Was macht eigentlich einen Bohrschen Radius stabil?

Ich weiß, dass diese Theorie jetzt ungültig ist und wir ein Quantenmodell haben, aber ich möchte wissen, warum Bohrs Modell überhaupt Aufmerksamkeit erregt hat.

Dies war das erste Modell, das eine erfolgreiche Vorhersage von Emissionsfrequenzen von Atomen (Wasserstoff) machte ( Rydberg-Formel ). Abgesehen davon gibt Bohrs Modell nicht allzu viel Einblick in die Funktionsweise der Atome. Es bestand nur aus "seltsamen" Postulaten, die geschaffen wurden, um den Zusammenbruch des Atoms zu vermeiden.

Nur 12 Jahre nach ihrer Einführung machten Heisenberg und Schrödinger die ersten Schritte zur Schaffung der eigentlichen konsistenten Theorie, die heute Quantenmechanik genannt wird . Es ist nur eine historische Kuriosität, dass Bohrs Modell immer noch gelehrt wird.

Bohr postulierte, dass der Drehimpuls einer solchen Kreisbahn in Vielfachen von quantisiert würde$\hbar$, das ist

Dies ist ein Postulat, was bedeutet, dass es eine glückliche Idee ist, die wir für wahr halten, aber er hat keinen Beweis geliefert.

Wenn wir nun eine klassische Definition anwenden,$\vec{L}=m \vec{r}\times \vec{v}$, und für eine Kreisbahn haben wir

Die Gleichung lautet also$mrv=n\hbar$. Wenn wir nun bedenken, dass die einzige Anziehung die elektrostatische ist, wenden wir das 2. Newtonsche Gesetz an. Die elektrostatische Kraft muss also als Zentripetalkraft wirken

Dann ersetzen

mit$a_0$Sein$4\pi\epsilon_0 \dfrac{\hbar^2}{mq_e^2}$

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Wie gesagt, Bohr erklärt nicht, warum das so ist, es ist ein Postulat.

Dann kam Louis de Broglie mit einer Erklärung. Das Elektron ist wie eine stationäre Welle um die Umlaufbahn.

Die Welle muss stationär sein (andernfalls würde sie EM-Strahlung aussenden). Eine solche stehende Welle erfordert eine Verbindung von Anfang und Ende. Es ist wie eine normale stationäre Welle, bei der Sie beide Extreme zu einem Kreis verbinden.

Die Verbindung beider Enden erfordert also, dass die Umfangslänge ein Vielfaches der Wellenlänge ist

$lenght = n\cdot \lambda$, oder$2\pi r= n \lambda$

Fügen Sie dann die Hypothese von de Broglie hinzu, und Sie haben es

das ist die gleiche Bedingung aus dem Postulat von Bohr. Das war eine merkwürdige Erklärung.

Die wirkliche Wahrheit hinter dieser Lösung ist jedoch, dass sie die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist.

Anhand der scharfen Linien in der Spektroskopie wusste man damals, dass ein Elektron (zum Beispiel in Wasserstoff) nur bestimmte Energien haben konnte. Wenn sie nur bestimmte Energien haben, bedeutet das (für klassische Miniatur-Sonnensystem-Modelle), dass diese Elektronen nur bestimmte Geschwindigkeiten, bestimmte Radien, bestimmte Impulse und so weiter haben. Es gab offensichtlich Regeln.

Aber diese Regeln für solche zulässigen Mengen sind nicht offensichtlich und kompliziert. Was Bohr entdeckte, war, dass, wenn man dem Drehimpuls eine Regel auferlegt, in der Form$L=n \hbar$, dann kommen die Regeln für Energie und den ganzen Rest richtig heraus ("One rule to ring them all"). Diese Regel ist einfach und beinhaltet nur$\hbar$und nicht$e$oder$\epsilon_0$: Es hat nichts mit der elektromagnetischen Wechselwirkung zu tun, die das Elektron an den Kern bindet, sondern kommt von etwas Grundlegenderem.

Wir verstehen dies (dank der Quantenmechanik) jetzt so, dass es von einer grundlegenden Eigenschaft des Raums herrührt: Wenn Sie ein System um 360 Grad um eine beliebige Achse drehen, müssen Sie zu dem System zurückkehren, mit dem Sie begonnen haben, daher muss jede Winkelabhängigkeit eine ganze Zahl sein ein Bruchteil von$1 \over 2 \pi$, und da der Drehimpuls die konservierte Größe ist, die der Winkelabhängigkeit entspricht, folgt alles - mit einer Falte zur Anpassung an den Eigenspin - sauber.

In der klassischen Physik verliert ein Elektron, das den Kern umkreist, ständig Energie, indem es elektromagnetische Strahlung aussendet, und kollabiert schließlich zum Kern. Aber wenn Sie wie Bohr die Tatsache akzeptieren, dass der Drehimpuls quantisiert ist, dann können Sie sagen, dass eine Änderung des Bahnradius nicht in kleinen Schritten erfolgen kann. Daher muss das Elektron viel Energie abgeben oder gewinnen, damit diese Änderung zustande kommt. Dies ist die Stabilität des Bohrschen Modells.

Historisch gesehen schlug Bohr 1913 ein Modell vor, um die Übergangsspektren von Wasserstoffatomen zu erklären. Die Postulate, die er nahm, waren im Gegensatz zur klassischen Mechanik

1. Diskreter Satz kreisförmiger stabiler Bahnen
2. Diskreter Satz des Bahndrehimpulses
3. Diskreter Satz der Energiewende

Dies sind halbklassische Argumente von Bohr, als er bemerkte, dass Max Planck erfolgreich das Schwarzkörper-Strahlungsspektrum erhielt, indem er postulierte, dass die Energie diskretisiert ist. In der Quantenmechanik sind diskretisierte physikalische Größen jedoch auf natürliche Weise aus Berechnungsergebnissen anstelle von Postulat entstanden.

Kurz gesagt, die Quantenmechanik ist eine probabilistische Theorie, die Welleneigenschaften und Teilcheneigenschaften von Materie in einer vereint, die mathematische Einheit zur Beschreibung des Zustands wird als Wellenfunktion bezeichnet. Ein auffälliges Merkmal ist die Zustandsüberlagerung, zum Beispiel ist eine Katze vor der Messung gleichzeitig lebendig und tot.

In der Quantenmechanik sprechen wir nicht von einer Umlaufbahn, da eine Umlaufbahn im mentalen Bild bedeutet, dass Sie zu jeder Zeit eine Materieposition und einen Impuls bis zu einem bestimmten Betrag kennen. Dennoch gibt die Heisenbergsche Unschärferelation$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$. Aus dieser Ungleichung ergibt sich, dass wenn eine Unsicherheit Null ist, eine andere Unsicherheit unendlich ist. So bricht das mentale Bild zusammen.

Stationäre Umlaufbahnen bedeuten, dass der Übergang von einer Wellenfunktion zur anderen schwierig ist. Nach langwieriger Berechnung des Wasserstoffatoms entspricht jede Wellenfunktion einem anderen Bahndrehimpuls und einer anderen Energie.

In der Quantenmechanik werden immer noch Erhaltungsgesetze befolgt, und Wasserstoff wird nicht von selbst einem spontanen Übergang unterliegen, der durch den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik eingeschränkt ist. Unterschiedliche diskretisierte Energien und Bahndrehimpulse erfordern eine sehr genaue Größe der Störung, die für Übergänge erforderlich ist.

Diese führen zu einer konstanten wahrscheinlichsten Position des zu findenden Teilchens. Klassisch bedeutet das stationäre Umlaufbahn.

Dieses Konzept ist ein direktes Ergebnis des Postulats dieses Drehimpulses$L$eines Elektrons in einer Umlaufbahn ist ein ganzzahliges Vielfaches eines gegebenen Werts und ist gegeben durch:

Zu der Zeit war es ein ziemliches Rätsel, warum dieses Postulat gelten sollte, bis de Broglie seine Hypothese aufstellte (die sich später als wahr herausstellte).

de Broglie stellte in seiner Hypothese im Wesentlichen fest, dass die gesamte Materie von doppelter Natur ist (dh ein Wavevic), die Natur, die sie zeigt, hängt von der Art der Situation ab, in der sie sich befindet. Sie verhält sich wie ein Teilchen, wenn sie mit anderen interagiert Materie kann Energie und/oder Impuls austauschen, während sie sich in Bewegung wie eine Welle verhält, dh ohne Energie- und Impulsaustausch mit anderen Teilchen. Die Wellenlänge einer solchen Materiewelle ist gegeben durch:

Diese Elektronen in einem Atom verhalten sich wie Wellen. In einem Wasserstoffatom gibt es ein einzelnes Elektron, so dass die Berechnungen für seine verschiedenen Eigenschaften viel einfacher werden.

de Broglie argumentierte, dass, wenn ein Elektron um ein Proton in einem Orbit von Radius kreist$r$dann interferiert diese Welle mit sich selbst. Er argumentierte, dass diese Materiewellen nur in jenen Umlaufbahnen überleben werden, in denen sich eine stehende Welle bildet. Das heißt, wenn diese Welle eine Wellenlänge von hätte$\lambda$($= \frac hp$) dann sollte der Bahnradius so sein, dass:

Seit$pr= L$Dies bedeutet, dass:

Erwähnenswert ist hier, dass diese Materiewellen später von Max Born als Wahrscheinlichkeitswellen interpretiert wurden.

Hinweis: Die zur Analyse der Situation verwendete Methode ist halbklassischer Natur und liefert daher kein vollständiges Bild.