Können wir theoretisch einen perfekt symmetrischen Bleistift auf seiner Ein-Atom-Spitze balancieren?

TL;DR: Es gibt viele Faktoren, die verhindern, dass ein Bleistift perfekt ausbalanciert bleibt. Das wichtigste davon ist das Unsicherheitsprinzip, das den Bleistift in weniger als vier Sekunden umfallen lässt. Für Details lesen Sie weiter ...

Kurze Antwort: NEIN. Das erste Lichtphoton, das darauf trifft, würde Ihr perfektes Gleichgewicht stören. Die Gezeitenkräfte des Mondes (die nicht immer in die gleiche Richtung zeigen) würden ihn stören. Die Gezeitenkräfte der Sonne würden ihn stören. Ich könnte weitermachen.

Die Bewegungsgleichung eines Bleistifts sagt uns, dass sich die Bewegung aufbaut, sobald Sie um den kleinsten Betrag von der Mitte abweichen. Es ist kein stabiles Gleichgewicht.

Und Graphit kann das Gewicht eines Bleistifts auf einer monoatomar scharfen Spitze nicht tragen ... Laut diesem Lieferanten von hochwertigem Graphit beträgt die Druckfestigkeit etwa 25 ksi (~ 170 MPa - Abbildung 5-2 aus der Referenz). Die kleinste Spitze, die das Gewicht von 0,05 N tragen kann, wäre ein Kreis mit einem Radius von 0,01 mm. Das ist eine ziemlich scharfe Spitze für einen Bleistift. Es ist nicht annähernd "atomar".

Schließlich erfordert die Unschärferelation selbst beim absoluten Nullpunkt, dass die Position des Massenschwerpunkts nicht genau bekannt ist. Die (quantenmechanisch erforderlichen) Schwankungen der Lage des Massenschwerpunkts sollten ausreichen, um den Bleistift schließlich umfallen zu lassen.

UPDATE - die Wirkung eines einzelnen Photons

Es ist aufschlussreich, zu berechnen, wie lange es dauert, bis ein Bleistift bei einer bestimmten Abweichung vom Gleichgewicht herunterfällt (unter der Annahme, dass ein perfekter Drehpunkt am Boden vorliegt – dh das einzige ausgeübte Drehmoment ist auf die Schwerkraft zurückzuführen). Ich zeige es hier für einen Bleistift, der von einem einzelnen grünen Photon getroffen wurde – und das Ergebnis ist eine überraschend kurze Zeit.

Modellieren Sie den Stift als gleichmäßigen Stab mit Masse$m$, Länge$\ell$, Trägheitsmoment$I=\frac{1}{3}m\ell^2$, das Drehmoment$\Gamma$wenn es schräg steht$\theta$zur Vertikalen ist

Bei kleinen Durchbiegungen$\sin\theta = \theta$und wir werden diese Annahme unten verwenden. Dann wird die Bewegungsgleichung

Das sieht der Gleichung für einen einfachen harmonischen Oszillator sehr ähnlich, aber mit falschem Vorzeichen. Wir erhalten tatsächlich eine sehr ähnliche Lösung, aber mit hyperbolischen Funktionen.

Putten$\frac{3 g}{2 \ell} = \alpha^2$, können wir dies zweimal integrieren, um a zu erhalten

Wenn der Bleistift im Gleichgewicht beginnt, können wir setzen$\theta=0$bei$t=0$, was das obige reduziert auf

Gegeben eine Anfangsgeschwindigkeit$v_0$, wir sehen das

Jetzt haben wir einen Ausdruck für$\theta$, können wir mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit lösen:

Jetzt kommt der lustige Teil. Nehmen wir an, wir treffen den perfekt ausbalancierten Stift mit einem einzigen Photon grünen Lichts. Der Impuls eines solchen Photons beträgt ungefähr

Nehmen wir an, der Bleistift ist schwarz, damit das Photon nicht reflektiert wird. Die Masse eines Bleistifts beträgt etwa 0,005 kg, Länge 20 cm. Die Geschwindigkeit des Bleistifts nach der Kollision mit dem Photon ist ungefähr (ja, es gibt einige Faktoren, die den Offset-Aufprall usw. berücksichtigen. Ich ignoriere alle diese - es ändert nichts an der grundlegenden Antwort):

Nehmen wir an, dass "definitiv fallend" einem Winkel von 0,5 Grad oder etwa 0,01 rad entspricht. Wir können die Werte in die obige Gleichung einsetzen und t finden$\approx$6 Sek.

Ein Photon. Sechs Sekunden. Das ist eine erschreckend kurze Zeit ... aber es wird noch schlimmer:

UPDATE 2 - die Bedeutung des Unsicherheitsprinzips

Es ist auch interessant zu sehen, wie lange es dauern würde, bis ein Bleistift bei einer anfänglichen Abweichung von der Vertikalen herunterfällt – denn dann können wir das eine Photon loswerden und die Unschärferelation verwenden, um die maximale Zeit abzuschätzen, in der der Bleistift ausbalanciert.

Wenn der Schwerpunkt daneben liegt$\Delta x$, dann ist der Winkel$\Delta \theta = \frac{2\Delta x}{\ell}$.

Unter Verwendung der gleichen Gleichungen wie zuvor finden wir$C_1 + C_2 = \Delta \theta$. Nehmen wir an, die Anfangsgeschwindigkeit ist null – denn „im Durchschnitt“ wird sie es sein, vorausgesetzt, die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit zeigt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zurück zum Gleichgewicht und davon weg – also bekommen wir$C_1 = C_2$, und die Lösung ist a$\cosh$Funktion:

Wo$C_1 = \frac{\Delta\theta}{2} = \frac{\Delta x}{\ell}$.

Wir haben jetzt die Zeit zu fallen (Zeit, um eine gewisse Zeit zu erreichen$\theta$) wie

Die Gleichung, die wir zuvor für die Zeit abgeleitet haben, die bei einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit benötigt wird, kann umgeschrieben werden als

und das wissen wir

Offensichtlich wird die längste Zeit bis zum Ausgleich erreicht, wenn die beiden Zeiten gleich sind – andernfalls wird die eine länger und die andere kürzer sein, und die kürzere Zeit wird dominieren. Zur Lösung ersetzen wir durch$\Delta x = \frac{\hbar}{m\Delta v}$und bekomme

Wenn der Term in Klammern ausreichend groß ist, dann können wir (zwecks Abschätzung) setzen

Daraus folgt das

Wenn wir den Stift durch die Werte ersetzen, finden wir

die um viele Größenordnungen größer ist als die Geschwindigkeit, die entsteht, wenn der Stift von einem Photon getroffen wird. Dann ist die Zeit des Untergangs

Ein perfekt ausbalancierter, "theoretischer" Bleistift, der auf seiner monoatomaren Spitze steht, fällt aufgrund der Unschärferelation im Durchschnitt in einer Handvoll Sekunden.

NACHWORT Meine Tochter hat mich gerade auf einen interessanten Beitrag hingewiesen, der dasselbe berechnet - und zu einer sehr ähnlichen Antwort kommt. Der Autor signiert sich selbst als "Alemi". Es gibt einen Mitwirkenden auf dieser Seite mit dem gleichen Handle. Ich glaube, ich erkenne den Stil des Denkprozesses, also werde ich einen verspäteten Tipp geben. Dieser Beitrag kommt übrigens auf einen Wert von etwa 3,6 Sekunden. Was dem Wert, den ich bekommen habe, erstaunlich ähnlich ist.

Nein . Um perfekt auszubalancieren, müsste der Bleistift perfekt aufrecht und absolut still stehen. Das Unsicherheitsprinzip schränkt ein, wie gut Sie beides gleichzeitig tun können.

Momentum und Position bilden ein konjugiertes Paar.

Drehimpuls und Winkelposition bilden ebenfalls eins.

Dies garantiert nicht, dass Drehimpuls und Winkelposition nicht Null sind. Es ist eine Unsicherheit - Die tatsächlichen Werte können alles sein, einschließlich$0$.

Aber es hindert Sie daran, sie beide so anzuordnen, dass der Bleistift aufrecht bleibt. Wenn Sie außerdem fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, beide Werte sehr nahe zu finden$0$, finden Sie, dass es sehr klein ist. Im Grenzbereich unendlich unwahrscheinlich.

Wenn sich das herausstellt$L = \Theta = \sqrt{\hbar}$, und Sie setzen vernünftige Werte für die Masse und Länge des Bleistifts ein, Sie werden feststellen, dass er in wenigen Sekunden umfällt.

Verspätete Aktualisierung

Ich habe bis zum Wochenende gewartet, um ein Update hinzuzufügen. Als es hier ankam, hatte Floris kaum noch etwas hinzuzufügen. Und er hat einen besseren Job gemacht, als ich es getan hätte. Gute Antworten.

Eine Reihe von Benutzern war der Meinung, dass ein idealer Bleistift, der auf eine atomare Spitze gespitzt ist, nicht realistisch sei. Der Bleistift sollte unten eine Abflachung haben.

Mein eigener Gedanke ist, dass der Bleistift auf einer dieser masselosen, reibungsfreien Rollen montiert werden sollte, die in Physikklassenzimmern der High School so üblich zu sein scheinen.

Nichtsdestotrotz lässt sich ein Bleistift mit Abflachung halb klassisch behandeln. Aufgrund der Unschärferelation hat der Bleistift einen Anfangsimpuls und damit eine Anfangsenergie. Dadurch kippt der Bleistift. Was wiederum dazu führt, dass sich der Bleistift um eine Kante der Ebene dreht. Der Massenmittelpunkt steigt an, bis er direkt über dem Rand der Ebene liegt. Wenn die anfängliche "Unschärfe"-Energie größer ist als die Energie, die zum Anheben des Massenschwerpunkts benötigt wird, kippt der Bleistift um.

Eine quantenmechanische Behandlung würde den Bereich, in dem sich der Massenmittelpunkt über dem Inneren der Ebene befindet, als Potentialmulde behandeln. Es besteht die Wahrscheinlichkeit eines Austunnelns.

Beide Szenarien werden hier ausführlich behandelt (mit Diagrammen, falls meine Beschreibung unklar ist) . Ich habe diesen Link gefunden, indem ich Floris '"interessanter Beitrag, der dasselbe berechnet" folgte. Dieser Beitrag hatte unten einige Kommentare. Der allerletzte Kommentar enthält den Link.

Nein. Das Gewicht des Bleistifts beträgt ungefähr 1 Newton, und die Fläche beträgt ungefähr 500 Quadratpicometer (5 * 10 ^-22 ), was bedeutet, dass der Druck auf die Spitze ungefähr 2 ZettaPascal beträgt. Das ist einiges mehr als Graphit (oder Diamant) aushalten kann (das wird in GigaPascal gemessen)

Die Frage ist so zweideutig, dass sie ein klares Ja zulässt . Denn „Balance“ ist nicht definiert, ebenso wenig wie die Abmessungen und das verwendete Material des Bleistifts, noch der Ort, an dem das „Balancen“ stattfinden soll.
Das Material und die Form der Oberfläche, auf der der Bleistift balanciert, sind nicht festgelegt, ebenso wenig wie die Zeit, in der er balanciert bleiben sollte. Wenn Sie also einen "Bleistift" mit Titanspitze auf einem Planeten / Mond mit einer Gravitationskraft von 1/10.000 der Erde ohne Atmosphäre verwenden, auf einer Oberfläche aus einem "komplementären" Material, so dass das Titanmolekül "einpasst". ein "Loch", das von den umgebenden komplementären Molekülen erzeugt wird, dann ist das "Ausgleichen" des "Bleistifts" ein Kinderspiel.

Nein. Erstens ist die Spitze des Bleistifts im Allgemeinen nicht scharf genug, um nur ein einziges Atom zu haben. Die Leute versuchen, solche Tipps in STMs zu geben. Selbst wenn Sie es irgendwie geschafft haben, es scharf genug zu machen, Graphit ist so weich, dass das Gewicht des Bleistifts die Spitze zerdrückt. Es wird kein einziges Atom breit bleiben. Es gibt also keine Möglichkeit, den Bleistift auf einem einzelnen Atom auszugleichen, da es keine einzelne Atomspitze gibt.

Zweitens ist es unmöglich, einen perfekt symmetrischen Bleistift herzustellen, selbst wenn Sie eine Spitze von wenigen Atomen Breite erhalten. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie diese Asymmetrie eingeführt werden kann. Wenn Sie den Bleistift spitzen, gibt es einen Punkt, an dem das Holz eine stufenartige Struktur bildet (wo die Klinge war, als Sie mit dem Schärfen aufhörten), wodurch die Struktur asymmetrisch wird. Wenn Sie eine CNC-Maschine zum Schärfen verwendet haben, müssen Sie darüber nachdenken, ob der Lack perfekt aufgetragen wurde, ob der Graphitkern eine gleichmäßige Dichte hat und vor allem, ob das Holz absolut gleichmäßig ist. Normalerweise kann man die beiden Holzarten in einem Bleistift nur anhand des Farbunterschieds erkennen.

Kurz gesagt, "theoretisch" ist in diesem Fall nicht erreichbar, indem man einfach alles auf Null abkühlt und ein Vakuum erzeugt. Der Grad der Endbearbeitung, den der Bleistift selbst erfordert, ist zu hoch, um ihn überhaupt noch als Bleistift zu bezeichnen.

DREHEN SIE ES , mit der maximal möglichen Drehzahl für ein so massives Objekt. Führen Sie das Experiment auf der ISS durch, weit über der Erdoberfläche.
Lösen Sie das Problem von der „Oberflächenproblematik“. Entfernen Sie die „Oberfläche“ unter der Atomspitze – wo ist Unten ohne Schwerkraft? -- oder sich der Oberfläche so weit wie möglich annähern, aber ohne Kontakt (die elektronische Wolke des Atoms verhindert dies, daher ist die Definition von "Kontakt" sinnvoll, dh Ersatz durch Impulsübertragung).
Die Erde ist keine perfekte einheitliche Kugel und das Experiment reagiert sensibel auf diese Veränderungen. Bringen Sie das Experiment also in eine geostationäre Umlaufbahn.
Ich kann einen Satz gesteuerter gepulster Laser verwenden, um den Bleistift in Rotation zu versetzen, gleichzeitig entschied ich mich, die Rotationsachse mit dem Erdmittelpunkt auszurichten.
Magnetschwebebahn ( Meissner-Effekt - Video ), um jeder Änderung der Ausrichtung entgegenzuwirken und automatisch zu steuern.
Ich kann die Zeit, die das Setup in Rotation bleibt, nicht wirklich berechnen - es hängt von der maximalen Drehzahl ab -, aber ich erwarte eine sehr lange Zeit, vielleicht mehrere Jahre , solange die Flüssigkeit He eingeschlossen bleibt (siehe Schicksal des Herschel-Weltraumobservatoriums ). Die anderen Antworten sprechen von Sekunden?.

Ich habe das OP theoretisch übersetzt in: die beste physikalisch günstige Konfiguration.

Lassen Sie mich der erste sein, der mit „Ja“ (mehr oder weniger) antwortet.

Wie das Sprichwort sagt:

Theoretisch gibt es keinen Unterschied zwischen Theorie und Praxis. In der Praxis gibt es.

Worauf ich hinaus will ist, dass es immer Unterschiede zwischen Theorie und Praxis geben wird und dass es Sache des Physikers ist zu entscheiden, welche Annahmen/Vereinfachungen geeignet sind und welche nicht.

Also, wenn Sie Ihren Bleistift theoretisch hinreichend einfach beschreiben, zB klassische Mechanik, Vakuum, keine äußeren Einflüsse, ..., dann ja, in dieser Theorie werden Sie in der Lage sein, einen Bleistift auf seiner Spitze zu balancieren.

In Anbetracht dessen, dass Sie die atomare Natur der Materie bereits als ein wichtiges Element der Theorie betrachten, ist es wahrscheinlich, dass die anderen Effekte, die meine Kollegen vorgebracht haben und die den Bleistift fallen lassen werden, ebenfalls nicht zu vernachlässigen sind. Daher ist es in diesen Theorien unmöglich, einen Bleistift auf seiner Spitze zu balancieren.

Bearbeiten: Ich denke, der eigentliche Punkt könnte sein, dass "theoretisch" bestenfalls schlecht definiert und im schlimmsten Fall völlig unsinnig ist. Ich sehe zwei Interpretationen:

1. Gibt es eine Theorie, in der...? Das war mein Verständnis davon, in diesem Fall ist die Antwort "Ja".
2. Für die State-of-the-Art-Theorie der Realität, ...? Dies ist das Verständnis der meisten, die mit „Nein“ antworten. Obwohl dies auch eine vernünftige Interpretation ist, möchte ich hinzufügen, dass dies eine schlechte Definition ist
   • Was ist der Stand der Technik? Allgemein Akzeptiert? Eine ziemlich vage Definition.
   • Es gibt keine einzige State-of-the-Art-Theorie, die die gesamte Physik beschreibt (z. B. Standardmodell und Gravitation)
   • Der Stand der Technik ändert sich mit der Zeit

Wenn der Bleistift am absoluten Nullpunkt wäre, würde er notwendigerweise seinen niedrigsten Energiezustand annehmen, der nicht der vertikale Zustand ist.

Wenn der Bleistift als Quantenrotor mit einer unendlichen Potentialbarriere modelliert würde, die die Hälfte seines Raumwinkelraums (dh den Tisch) bedeckt, dann gibt es sicherlich angeregte, aber stabile Zustände, in denen der Bleistift in einer mehr oder weniger vertikalen Position bleibt.

Wäre da nicht das Wort theoretisch , wäre die Frage einfach zu beantworten, dass es praktisch unmöglich ist, einen solchen Bleistift auszubalancieren. Die Spitze würde unter dem Druck bröckeln. Es ist von Natur aus instabil und würde aufgrund von Luftströmungen, Vibrationen, der Brownschen Bewegung und dem Aufprall eines einzelnen Photons innerhalb weniger Sekunden umkippen. usw. usw.

Wenn Sie theoretisch sagen , welche Theorie haben Sie im Sinn? Der ursprüngliche Kontext der Frage war, wie gepostet, Newtonsche Mechanik . Tags für QM und das Unsicherheitsprinzip wurden später von anderen hinzugefügt, ohne die Frage selbst zu bearbeiten, um die Mehrdeutigkeiten zu beseitigen.

Wie gesagt, die Frage ist widersprüchlich und verwirrend. Es fragt theoretisch , ob der Bleistift auf einer Ein-Atom-Spitze balancieren kann. Aber dann werden praktische Vorsichtsmaßnahmen erwähnt, um reale Störungen wie Luftströmungen und (vermutlich) die thermischen Vibrationen des Stifts zu vermeiden. Atome und thermische Schwingungen sind Teil der klassischen Physik, aber nicht Teil der Newtonschen Mechanik, was bedeutet also in diesem Zusammenhang eine Ein-Atom-Spitze ?

Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, dass es keine Definition dafür gibt, was es bedeutet, wenn der Bleistift ausbalanciert ist . Es wäre höchst instabil, selbst wenn die Spitze ein abgestumpfter Kegel von einem Atom Durchmesser wäre. Theoretisch können wir den Bleistift jedoch so genau positionieren, dass es eine beliebig lange Zeit (z. B. das Alter des Universums) dauern würde, bis er umkippt. (Die erforderliche Positionsgenauigkeit wäre um Größenordnungen kleiner als die Planck-Länge, aber das ist kein Einwand, der dem theoretischen Modell der Newtonschen Mechanik inhärent ist.) Umgekehrt bedeutet, wenn ausgewogen , dass der Stift nicht angefangen hat zu kippen es ist nie ausgeglichen . Theoretisch kippt es immer.

Daher stimme ich Guill zu, dass der Bleistift theoretisch und mit einer geeigneten Definition von ausgewogen sein kann.

Ich stimme Daniel Sank auch zu, dass die Verwendung des Unsicherheitsprinzips zur Berechnung einer maximalen Zeit von etwa 3 Sekunden, für die der Stift "ausgeglichen" bleiben könnte, irreführend ist. Da dies in der Praxis zeitnah erreicht wird, entsteht der falsche Eindruck, dass der Bleistift wegen der Quantenmechanik fällt, wie in dieser Antwort auf Erklären, warum Quantenverhalten im täglichen Leben nicht zu beobachten ist . Wie Floris erklärt, führt jede kleine Abweichung von der perfekten Balance zu einem ähnlichen Ergebnis.

Es wird von Peter Lynch (University College Dublin) in Balancing a Pencil on its Point , Mai 2014, gezeigt, dass der Bleistift in 3,72 s fällt, wenn das Unsicherheitsprinzip verwendet wird, um die anfängliche Unsicherheit in seiner Position zu bestimmen, und in 2,51 s, wenn der Die Positionsunsicherheit wird willkürlich mit der Breite 1 Atom gewählt. Er kommt zu dem Schluss, dass "das Umkippen kein Quanteneffekt ist". Jeder einigermaßen kleine Wert für die Unsicherheit - ob 0,1 mm oder 0,1 nm oder 0,1 fm - führt zu einer Zeit von etwa 2-3 s. Das Unsicherheitsprinzip setzt eine Obergrenze für die Zeit, aber es ist nicht die praktische Ursache für das Umkippen.

In „Der quantenmechanische Kippbleistift – eine Warnung für Physiklehrer“ verwendet Don Easton von der Stony Brook University das Unsicherheitsprinzip, um die maximale Zeit abzuschätzen, für die der COM des Bleistifts in seiner atomgroßen Basis auf etwa 10 bleiben könnte$^{12}$s - also etwa 1 Million Jahre. In einer anderen Berechnung schätzt er den gleichen Wert für die Zeit, die der Stift benötigt, um aus seinem Potentialtopf zu tunneln. Nur wenn das umgekehrte Pendelmodell des Bleistifts verwendet wird - mit seiner exponentiellen Instabilität -, kommt die Antwort auf etwa 3s.