Warum gilt die Heisenbergsche Unschärferelation nicht in Wellen in Saiten?

Ich glaube, Sie haben die Bedeutung der Gleichung falsch verstanden

$$\Delta X \Delta P \geq \hbar / 2 \, .$$ Dies ist nicht verwunderlich, da die hier verwendete Notation wirklich, wirklich irreführend ist. Es sollte so geschrieben werden

$$\sigma_X \sigma_P \geq \hbar / 2 \, .$$

Um das zu verstehen, müssen wir erklären, was$\sigma_X$Und$\sigma_P$bedeuten. Angenommen, Sie haben zu einem bestimmten festen Zeitpunkt einen Wellenimpuls. Sie können diesen Puls als Funktion der Position beschreiben$f(x)$. Dieser Impuls hat eine gewisse Breite; es kann sehr schmal oder sehr scharf sein. Eine übliche Art, diese Breite zu charakterisieren, ist die Varianz , die als definiert ist

$$\text{variance} \equiv \int f(x) (x - \mu)^2 \, dx$$ Wo $\mu$ist der Mittelwert von $x$wie gewichtet mit $f(x)$, definiert als $$\mu \equiv \int x f(x) dx \, .$$ Nehmen wir von nun an an, dass wir die Koordinaten so einrichten $\mu=0$und wir haben $$\text{variance} \equiv \int f(x)x^2 \, dx \, .$$ Auch hier ist die Varianz nur eine Charakterisierung dafür, wie breit der Impuls ist. Wir definieren auch die "Standardabweichung" des Pulses als $$\text{standard deviation} \equiv \sigma_x \equiv \sqrt{\text{variance}} \, .$$

Die Take-Home-Message hier ist die$\sigma_x$ist nur ein Maß für die Breite des Impulses. Siehe Diagramm. Sie können sich dies auch als "Unsicherheit in der Position des Impulses" vorstellen, aber diese spezielle Interpretation ist im Quantenfall wirklich sinnvoller, wenn Sie eine Wellenfunktion haben, die die Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Auffinden eines Teilchens an verschiedenen Positionen darstellt.

Die Heisenbergsche Unschärferelation bezieht sich auf die Breite dieses Impulses$\sigma_X$auf die Ungewissheit im Impuls des Pulses (oder Geschwindigkeit, wenn Sie möchten)$\sigma_P$. Sie sehen also jetzt, dass die tatsächliche Geschwindigkeit der Welle nicht der Gegenstand der Unschärferelation ist; vielmehr ist es die Ungewissheit in der Geschwindigkeit, die hereinkommt.

Nun, um ein wenig weiter zu gehen, lassen Sie uns mehr darüber nachdenken, was$\sigma_P$eigentlich bedeutet. Sie können die Wellenfunktion erneut ausdrücken$f(x)$als Funktion des Wellenvektors über die Fourier-Transformation

$$\tilde{f}(k) \equiv \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i k x} \, dx \, .$$

Diese Funktion sagt Ihnen, wie Sie den Puls in Wellen zerlegen, von denen jede einen bestimmten Impuls hat$p = \hbar k$. Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt genau, dass die Breite dieser neuen Funktion multipliziert mit der Breite der ursprünglichen Ortswellenfunktion gleich oder größer sein muss$\hbar/2$.

Wichtig: Wenn Sie den Impuls vergessen und nur von Ort und Wellenvektor sprechen, erhalten Sie eine Beziehung, die für jede Funktion gilt$f$und hat absolut nichts mit Quantenmechanik zu tun:

$$\sigma_x \sigma_k \geq 1/2 \, .$$

Wenn Sie möchten, können Sie sich dies als die klassische Grenze der Heisenbergschen Unschärferelation vorstellen, aber auch hier handelt es sich wieder nur um eine mathematische Aussage über die Form von Wellen.

Ihre Situation ist etwas verwirrend, da die Geschwindigkeit des Wellenpakets nicht mit dem Impuls zusammenhängt. Wenn Sie über die Unschärferelation für klassische Wellen sprechen wollen, ist der „Impuls“ proportional zur inversen Wellenlänge$\lambda^{-1}$. In dieser Situation hängt die Geschwindigkeit der Welle nicht von der Wellenlänge ab, sondern nur von Dingen wie der Dichte des Mediums. Obwohl die Wellengeschwindigkeit langsamer ist, hat dies nichts mit der Ausbreitung der Wellenlängen zu tun, die zum Aufbau eines Pulses (im Fourier-Sinn) erforderlich sind, und daher nichts mit der Ausbreitung des "Impulses".

Tatsächlich kann man sich intuitiv davon überzeugen, dass wenn das Wellenpaket kürzer ist$\Delta x$Sie benötigen vergleichsweise mehr kurze Wellenlängen, um es zu bilden. Tatsächlich gibt es also im kürzeren Wellenpaket einen vergleichsweise höheren Impuls (und Impulsstreuung) und die klassische Version der Unschärferelation gilt.

Bearbeiten - Ich meine, Sie haben ein Wellenpaket, das eine lineare Überlagerung einer Reihe ebener Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen ist. Angenommen, Sie skalieren dieses Wellenpaket so, dass es die Hälfte der linearen Ausdehnung hat$\Delta x$(Sie können dies als Standardabweichung definieren oder die Unterstützung, wenn sie endlich ist, oder wie auch immer), aber die gleiche Form. Es ist intuitiv, dass dies die Überlagerung der gleichen Verteilung von ebenen Wellen mit jeweils der Hälfte der vorherigen Wellenlänge sein wird. Da die Wellenlänge halbiert wird, ist der 'Impuls'$\lambda^{-1}$wird verdoppelt. Deshalb steigt die Dynamik und ein Produkt$\Delta x \Delta p$erscheint in der Unschärferelation.