Geschwindigkeit einer mechanischen Welle auf einer Saite

Mehr Masse bedeutet mehr Trägheit. Daher ist mehr Kraft erforderlich, um eine Differenzmasse auf der Saite zu bewegen, und diese Differenzmasse reagiert langsamer als eine "leichtere" Saite, da die Beschleunigung dieser Differenzmasse dem 2. Newtonschen Gesetz (a = F / m) folgen muss. Dies bedeutet, dass die Wellengeschwindigkeit auf einer Saite mit großer linearer Dichte niedriger ist als die Wellengeschwindigkeit auf einer Saite mit kleiner linearer Dichte, wenn man annimmt, dass die gleiche Kraft auf jede unterschiedliche Masse auf den Saiten wirkt, wenn die Welle vorbeigeht.

Wenn Sie davon ausgehen, dass Spannung und Dichte die einzigen Faktoren sind, führt Sie die Dimensionsanalyse bis auf eine unbestimmte Konstante direkt zu dieser Formel. Wenn Sie eine Antwort ohne eine solche Annahme wollen, müssen Sie vielleicht akzeptieren, dass die Mathematik doch benötigt wird.

Eine mechanische Welle benötigt ein Medium, in diesem Fall die Saite, die aus Teilchen besteht.
Diese Teilchen oszillieren um eine mittlere Position, während sie miteinander wechselwirken.
Sie haben vielleicht bemerkt, dass die Formel für die Geschwindigkeit einer Reihe mechanischer Wellen die Form hat

$\text{speed} =\sqrt {\left( \dfrac{\text{a term to do with a restoring force or "springiness" of the medium}}{\text{a term to do with the mass of the medium}}\right)}$

Zum Beispiel$\sqrt {\left( \dfrac{\gamma \text{ pressure of gas}}{\text{density of gas}}\right)}$für Schallwellen in einem Gas und
$\sqrt {\left( \dfrac{\text{Young's modulus of solid}}{\text{density of solid}}\right)}$für Longitudinalwellen in einem Vollstab.

Bei den Querwellen auf einer Saite hängt die Rückstellkraft, der ein Teilchen ausgesetzt wird, von der Spannung in der Saite ab.
Eine größere Spannung führt zu einer größeren Rückstellkraft und damit zu einer größeren Beschleunigung des Teilchens.
Eine größere Spannung führt also dazu, dass ein Teilchen schneller in seine Gleichgewichtslage zurückkehrt, was wiederum bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Welle (Informationsübertragung zwischen Teilchen) höher ist.

Bei einer gegebenen Rückstellkraft wird eine Saite mit größerer Masse (pro Längeneinheit) jedoch eine geringere Beschleunigung erfahren und daher in einem längeren Zeitraum in die Gleichgewichtsposition zurückkehren.
Dadurch wird die Geschwindigkeit der Welle geringer.