differentialgleichungen
j¨ρ+λρjρ= 0 ,ρ = 1 , 2 , ⋯ , n(13)
Beachten Sie, dass das innere Produkt von (03) mit der "Geschwindigkeit"
n- _
Vektor
X˙
X˙=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢X˙1X˙2X˙3⋮X˙n − 1X˙N⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥∈RN(14)
wir haben
⟨M _X¨,X˙⟩ + ⟨ K x ,X˙⟩ = 0(15)
das ist die Energieerhaltungsgleichung
Ddt _[12⟨M _X˙,X˙⟩ +12⟨ K x , x ⟩ ] = 0(16)
im Zusammenhang mit der Frage.
Für den Spezialfall einer gemeinsamen Federkonstantekρ= k( ρ = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 )
und gemeinsame TeilchenmasseMρ= m( ρ = 1 , 2 , ⋯ , n )
, Gleichung (08) ergibt
X¨+ω2ÖΞx =0(17)
Wo
ωÖ≡kM−−−√= Grundfrequenz(18)
UndΞ
die folgenden × n
tridiagonale symmetrische Matrix (ein Sonderfall der sogenannten Toeplitz-Matrizen)
Ξ =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2− 10⋮00− 12− 1⋮000− 12⋮00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋮2− 1000⋮− 12⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(19)
mit
reellen positiven Eigenwerten
ξρ= 4Sünde2[ ρπ2 ( n + 1 )] =2 ( 1−cos[ ρπ( n + 1 )] ) ,ρ = 1 , 2 , ⋯ , n(20)
und Eigenvektoren (1) eρ
mitσ−
Komponente
(eρ)σ=2n + 1−−−−−√Sünde( ρ σπn + 1) ,ρ , σ= 1 , 2 , ⋯ , n(21)
In diesem Spezialfall ist das System unabhängiger Gleichungen (13).
j¨ρ+ (ξρω2Ö)jρ= 0 ,ρ = 1 , 2 , ⋯ , n(22)
das ist :
Die Bewegung eines Systems vonN
Teilchen gleicher MasseM
verbunden übern + 1
ideale Federn gleicher Konstantek
, siehe Abbildung oben, ist die Überlagerung vonN
unabhängige harmonische Schwingungen mit Frequenzen
ωρ=ξρ−−√ωÖ= 2ωÖSünde[ ρπ2 ( n + 1 )] ,ωÖ≡kM−−−√,ρ = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 , n(23)
wie in der Abbildung unten gezeigt.
(1) Beliebign × n
tridiagonale symmetrische Toeplitz-Matrix hat die gleichen Eigenvektoren !!!
BEARBEITEN
Für andere allgemeinere Fälle ist unten ein nützlicher Satz aus "Matrix Theory" von Joel N. Franklin unverändert angegeben:
Satz LetM
UndK
Sein × n
Hermitesche Matrizen. WennM
positiv definit, dann gibt es an × n
MatrixC
wofür
C∗MC = ich _UndC∗K C =Λ= d ich ein g (λ1,λ2, ⋯ ,λN)(t-17)
Die ZahlenλJ
sind real. WennK
ist positiv definit, dieλJ
sind positiv. DerλJ
verallgemeinerte Eigenwerte erfüllen
KCJ=λJMCJ,CJ≠ 0( j = 1 , ⋯ , n )(t-18)
WennK
UndM
reell sind, dann eine reelle MatrixC
, mit SpaltenCJ
, kann als zufriedenstellend empfunden werden (t-17) und (t-18).
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