Was sagt mir die kanonische Kommutierungsbeziehung (CCR) über die Überlappung zwischen Positions- und Impulsbasen?

I) Hier arbeiten wir im Heisenberg-Bild mit zeitabhängigen selbstadjungierten Operatoren$\hat{Q}(t)$und$\hat{P}(t)$die die kanonische zeitgleiche Kommutierungsrelation erfüllen

$$[\hat{Q}(t),\hat{P}(t)]~=~ i\hbar~{\bf 1}, \tag{1}$$

und zwei vollständige Sätze von momentanen Eigenzuständen$^1$ $\mid q,t \rangle$und$\mid p,t \rangle$, die befriedigen

$$\begin{align} \hat{Q}(t)\mid q,t \rangle ~=~&q\mid q,t \rangle, \cr \hat{P}(t)\mid p,t \rangle ~=~&p\mid p,t \rangle ,\end{align}\tag{2}$$

$$\begin{align}\langle q,t \mid q^{\prime},t \rangle~=~&\delta(q-q^{\prime}), \cr \langle p,t \mid p^{\prime},t \rangle~=~&\delta(p-p^{\prime}),\end{align}\tag{3}$$

$$\begin{align}\int_{\mathbb{R}} \!dq~ \mid q,t \rangle\langle q,t \mid~=~&{\bf 1}, \cr \int_{\mathbb{R}} \!dp~ \mid p,t \rangle\langle p,t \mid~=~&{\bf 1},\end{align} \tag{4}$$

II) Wir möchten argumentieren$^2$dass die gesuchte Überlappung die Form hat

$$\langle p,t \mid q,t \rangle~=~\frac{f(q,t)g(p,t)}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{pq}{i\hbar}\right), \tag{5}$$ wo$f$und$g$sind zwei Phasenfaktoren$|f|=|g|=1$.

Mit anderen Worten, wir können neue momentane Eigenzustände definieren

$$\begin{align} \mid q,t )~:=~&\frac{1}{f(q,t)} \mid q,t \rangle \cr\text{and}& \cr \mid p,t )~:=~&g(p,t) \mid p,t \rangle , \end{align}\tag{6}$$

so dass die Überlappung eine Standardform annimmt

$$( p,t \mid q,t )~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{pq}{i\hbar}\right). \tag{7}$$

Die Quadratwurzeln in Gl. (5) und (7) sind auf Standardnormalisierungsfaktoren in der Fourier-Analyse zurückzuführen.

III) Skizzierter Beweis: Da sich hier alles auf denselben Moment beziehen wird$t$, lassen Sie uns nicht schreiben$t$ab jetzt ausdrücklich. Definieren Sie der Einfachheit halber einen anti-selbstadjungierten Operator

$$\hat{D}~:=~\frac{\hat{P}}{i\hbar}, \tag{8}$$

damit Gl. (1) wird

$$[\hat{Q},\hat{D}]~=~ {\bf 1} , \tag{9}$$

oder

$$[\hat{Q},e^{a\hat{D}}]~=~ae^{a\hat{D}} , \tag{10}$$

wo$a$ist eine reelle Zahl. Aus (10) folgt, dass der Staat$e^{a\hat{D}}\mid q \rangle$muss proportional sein$\mid q+a \rangle$, dh es existiert eine Funktion$f(q,q+a)$von zwei Argumenten so dass

$$e^{a\hat{D}}\mid q \rangle ~=~f(q,q+a)\mid q+a \rangle.\tag{11}$$

Seit$e^{a\hat{D}}$ist ein unitärer Operator, die Funktion$f(q,q+a)$muss ein Phasenfaktor sein$|f(q,q+a)|=1$. Oder man kann das verwenden

$$\begin{align}\delta(q-q^{\prime})~\stackrel{(3)}{=}~& \langle q \mid e^{-a\hat{D}}e^{a\hat{D}}\mid q^{\prime} \rangle \cr ~\stackrel{(11)}{=}~&\overline{f(q,q+a)}f(q^{\prime},q^{\prime}+a) \langle q+a \mid q^{\prime}+a \rangle \cr ~\stackrel{(3)}{=}~& |f(q,q+a)|^2\delta(q-q^{\prime}). \end{align}\tag{12}$$

Aus der Tatsache, dass

$$e^{a\hat{D}} e^{b\hat{D}}~=~ e^{(a+b)\hat{D}},\tag{13}$$

wir folgern aus der wiederholten Verwendung von Gl. (11) das

$$f(q,q+b)f(q+b,q+a+b)~=~f(q,q+a+b). \tag{14}$$

Einstellung$q=0$in Gl. (14) ergibt

$$\begin{align} f(b,a+b)~=~&\frac{f(0,a+b)}{f(0,b)} \cr \Updownarrow~& \cr f(q,q+a)~=~&\frac{f(0,q+a)}{f(0,q)}. \end{align}\tag{15}$$

Lassen Sie uns daher definieren

$$\mid q ) ~:=~f(0,q) \mid q \rangle , \tag{16}$$

damit Gl. (11) wird

$$e^{a\hat{D}}\mid q ) ~\stackrel{(11,15,16)}{=}~\mid q+a ).\tag{17}$$

Mit anderen Worten, wir können identifizieren$^3$der Betreiber$\hat{D}$mit dem Differenzierungsoperator$\frac{\partial}{\partial q}$.

$$\begin{align} \exp\left(\frac{ap}{i\hbar}\right)\langle p \mid q) ~\stackrel{(8)}{=}~& \langle p \mid e^{a\hat{D}}\mid q )\cr ~\stackrel{(17)}{=}~& \langle p \mid q+a ),\end{align}\tag{18}$$

oder im Grenzbereich$a\to 0$,

$$\begin{align} \frac{p}{i\hbar}\langle p \mid q) ~=~& \langle p \mid \hat{D}\mid q )\cr ~=~& \langle p \mid \frac{\partial}{\partial q} \mid q )\cr ~=~&\frac{\partial}{\partial q} \langle p \mid q ).\end{align}\tag{19}$$

Von der ODE (19) in$q$, das leiten wir ab

$$\langle p \mid q) ~=~g(p)\exp\left(\frac{pq}{i\hbar}\right), \tag{20}$$

wo$g(p)$ist eine Integrationskonstante, die vom Parameter abhängen kann$p$. Es ist nicht schwer, das zu sehen

$$|g(p)|~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}.\tag{21}$$

Verwenden Sie zB das

$$\begin{align} \delta(p-p^{\prime})~\stackrel{(3,4)}{=}~& \int_{\mathbb{R}} \!dq~ \langle p \mid q)(q \mid p^{\prime} \rangle\cr ~\stackrel{(20)}{=}~&\overline{g(p)}g(p^{\prime}) \int_{\mathbb{R}} \!dq~\exp\left(\frac{(p-p^{\prime})q}{i\hbar}\right)\cr ~=~~&2\pi\hbar|g(p)|^2\delta(p-p^{\prime}). \end{align}\tag{22}$$

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$^1$Momentane Eigenzustände werden in Lehrbüchern der Quantenmechanik oft eingeführt, um im einfachsten Fall den Pfad-Integral-Formalismus aus dem Operator-Formalismus abzuleiten, siehe zB JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Abschnitt 2.5. Beachten Sie, dass die momentanen Eigenzustände$\mid q,t \rangle$und$\mid p,t \rangle$sind zeitunabhängige Zustände (wie sie im Heisenberg-Bild sein sollten).

$^2$Hier werden wir nur auf der physikalischen Ebene der Strenge arbeiten und verschiedene mathematische Feinheiten im Zusammenhang mit unbegrenzten Operatoren ignorieren . Außerdem ignorieren wir alle topologischen Aspekte des kanonischen Phasenraums, wie zB die Position$q$wäre eine periodische Variable.

$^3$Notiere dass der$q$-Darstellung des Impulsoperators$\hat{P}=i\hbar\frac{\partial}{\partial q}$auf Kets hat das entgegengesetzte Vorzeichen von dem, was es auf BHs und Wellenfunktionen hat, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Diese Dinge reichen sicherlich nicht aus, um das innere Produkt zu finden$\langle q|p\rangle$einzigartig. Beginnen Sie zum Beispiel mit dem Konventionellen$Q,P$, können Sie sie durch eine kanonische Transformation neu definieren, zum Beispiel durch

$$Q\to Q'=Q, \quad P\to P'= P + Q^3$$ Dann $P', Q'$befolgen Sie alle vier Bedingungen auf die gleiche Weise wie $P,Q$. Sie haben auch Eigenzustände und $|p'\rangle$Zustände sind etwas anderes als $|p\rangle$. Tatsächlich Eigenzustände mit einem großen Eigenwert $P'$sind in der Nähe $Q$Eigenzustände weil $Q^3$leicht dominiert. Das Skalarprodukt – das ist nichts anderes als die Wellenfunktion der $P'$Eigenzustand in geschrieben $Q$Darstellung – wird am Ende anders sein. Es wird eine komplizierte Lösung der Gleichung für sein $\psi$sagen, dass es ein ist $P+Q^3$Eigenzustand.

Die Bedingungen, die Sie geschrieben haben, können Ihnen das nur sagen

$$\langle q | PQ | p \rangle = \langle q | QP | p \rangle - i\hbar \langle q | p \rangle = (qp - i\hbar )\langle q | p \rangle$$ Sie reichen also nur aus, um zu sagen, wie $Q$wirkt auf die $p$Eigenzustände und umgekehrt, in dieser Kombination. Aber das innere Produkt selbst ist in keiner Weise mit sich selbst verwandt, also kann es nicht bestimmt werden.

Lassen Sie mich das erwähnen, auch wenn Sie zusätzliche Bedingungen auferlegt haben, die dies besagen würden$P$und$Q$physikalisch so sind, wie sie sein sollten – zB dass sie unter der Skalierung richtig skalieren$Q,P$– das Skalarprodukt wäre noch unbestimmt, weil zumindest die Phase der$|p\rangle$und$|q\rangle$Eigenzustände ist beliebig. Tatsächlich ist sogar der "Absolutwertteil der" Normalisierung eine Frage von Konventionen, die modifiziert werden könnten.

Allgemeiner gesagt, und ich würde sagen, dass dieser Punkt oft übersehen wird, sind viele Eigenschaften von "Wellenfunktionen", die Ihren inneren Produkten ähnlich sind, intermediäre, konventions- und darstellungsabhängige Größen, die keine direkte physikalische Auswirkung haben (dh direkte Verbindung mit beobachtbare Größen). Es sind wirklich die Eigenschaften von Observablen wie die vier Bedingungen, die Sie beschrieben haben, die als objektive Tatsachen angesehen werden können.