Wie können Hilbert-Räume verwendet werden, um die Obertöne schwingender Saiten zu untersuchen?

Ich bin nicht qualifiziert, diese Frage im Detail zu beantworten ... aber ich möchte auf einige Dinge hinweisen, die ich in letzter Zeit gelernt habe und die hilfreich sein könnten.

Der Hilbert-Raum ist nützlich, wenn Sie einen unendlichen dimensionalen Raum benötigen, um zu charakterisieren, was Sie studieren, und wo jeder Modus orthogonal zu den anderen ist. Großartig für die Quantenmechanik ...

Wo ich arbeite, können Bilder, das heißt 2D-Matrizen von Skalarwerten, die überhaupt nicht orthonormal sind, in Merkmalsräume umgewandelt werden.

Ein Merkmalsraum kann eine Kreuzkorrelationsmatrix sein, die aus dem äußeren Produkt aller Pixelintensitäten in einer Spalte und ihrer Transponierung (einer Zeile) erstellt wird.

Dann wird jede Spalte als orthogonales Merkmal einer Mannigfaltigkeit im Hilbert-Raum betrachtet ... die Leute spielen mit diesen Strukturen, aber mir wurde gesagt, dass man wirklich mehr Mengenlehre studieren muss, um zu verstehen, wie man das Signal auf diese Weise verarbeitet.

Ich weiß, dass die komplexe Analyse Werkzeuge für den Umgang mit Mannigfaltigkeiten bietet, aber ich bin ein Neuling in all dem.

viel Glück.

Betrachten Sie einen unendlich dimensionalen Vektorraum (was ein Hilbert-Raum mehr oder weniger ist).

In diesem Raum können Sie jeden Vektor als lineare Summe unabhängiger Einheitsvektoren konstruieren.

Als einen solchen Vektor im Hilbertraum kann man sich die schwingende Saite mit allen Obertönen als unendlich viele Einheitsvektoren vorstellen. Der Vektor ist also eine Summe aller Obertöne.