Warum entstehen beim Zupfen einer Saite Obertöne?

Wenn Sie die gezupfte Saite loslassen, ist ihre Form vorübergehend dreieckig: an den Enden festgebunden und auf die Stelle Ihres Fingers gerichtet. Aber die Lösungen der Wellengleichung sind keine Dreiecksfunktionen, sondern Sinusfunktionen, deren Verschiebungen aus der Ruhe gehorchen

Es gibt ein Theorem, dass man all diese guten Sitten addieren kann$y_n(x)$und jede Form erzeugen$y(x)$für die echte Zeichenfolge, die Sie wollen. Das Thema heißt Fourier-Analyse. Und genau das passiert, wenn Sie Ihre Gitarrensaite loslassen. Aus der String-Perspektive haben Sie gerade eine ganze Reihe verschiedener Modi mit unterschiedlichen angeregt$n$, und sie alle beginnen mit ihren eigenen Frequenzen zu schwingen.

Es ist erwähnenswert, dass Sie eine gewisse Kontrolle darüber haben, welche Obertöne Sie anregen, indem Sie auswählen, wo Sie die Saite zupfen. Hier ist, wie die Harmonischen bis zu$n=16$(vier Oktaven über dem Grundton) tragen zur Form einer Gitarrensaite bei, die in der Nähe der Mitte, in der Nähe des Schalllochs und in der Nähe des Sattels gezupft wird:

Die "genaue" Dreiecksform ist blau; die Grundanregung ist grün; der Grundton plus die erste Harmonische in Rot, dann Cyan, Magneta, Gelb usw., da mehr Harmonische enthalten sind. Das Zupfen einer Gitarrensaite in der Nähe des Sattels (untere Abbildung) regt viele, viele der höheren Harmonischen an. Dies ist eine Sache, die Sie auf einer Gitarre hören können: Wenn Sie nahe am Sattel klimpern, entsteht ein rauer, gequetschter "Eeee" -Sound. Wenn Sie dagegen die Gitarrensaite sehr nahe der Mitte der Saite zupfen, legen Sie sehr wenig Energie in die 1., 3., 5. Harmonische, die einen Knoten in der Mitte der Saite haben. Dies gibt den Saiten eine Art runderen, "oooo" Klang. Versuche es!

Wenn Sie eine Gitarrensaite zupfen, ist das Potential, das Sie auf die Saite anwenden, ungefähr eine Dirac-Delta-Funktion . Das heißt, das Loslassen der Saite ist ein nahezu augenblicklicher Kick. Eine der schönen Eigenschaften der Delta-Funktion ist, dass ihre Fourier-Transformation Eins ist. Das heißt, es setzt sich aus gleichen Anteilen aller Frequenzen zusammen. Wenn Sie also die Saite zupfen, regen Sie jeden einzelnen Resonanzmodus gleichermaßen an (in der Delta-Funktionsgrenze).

Was die unterschiedlichen Klänge verschiedener Instrumente bestimmt, ist, wie lange jede Resonanzfrequenz aufrechterhalten werden kann, dh die$Q$jedes Resonanzmodus . Ihr zweites Diagramm zeigt diese Unterschiede$Q$Werte schön. Das$Q$ist ungefähr proportional zur Breite der Spitze bei jeder Frequenz, bei der eine höher ist$Q$Wert bedeutet eine schmalere, höhere Spitze. Resonanzmoden mit größerer Streuung (lower$Q$) sterben schneller ab, da sie Energie auf die Stützstruktur und Wärme in der Saite übertragen.

Wenn Sie eine Saite zupfen, beginnt sie nicht wie der Grundton oben. Die Schnur wird in eine gebogene Form aus zwei geraden Linien und einem Winkel gezogen und darf in der Mitte nicht gebogen werden.

Das Loslassen der gebogenen Saite verursacht eine Reihe von Obertönen mit unterschiedlichen Amplituden, je nachdem, wie weit sie außermittig gebogen wurde. (Es kann nicht in die gebogene Winkelform zurückkehren und die Energie muss irgendwohin gehen). Das Ergebnis dieser Form sind alle Obertöne und klingen wie eine "reiche" Sinuswelle, bei der die ungeraden Obertöne dominieren.

Eine Gitarre oder Geige wird sehr außermittig gezupft, so dass sie eher wie ein Sägezahn ist und alle Obertöne, ungerade und gerade, mit einer Reihe von Amplituden erhält, die für das Instrument charakteristisch sind.

Dies wurde zuerst (?) von einem französischen Mönch namens Mersenne im Detail untersucht, der lange, schwere Drähte zwischen Zaunpfosten verwendete, um die Vibrationen langsam genug zu machen, um sie zu zählen.

Die Antwort kann mathematisch abgeleitet werden. Lassen$u(x,t)$bezeichnen die Verschiebung eines Punktes entlang der Schnur bei$x$zum Zeitpunkt$t$. Die Funktion gehorcht der Wellengleichung flach$d=2$Minkowski-Raum,

Wenn wir die Saite in der Mitte einklemmen, entspricht dies einer Bedingung für die Konfiguration der Saite zum Anfangszeitpunkt, dh sie bestimmt$u(x,0)$:

Darüber hinaus müssen wir Dirichlet-Randbedingungen auferlegen, da die Saite an beiden Enden fixiert ist, dh

um für Bewegung zu sorgen$x=0,l$ist verboten. Das Lösen der Wellengleichung über Fourier-Reihen ist mühsam, aber leicht machbar. Schließlich erhalten wir die Wellenharmonischen, deren Bilder im OP verfügbar sind.

Ein einfacher Graph der Anfangsbedingung$u(x,0)$:

Wir könnten jeden angeben$u(x,0)=f(x)$, oder nach einer allgemeinen Konfiguration lösen.

Hier spielen ein paar Dinge mit. Erstens ist die Saite an beiden Enden "geschlossen", was bedeutet, dass die Enden verriegelt sind und sich nicht bewegen können. Dies bedeutet, dass jede resonante Wellenlänge an den Enden "Knoten" haben muss, was eine Kontraktion von "keine Verschiebung" ist. Im Vergleich dazu können die akustischen Wellen in einer Röhre mit offenem Ende an einem Ende einen Knoten haben, aber das andere Ende ist ungebremst und könnte ein Maximum sein. Als nächstes ist die resonante "stehende Welle" für jede Frequenz tatsächlich die Kombination von Wanderwellen, die sich in Phase und in entgegengesetzten Richtungen entlang der Saite bewegen. Die Grundharmonische hat ein Maximum auf halber Höhe der Saite; die nächste Harmonische hat zwei Maxima bei 1/4 und 3/4 Länge plus einen Knoten bei 1/2 Länge. Und so weiter für alle höheren Harmonischen. Beachten Sie, dass Sie z. B. unterdrücken können, den Grundton, indem Sie Ihren Finger auf den 1/2-Längenpunkt legen, um dort einen Knoten zu erzwingen. Dies unterdrückt tatsächlich alle ungeradzahligen Harmonischen, die ein Maximum bei 1/2 haben, während es den geradzahligen Harmonischen ermöglicht wird, sich weiter auszubreiten.