Addition von Geschwindigkeiten vs. Addition von Kräften

Ich beginne meine Antwort damit, von dem konkreten Beispiel abzuweichen, um eine allgemeinere Antwort zu geben. Am Ende fasse ich zusammen, wie die allgemeine Diskussion auf das spezifische Beispiel zutrifft.

Konzentrieren wir uns auf Ihre Beobachtung

Sowohl Geschwindigkeit als auch Kraft sind Vektoren.

WAHR. Beide sind Vektoren, und eine intrinsische Charakterisierung von Vektoren besteht darin, dass es eine Summe von Vektoren gibt. Obwohl die Vektoraddition ein wohldefiniertes mathematisches Konzept ist (im Wesentlichen die Parallelogrammregel), kann die Anwendung von Vektoren in der Physik den zusätzlichen Schritt der sorgfältigen Identifizierung der physikalischen Bedeutung der Summe nicht vermeiden.

Wenn wir die physikalische Einheit Kraft mit Vektoren identifizieren, müssen wir implizit oder explizit eine operative Bedeutung aller Vektoroperationen (Summe und Multiplikation mit einem Skalar) angeben. In der klassischen Mechanik, wenn wir das Vorhandensein einer Kraft identifizieren${\bf F}$durch die resultierende Beschleunigung eines Testteilchens, die Summe zweier auf dasselbe Teilchen ausgeübter Kräfte und das Produkt einer Kraft mit einem Skalar stehen in direktem Zusammenhang mit der entsprechenden Beschleunigungsaddition und Beschleunigungsmultiplikation mit einem Skalar.

Beachten Sie, dass ein wichtiger Bestandteil des Kraftadditionskonzepts darin besteht, nur Kräfte zu addieren, die auf denselben Körper wirken. Ohne das würden wir in Schwierigkeiten geraten, wenn wir versuchen würden, ein Aktions-Reaktions-Kräftepaar zusammenzufassen. Mathematischer ausgedrückt könnten wir sagen, dass sich Kräfte auf verschiedene Körper in verschiedenen Vektorräumen befinden und daher nicht summiert werden können.

Eine ähnliche Diskussion kann über Geschwindigkeiten geführt werden. Verschiebungen eines punktförmigen Objekts in einer Zeit$\Delta t$, können durch Vektoren dargestellt werden. Woher wissen wir das? Wir definieren einfach die Summe zweier Verschiebungen desselben Körpers als resultierende Verschiebung. Mit dieser Definition ist es eine nicht triviale physikalische Erkenntnis, dass die Reihenfolge der beiden Verschiebungen keine Rolle spielt (Summe ist kommutativ), dass es eine Nullverschiebung gibt. Für jede Verschiebung gibt es eine entgegengesetzte Verschiebung, so dass die Summe von beiden der Nullverschiebung entspricht. Darüber hinaus ist es möglich, die Multiplikation mit einem Skalar zu definieren, indem Verschiebungen in die gleiche Richtung verwendet werden. Eine solche Multiplikation erfüllt alle entsprechenden Axiome in der Definition eines Vektorraums.

Der entscheidende Punkt ist, dass die Summe der Verschiebungen als Vektoren die physikalische Bedeutung hat, verschiedene Verschiebungen desselben Körpers zu kombinieren . Was man über Verschiebungen sagen kann, kann man natürlich auch über Geschwindigkeiten sagen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, was beim Summieren von Einheiten, die als Geschwindigkeiten oder Kräfte bezeichnet werden, getan werden kann oder nicht, hängt von der physikalischen Bedeutung ab, die wir den mathematischen Konzepten geben. Es reicht nicht aus, Vektorgrößen zu haben, um sie zu summieren, ohne zu analysieren, um welche Art von Vektoren es sich handelt.

Kommen wir nun zum Beispiel. Kräfte auf denselben Körper können summiert werden, und dies würde zu einer Beschleunigung führen, die die Summe der vorhandenen Beschleunigungen ist, wenn nur eine der Kräfte gleichzeitig vorhanden wäre. Das Summieren von Geschwindigkeiten zweier verschiedener Punkte desselben starren Körpers ist bedeutungslos, da die Position des Körpers (der Box) nur durch einen Punkt identifiziert wird.

Beachten Sie, dass die Klärung der Konzepte hinter der Vektoraddition von Geschwindigkeiten eine wichtige Voraussetzung ist, um Verwechslungen mit den Transformationsgesetzen von Geschwindigkeiten in verschiedenen Referenzrahmen in der Relativitätstheorie zu vermeiden.

Zwei Saiten werden mit gleicher Geschwindigkeit gezogen$u$. Die Box bewegt sich auch mit Geschwindigkeit$u$.

Sie "ziehen" eine Box nicht mit einer Geschwindigkeit. Sie können es ziehen, indem Sie eine Kraft anwenden, die zu einer Änderung der Geschwindigkeit führt. Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Kräfte, die auf die Box wirken, eine, die ihr eine Geschwindigkeit verleiht$\vec v$und der andere gibt ihm eine Geschwindigkeit$\vec w$. Dann ist es in Ordnung zu sagen, dass die resultierende Geschwindigkeit ist$\vec v +\vec w$.

Spannung entlang einer Saite ist$T$. Daher ist die gesamte auf die Box wirkende Kraft$T+T=2T$.(Box beschleunigt)

In diesem Fall wenden Sie zwei Kräfte auf die Box an, die sich addieren, um Ihnen eine resultierende Kraft zu geben. Der erste Fall macht physikalisch keinen Sinn, der zweite Fall schon.

Sowohl Geschwindigkeit als auch Kraft sind Vektoren

Ja, das sind sie, und mathematisch können wir zwei beliebige Vektoren addieren, aber wenn wir Vektoren addieren, die physikalische Größen darstellen, müssen wir sicher sein, was diese physikalischen Größen darstellen.

In Ihrem ersten Beispiel können Sie an verschiedenen Punkten desselben Körpers keine unterschiedlichen Geschwindigkeiten addieren, da seine Geschwindigkeit durch die Translationsbewegung eines Punktes (normalerweise der Mitte) des Körpers definiert ist (vorausgesetzt, der Körper ist starr).

Das zweite Beispiel mit Kräften funktioniert gut, da die Nettokraft auf ein Objekt die Vektorsumme aller darauf wirkenden Kräfte ist, wie Sie es getan haben.

Du gehst mit deinem Freund die Straße entlang. Jetzt hältst du Händchen. Bewegen Sie sich jetzt doppelt so schnell?

Wenn die Geschwindigkeitsaddition so funktionieren würde, würden Sie totalen Unsinn bekommen. Immer wenn zwei sich bewegende Objekte aneinander haften würden, würden sie sich schneller bewegen.

Eine andere, eher mathematische Betrachtungsweise. Die Energie eines Masseobjekts$m$sich mit Geschwindigkeit bewegen$v$Ist

Tut mir leid für mein schlechtes Englisch. Französisch ist meine Muttersprache.

Um einen Vektor zu definieren, muss der Vektorraum angegeben werden, in dem er definiert ist. Im Allgemeinen haben wir für eine Mannigfaltigkeit an jedem Punkt einen Tangentenvektorraum. In der klassischen Physik hat der Raum eine affine flache Raumstruktur und wir definieren an jedem Punkt einen tangentialen Vektorraum, die für einen affinen flachen Raum alle miteinander identifiziert werden können.

In diesem tangentialen Vektorraum ist die Addition zweier Vektoren definiert. Man definiert also an jedem Punkt den Vektorraum der Verschiebungen. Die Vektorsumme zweier Verschiebungen von einem Punkt ist eine Verschiebung. Indem wir durch die Zeit dividieren, gehen wir zu Geschwindigkeitsvektoren.

Andererseits gibt es Schwierigkeiten, die Ableitung der Geschwindigkeit zu definieren: Wir vergleichen Vektoren an verschiedenen Punkten. Um dies tun zu können, müssen wir einen parallelen Transport und eine Verbindung definieren, die es ermöglichen, einen Vektor von einem Punkt zum anderen zu transportieren. Im affinen Raum der klassischen Physik ist das sehr einfach. Komplizierter in einer Vielzahl: Es ist notwendig, eine kovariante Ableitung einzuführen.

Selbst die Addition zweier Kräfte an verschiedenen Punkten ist also keine einfache Folge der Struktur des Vektorraums. Wir müssen die Vektoren transportieren. Und das ist für einen affinen flachen Raum nur einfach.

Dies ist eine aufschlussreiche Frage.

So wie nicht alle Dinge mit Beinen Tische sind, sind nicht alle Dinge, die durch Vektoren (im mathematischen Sinne) dargestellt werden, gleich.

In der klassischen Mechanik gibt es zwei Klassen von Vektorgrößen mit jeweils einigen gemeinsamen Eigenschaften. Die folgende Nomenklatur ist nicht standardisiert, da verschiedene Autoren unterschiedliche Namen für die gleichen Konzepte unten verwendet haben.

• Achsenvektor – Ein eindeutiger Vektor, der die Richtung und Größe einer Größe angibt, die zu dem Körper gehört, der eine Linie (oder Achse) im Raum darstellt.

  Einige Beispiele auf einem starren Körper sind

  • Der Impulsvektor ist ein einzelner Vektor, der den translatorischen Impulszustand eines starren Körpers beschreibt. Unabhängig davon, wie sich ein Körper dreht, wird er immer definiert als

    $$\boldsymbol{p} = m\, \boldsymbol{v}_{\rm C}$$ wobei C der Schwerpunkt ist. Die mit dem Impuls verbundene Linie wird Perkussionsachse genannt .

  • Der Kraftvektor ist ein einzelner Vektor, der die Belastung eines Körpers beschreibt. Die Kraft ist die zeitliche Ableitung des Impulses und somit die Gesamtlast

    $$\boldsymbol{F} = m \, \boldsymbol{a}_C$$ Die der Kraft zugeordnete Linie wird Wirkungslinie genannt .

  • Der Rotationsgeschwindigkeitsvektor ist eine gemeinsame Größe, die allen Teilchen eines Körpers gemeinsam ist. Jeder Punkt auf dem Körper (oder dem allgemeinen erweiterten Rahmen) dreht sich um$\boldsymbol{\omega}$relativ zueinander Punkt. Die mit der Rotation verbundene Linie wird als Rotationsachse bezeichnet .

• Momentenvektor – Ein Vektor, der je nach Position variiert und durch Nehmen des Moments eines Achsenvektors definiert wird. Dies erfordert die rechte Regelkonvention in Form eines Kreuzprodukts, um die Richtung des Vektors zu definieren. Dies definiert ein Vektorfeld um die oben erwähnten Linien. Ein Vektorfeld ist ein Vektor, der Richtung und Größe je nach Ort ändert.

  Einige Beispiele für einen beliebigen Punkt A sind:

  • Der Geschwindigkeitsvektor hängt mit der allgemeinen Formel vom Ort des gemessenen Teilchens ab $$\boldsymbol{v}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{\omega}$$ Wo$\boldsymbol{r}_A$ist die Position der Rotationsachse relativ zum Partikel.
  • Der Drehmomentvektor hängt von der Position des Partikels ab, wo das Drehmoment mit der allgemeinen Formel summiert wird $$\boldsymbol{\tau}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{F}$$ Wo$\boldsymbol{r}_A$ist der Ort der Kraftwirkungslinie relativ zum Summationspunkt.
  • Der Drehimpulsvektor hängt von der Stelle ab, an der er mit der allgemeinen Formel summiert wird $$\boldsymbol{L}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{p}$$ Wo$\boldsymbol{r}_A$ist die Position der Perkussionsachse relativ zum Summationspunkt.

Nun zum Vektoralgebra-Teil der Frage. Wie addieren wir zwei Kräfte oder zwei Geschwindigkeiten und wie unterscheidet sich dieser Prozess?

• Zwei Kräfte addieren sich zum Belastungszustand des Körpers, indem sie die Vektoren entlang ihrer Wirkungslinie verschieben, bis sie sich an einem gemeinsamen Punkt treffen. Verwenden Sie am gemeinsamen Punkt die Trapezregel, um Richtung, Größe und Ort der resultierenden Kraft herauszufinden .

Das Ergebnis ist die komponentenweise vektorielle Addition der Achsvektoren (Kräfte) und der Momentenvektoren (Drehmomente).

• Zwei Geschwindigkeiten summieren sich nicht, um den Zustand des Körpers zu ändern (es sei denn, der Körper ist rein translatierend, ein Sonderfall). Die beiden Geschwindigkeiten sind nur Ausdrücke derselben Rotationsgeschwindigkeit an verschiedenen Punkten

Um die Kinematik eines Körpers relativ zu einem anderen Körper zu beschreiben, müssen Sie sowohl die Achsenvektoren (Rotationsgeschwindigkeit) als auch die Momentenvektoren (Translationsgeschwindigkeit) an einem gemeinsamen Punkt addieren, genau wie die oben genannten Kräfte an einem gemeinsamen Punkt addiert werden müssen Punkt.

Die Geometrie dieser Situation führt zum relativen Rotationszentrumssatz .

Es lohnt sich, den folgenden Artikel aus dem Jahr 1901 zu lesen

• SLATE, F. Die Verwendung von „;Achsenvektoren“. Natur 64, 54–55 (1901). DOI , pdf herunterladen

Lesen Sie außerdem diese Antwort hier über die Art des Drehmoments und die Momentvektoren, die mithilfe des Kreuzprodukts definiert werden.

Zusammenfassend werden die in der Mechanik gebräuchlichen Größen wie folgt interpretiert

$$\begin{array}{r|l|l} \text{concept} & \text{value} & \text{moment}\\ \hline \text{rotation axis} & \text{rot. velocity}, \boldsymbol{\omega} & \text{velocity}, \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \text{line of action} & \text{force}, \boldsymbol{F} & \text{torque}, \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ \text{axis of percussion} & \text{momentum}, \boldsymbol{p} & \text{ang. momentum}, \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \end{array}$$ Die Dinge unter der Wertespalte sind grundlegende Größen, die uns die Größe von etwas (sowie die Richtung) angeben. Die Angaben unter der Momentenspalte sind sekundäre Größen, die davon abhängen, wo sie gemessen werden, und die den relativen Ort der grundlegenden Größen verwenden. Daher die Begriffe Drehmoment = Kraftmoment, Geschwindigkeit = Rotationsmoment und Drehimpuls = Impulsmoment. Das bedeutet nur, dass diese Mengen sind$\boldsymbol{r} \times \text{(something fundamental)}$und sie beschreiben den Momentarm zu diesem Etwas.

Dass Geschwindigkeit und Kraft Vektoren sind, ist hier nur sekundär. Die eigentliche Unterscheidung besteht hier darin, ob es sich um intensive oder extensive Mengen handelt , dh wie sie mit der Größe des Systems skalieren.

Mit skalaren Werten könnten wir genau das Gleiche über Temperatur und Masse fragen. Stellen Sie sich zwei identische Objekte mit Temperatur vor$T$und Masse$m$. Wenn sie zusammengefügt werden, steigt ihre Temperatur nicht an$T$, bleibt aber weiterhin bei$T$, denn Temperatur ist eine intensive Eigenschaft . Die Masse ist jedoch eine umfangreiche Eigenschaft , sodass die kombinierte Masse zunimmt$2m$.

Die Kombination zweier ungleicher extensiver Eigenschaften reduziert sich auf eine Summe, während es sich bei intensiven Eigenschaften um einen gewichteten Durchschnitt über einige extensive Eigenschaften eines Systems handelt: In diesem Beispiel wäre es die Gesamtwärmekapazität jedes der Körper.

Im Fall (1) bedeutet konstante Geschwindigkeit, dass die Beschleunigung Null ist. Ohne Schwerkraft gibt es keine Nettokraft. Nur relative Geschwindigkeiten addieren sich.