Was meint Timäus mit diesem Spruch?

Manchmal hilft es, alternative Übersetzungen zu lesen.

Das Zitat stammt aus Abschnitt 32, (Teil?) VII (Seite 97 des Buches 109 der PDF-Datei) in dieser Kopie von Platons Timaeus, übersetzt von Richard Dacre Archer-Hind , 1888 – der ersten englischen Ausgabe.

„Die beste Verbindung ist diejenige, die sich selbst und die, die sie verbindet, zu einer möglichst vollständigen Einheit macht; und die Natur der Proportion besteht darin, dies am vollkommensten zu erreichen ein mittlerer Begriff, so dass, wie das Erste zur Mitte ist, so die Mitte zum Letzten ist; und umgekehrt, wie das Letzte zur Mitte ist, so ist die Mitte zum Ersten; dann, da die Mitte das Erste und Letzte wird, und der letzte und der erste werden beide zur Mitte, alle werden notwendigerweise gleich, und untereinander gleich werden alle eine Einheit."

Außerdem stammt es aus Abschnitt 32 in diesem Buch von 1937 (Seite 44 - 28 im PDF) von Francis MacDonald Cornford (das meines Erachtens eine bessere Übersetzung sowie einen Kommentar des Autors enthält).

(31 B) Nun muss das, was entsteht, körperlich und damit sichtbar und fühlbar sein; und nichts kann ohne Feuer sichtbar oder ohne etwas Festes greifbar sein, und nichts ist fest ohne Erde. Daher machte sich der Gott, als er begann, den Körper des Universums zusammenzusetzen, daran, ihn aus Feuer und Erde zu machen. Aber zwei Dinge allein können ohne ein Drittes nicht zufriedenstellend vereint werden (31 C); denn es muss ein Band zwischen ihnen geben, das sie zusammenführt. Und von allen Banden ist das beste, was sich und die Begriffe, die es verbindet, im vollsten Sinne zu einer Einheit macht; und es liegt in der Natur einer fortgesetzten geometrischen Proportion, dies am vollkommensten zu bewirken. Denn immer wenn von (32) drei Zahlen die mittlere zwischen zwei beliebigen Körpern (Würfeln?) oder Quadraten so ist, ist es so, wie die erste für sie ist, so ist sie für die letzte und umgekehrt wie für die letzte zur Mitte,

Laut Professor AE Taylor in seinem „Kommentar“ „ist die Formel für die Physik und Physiologie des Dialogs, dass es ein Versuch ist, die empedokleische Biologie auf den Bestand der pythagoräischen Mathematik zu übertragen“ (S. 18). Er fährt fort in seiner Unterscheidung zwischen dem, was Platon selbst dachte, und dem, was die Figur Timäus darstellt,

„Es ist in der Tat die Hauptthese der vorliegenden Interpretation, dass die Lehre des Timäus im Detail genau das ist, was wir von einem italienischen Pythagoreer des 5. ein bewusster Versuch, die pythagoreische Religion und Mathematik mit der empedokleischen Biologie zu verschmelzen.

Was die Bedeutung von Timaeus betrifft, betrachten Sie Thomas Taylors Übersetzung von Proclus in „ Proclus on the Timaeus of Plato “

32a „Denn wenn entweder in drei Zahlen oder Massen oder Kräften, wie die Mitte der ersten, so die letzte der Mitte, und wiederum, wie die letzte der Mitte, so die Mitte der ersten; dann die Mitte wird sowohl die Erste als auch die Letzte, und die Letzte und die Erste werden beide Mitten, so wird es geschehen, dass sie alle notwendigerweise gleich sein werden. Aber wenn sie miteinander gleich werden, werden sie eins sein.

Zunächst ist es erforderlich, das hier Gesagte mathematisch zu erklären; und an nächster Stelle, physisch, als das, was besonders vorgeschlagen wird, bewirkt zu werden. Denn es ist nicht richtig, die Diskussion von ihrer angemessenen Theorie zu trennen. Es gibt daher einige, die glauben, dass Plato in diesen Worten die geometrische Mitte definiert, und unter anderem, was sie behaupten, sagen sie, dass die geometrische Mitte eigentlich alle anderen Analogien ausschließt; aber dass die anderen mit Recht Mitten genannt werden können. Auch Nicomachus ist dieser Meinung, und er spricht mit Recht. Denn geometrische Proportionen sind eigentlich Analogie; aber es ist erforderlich, die anderen Mitten zu nennen, wie Plato auch weiter in der Seelenerzeugung sagt. Aber die anderen werden zu Unrecht Analogien genannt. Für andere scheinen diese jedoch die Bedeutung von Platon nicht richtig verstanden zu haben.

und T. Taylor fährt fort...

Plato geht eindeutig von der geometrischen Mitte aus. Denn es ist die Eigentümlichkeit dieser Proportion, dass der erste zum mittleren das gleiche Verhältnis hat wie der mittlere zum dritten Glied. Da es jedoch drei Mitten gibt, die Arithmetik, die Geometrie und die Harmonik, und diese so sind, wie wir sie gezeigt haben, nimmt Platon diese drei Subjekte, Zahlen, Massen und Potenzen, sehr richtig an. Denn die arithmetische Mitte liegt in Zahlen; das Geometrische ist in größerem Maße mit fortgesetzter [als mit diskreter] Quantität vertraut; und die harmonische Mitte liegt in Potenzen. Denn es ist vertraut mit scharfen und flachen Tönen. Und auf diese Weise können Sie sprechen, indem Sie die Mitten nach ihrem Vorherrschen unterscheiden.

In diesem Abschnitt beschreibt Plato ein wenig Geometrie. Er beschreibt ein Verhältnis unter Verwendung des geometrischen Mittels , wie es für bestimmte Längen „erste“, „mittlere“ und „letzte“ existiert, die wir „f“, „m“ bzw. „l“ nennen werden. Um die Idee zu verstehen, konzentrieren Sie sich auf diesen Teil des Zitats:

"wenn ... der Durchschnitt für den Letzten ist, was der Erste für den Durchschnitt ist und für den Ersten, was der Letzte für den Durchschnitt ist, und wenn der Durchschnitt der Erste und der Letzte wird und der Erste und der Letzte der Durchschnitt werden , es kommt zwangsläufig vor, dass alles gleich ist..."

Dies wird zu einer „Wenn x wahr ist, wenn y dann ist z wahr“-Aussage:

Wenn f/m = m/l gilt

wenn m/m = sqrt(fl)/m = m/sqrt(fl), dann ist m/m = sqrt(fl)/c = m/sqrt(fl) = 1 wahr

Um ein Beispiel zu geben:

sei f = 4, m = 6, l = 9,

wenn 4/6 = 6/9 wahr ist

wenn 6/6 = sqrt(4*9)/4 = 6/sqrt(4*9), dann 46/6 = sqrt(4*9)/6 = 6/sqrt(4*9) = 1

quadrat(4*9) = quadrat(36) = 6

wenn 6/6 = 6/6 = 6/6, dann 6/6 = 6/6 = 6/6 = 1

Die eingeschränkte Betrachtung dieses Zitats im Zusammenhang mit dieser Frage ist eher eine mathematische als eine philosophische Frage, da das Zitat nur eine grundlegende Eigenschaft der Geometrie beschreibt. Im Timäus-Dialog ist dieses Zitat jedoch Teil einer Beschreibung der (klassischen) Elemente . Es wird beschrieben, dass sie auf der kleinsten Ebene aus geometrischen Grundformen zusammengesetzt sind, und Timaeus gibt die mathematische Schönheit ihrer Geometrie weiter. Dieses Konzept ist ein zentraler Gedanke in weiten Teilen der Geschichte der Metaphysik. Es wird sehr oft gesagt, dass er in diesem Zitat den Goldenen Schnitt beschreibe, aber das ist umstritten: siehe diesen Beitrag . In der Antwort erwähnt Will Jagy das Beispiel aus seiner Übersetzung für die Zahlen 2, 4 und 8. In unsere Formel eingesetzt wird es:

Wenn 2/4 = 4/8

wenn 4/4 = sqrt(2*8)/4 = 4/sqrt(2*8) dann 4/4 = sqrt(2*8) = 4/sqrt(2*8) = 1

quadrat(2*8) = quadrat(16) = 4

wenn 4/4 = 4/4 = 4/4 dann 4/4 = 4/4 = 4/4 = 1

Andere Beispiele sind (3, 6, 12), (5, 10, 20), (4, 4, 4) usw. Immer wenn der erste und der Mittelwert und der Mittelwert und der letzte das gleiche Verhältnis haben (f/m = m/l) das wird wahr sein. In einem formelleren Sinne erfüllen alle drei aufeinanderfolgenden Terme in einer geometrischen Folge diese Eigenschaft. Für eine letzte Aussage, die dies zurück zur Ontologie bringt ... hoffentlich versteht es sich von selbst, dass die moderne Physik und Chemie bewiesen haben, dass die klassischen Elemente nicht wirklich Elemente sind und dass Platons geometrische Beschreibung ihrer Atome falsch ist .