Was sind die elektromagnetischen Felder eines Photons?

Die kurze Antwort ist$\vec E=\vec B=0$. So seltsam es auch klingen mag, dies ist nur eine der zahlreichen kontraintuitiven Tatsachen des Quantenreichs. Aber lassen Sie mich zunächst versuchen, den Kontext zu klären, in dem diese Gleichheiten interpretiert werden sollten, ohne auf mathematische Details einzugehen.

Vielleicht ist eine der einfachsten Möglichkeiten, sich der Quantennatur des elektromagnetischen Feldes im Vakuum anzunähern, das Feld in einem perfekt leitenden Hohlraum zu untersuchen.

Klassischerweise unterstützt ein solcher Hohlraum verschiedene, zählbar unendliche Moden, jede mit ihrer eigenen spezifischen Frequenz und ihrem eigenen räumlichen Profil. Das jedem Modus zugeordnete elektromagnetische Feld wird vollständig durch die Form des Hohlraums definiert, bis zu einer Multiplikationskonstante, die die in jedem Modus enthaltene Energie darstellt.

Beim Quantenfeld-Ansatz werden die Werte der Energie, die jeder Modus enthält, quantisiert und gleich beabstandet, wie durch den Ausdruck angegeben

$$E = \hbar\omega (n+1),$$ mit $n$gleich dem "Erregungsgrad" oder der Anzahl von Photonen jeder Mode ist.

Die Anzahl der Photonen ist eine beobachtbare physikalische Größe, die sich auf den Operator bezieht$\hat{N}$, aber in der Quantenoptik sowie in der Einteilchen-Quantenmechanik kommutieren nicht alle Operatoren aller beobachtbaren Größen. Insbesondere$\hat{N}$pendelt nicht mit$\hat{\mathbf{E}}$Und$\hat{\mathbf{B}}$, die Operatoren des elektrischen bzw. magnetischen Feldes. Mit anderen Worten, man kann die Anzahl der Photonen und den Wert des elektrischen Feldes nicht gleichzeitig kennen.

Wenn sich der Hohlraum in einem Eigenzustand von befindet$\hat{N}$, der üblicherweise Zahlenzustand oder Fock-Zustand genannt wird, ist der Erwartungswert des elektrischen Feldoperators und des magnetischen Feldoperators gleich Null. Das sagt der Ausdruck am Anfang aus. Andererseits sind die Schwankungen proportional zu den klassischen Werten des Feldes und nehmen mit steigender Photonenzahl zu.

Zustände, in denen der Erwartungswert des elektrischen Felds seinen klassischen Wert annimmt, werden als kohärente Zustände bezeichnet und gelten als diejenigen, die dem klassischen Licht am nächsten kommen. In solchen Zuständen ist die genaue Zahl der Photonen nicht bekannt.

Um meine anfängliche Aussage umzuformulieren, es ist unmöglich, einem Photon irgendeinen Feldwert zuzuordnen, außer im Sinne des Erwartungswerts in einem 1-Photonenzahl-Zustand, wo er immer gleich Null ist.

Licht, das klassische elektromagnetische Feld, wird aus einer Vielzahl von Photonen aufgebaut/entsteht nicht auf einfache Weise.

Photonen sind Elementarteilchen und können daher nur in einem quantenmechanischen Rahmen beschrieben werden. Sie haben eine Wellenfunktion, die der potentiellen Form der Maxwellschen Gleichungen gehorcht, die in Operatoren umgewandelt werden, die auf der Photonenwellenfunktion arbeiten. In diesem Link wird ein Weg aufgezeigt, wie die klassische Welle aus dem Quantenzustand hervorgeht. Handschwenkend mein Verständnis davon: Ein Photon hat zusätzlich zu seinem Spin Informationen, die mit A, dem elektromagnetischen Potential, verbunden sind, welche Informationen das entsprechende Potential der klassischen Welle und damit die makroskopisch beobachteten elektrischen und magnetischen Felder des Lichts aufbauen.

Es existiert auch dieser Vorabdruck .

Eigenschaften von sechskomponentigen elektromagnetischen Feldlösungen einer Matrixform der Maxwell-Gleichungen, analog zu den vierkomponentigen Lösungen der Dirac-Gleichung, werden beschrieben. Es wird gezeigt, dass die Sechs-Komponenten-Gleichung, einschließlich Quellen, unter Lorentz-Transformationen invariant ist. Vollständige Sätze von Eigenfunktionen des Hamiltonoperators für die elektromagnetischen Felder, die als Photonenwellenfunktionen interpretiert werden können, sind sowohl für ebene Wellen als auch für Drehimpuls-Eigenzustände angegeben

In diesem Vorabdruck gibt es explizit ein E- und B-Feld im Ausdruck der Photonen-Wellenfunktion. (Man sollte immer bedenken, dass das Quadrat der Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt).

Die Antwort ist: Sie können nicht fragen. Das heißt, die Frage ist im quantenmechanischen Sinne kontrafaktisch.

In der Quantenelektrodynamik besteht Ihr Ziel darin, den Elektromagnetismus in die gleiche Art von Quantenmechanik einzubeziehen, mit der Sie Dinge wie die Bewegung eines Elektrons um das Atom herum oder ein Teilchen, das in einem Doppelspaltexperiment einer Beugung unterzogen wird, verwenden. In der Quantenmechanik nehmen Sie die interessierende dynamische Größe (z. B. die Position eines Elektrons um ein Atom) und bauen Wellenfunktionen auf dieser dynamischen Größe auf:

$$\begin{array}{c} \text{classical mechanics}\\ x(t) \end{array} \ \mapsto\ \begin{array}{c} \text{quantum mechanics}\\ \psi(x,t) \end{array}$$ Das bedeutet, dass man nicht mehr über „den“ Wert des Teilchens sprechen kann; stattdessen, wenn Sie sich entscheiden, die Position des Partikels auf einmal zu messen $t$, dann können Sie über die Verteilung möglicher Werte und deren Wahrscheinlichkeiten sprechen (gegeben durch $|\psi(x,t)|^2$), sowie Dinge wie den Durchschnittswert, die Breite der Verteilung und so weiter.

In der Quantenelektrodynamik sind Ihre interessierenden Variablen im Wesentlichen die elektrischen Feldamplituden*$E(t)$, also machen Sie dasselbe: Sie schalten die "Wertigkeit" dieser dynamischen Variablen aus und ändern sie in eine Wellenfunktion:

$$\begin{array}{c} \text{classical electrodynamics}\\ E(t) \end{array} \ \mapsto\ \begin{array}{c} \text{quantum electrodynamics}\\ \psi(E,t) \end{array}$$ Das bedeutet also, dass man nicht mehr von „dem“ Wert des elektrischen Feldes sprechen kann; es ist zu einem Operator geworden und hat keinen Wert mehr. Stattdessen haben Sie eine gewisse Verteilung.

Unter Berücksichtigung einiger vernünftiger Annahmen sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Amplitude einer bestimmten Mode (z. B. einer Wander- oder Stehwelle) in einem Ein-Photonen-Zustand mehr oder weniger so aus:

In diesem Zustand haben Sie eine ziemlich gute Vorstellung vom Wert des Quadrats der Amplitude, aber vor allem haben Sie keine Informationen über die Phase der Schwingungen des Knotens. Dies bedeutet unter anderem, dass der Mittelwert des Feldes aus diesem Modus an jedem gegebenen Punkt null sein wird.

Es gibt viele zusätzliche Feinheiten, aber dies ist ein vernünftiger Ausgangspunkt.

---

^{Dies verbirgt offensichtlich viele Nuancen, aber das Wesentliche steht. In Wirklichkeit sind Ihre dynamischen Variablen die Amplituden bestimmter Modi, dh$E(t)$ist die Amplitude einer stehenden oder wandernden Welle. Es gibt auch Probleme im Umgang mit Messgeräten und so weiter, aber wenn Sie das alles erledigt haben, sieht es immer noch ziemlich gleich aus.}

^{Mathematica-Code für das Bild durch Import["http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m"]["http://i.stack.imgur.com/334QY.png"].}

Wie Sie bereits bemerkt haben, sind Photonen nicht physikalisch - da sie unendlichen Wellenzuglösungen entsprechen.

Wenn sich die meisten Menschen auf Photonen beziehen, beziehen sie sich wahrscheinlich auf diese Blips, die einzeln auf einen Detektorschirm treffen. Ich bin mir nicht sicher, was das eigentlich ist, da sie nicht unendlich scharf sind, sondern Schlierenmuster haben - wie Gaußsche Schlieren.

Was Sie verlangen – und was besser dem entspricht, was Sie auf einem Detektorbildschirm sehen – ist etwas Lokaleres. Diese werden besser mit Hilfe von kohärenten Zuständen beschrieben.

In der Quantenfeldtheorie sind die Komponenten des elektromagnetischen Felds eher q-Zahlen als c-Zahlen: Sie pendeln nicht alle miteinander und ihre Kommutatoren sind tatsächlich singulär, wenn sie nicht Null sind (dh Delta-Funktionen), wie dies der Fall ist Fall im Allgemeinen mit Feldern. Die Erwartungswerte dieser q-Zahlen sind in jedem Zustand aufgrund von Erhaltungssätzen Null, sodass sie nur Quantenfluktuationen darstellen können (dh die Erwartungswerte quadratischer Kombinationen der Feldkomponenten sind im Allgemeinen von Null verschieden). Die tatsächlichen q-Zahlen sind lineare Kombinationen (tatsächlich Integrale) der Vernichtungsoperatoren, ein Satz für jeden Wellenzahl-3-Vektor.

Im Gegensatz dazu sind kohärente Zustände Eigenzustände der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und liefern vernünftigere Ergebnisse, wenn man ihre Erwartungswerte nimmt. Hier ist eine Referenz, die dies ausführlicher erörtert und eine Zerlegung des q-Nummernfelds zeigt (aus dem der Erwartungswert in einem kohärenten Zustand direkt abgelesen werden kann):

SJ van Enk, „Kohärente Zustände, Strahlteiler und Photonen“ (Lecture Notes)
https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/NotesBS.pdf

Als Übung möchten Sie vielleicht die elektromagnetischen Feldkomponenten wie in Teil 7 der Referenz aufschreiben und sie auf einen kohärenten Zustand anwenden (wie die in Teil 6 beschriebenen) und bestimmen, ob er die Maxwell-Gleichungen im Vakuum erfüllt oder nicht. Das Ergebnis sollte dasselbe sein wie die Modenerweiterung für das elektromagnetische Feld, wobei die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren durch funktionskonjugierte Funktionspaare ersetzt werden.

Dies ist immer noch ein unendlicher Wellenzug, aber Sie können kohärente Zustände überlagern, um räumlich lokalisierte Wellenpakete zu erhalten (z. B. Gaußsche Wellenpakete). Dann stellt sich das Problem der zeitlichen Streuung.

Eine weitere Referenz, die zwei photonenkohärente Zustände diskutiert, ist:

Horace P. Yuen, „Zwei-Photonen-kohärente Zustände des Strahlungsfelds“, Physical Review A, Band 13, Nummer 6, Juni 1976
https://journals.aps.org/pra/pdf/10.1103/PhysRevA.13.2226

die offenbar zum Zeitpunkt des Schreibens frei zugänglich ist.

Der Wikipedia-Artikel über kohärente Zustände:

https://en.wikipedia.org/wiki/Coherent_state

veranschaulicht sowohl das elektrische Feld eines gegebenen kohärenten Zustands als auch seine Quantenfluktuation bei unterschiedlichen Photonenzahlen. Die Quantenfluktuation für das Gesamtfeld - im Verhältnis zum Feld selbst - nimmt erwartungsgemäß mit zunehmender Photonenzahl ab; und das Feld ähnelt immer mehr dem klassisch gegebenen Wellenzug.

Es gibt ein Folklore-Ergebnis, das behauptet, dass "Photonen nicht lokalisiert werden können". In Wirklichkeit fällt das tatsächliche Ergebnis in die gleiche Kategorie wie die Aussage "die Sphäre kann nicht einheitlich koordiniert werden". In der symplektischen Geometrie, sowohl in der klassischen Physik als auch in quantisierter Form, existieren Ortsoperatoren für Photonen mit geringer Einschränkung. Die symplektische Geometrie für Photonen fällt unter die Kategorie der sogenannten "helikalen Luxonen"; dh Luxonen, deren Drehimpuls auf einer zu ihrem Impuls parallelen Achse liegen, wobei ihre Helizität eine Invariante ist.

Der Satz von Darboux stellt sicher, dass alle symplektischen Geometrien lokal in einem Satz konjugierter (p,q)-Koordinatenpaare dargestellt werden können. Wie Spin-0-Luxonen (und auch Spin-0-Tardionen und sogar Spin-0-Tachyonen) können sie durch 3 Koordinatenpaare dargestellt werden – was im Gegensatz zu den Spin-Nicht-Null-Tardionen steht, die 4 haben (die 4., die, wenn sie quantisiert wird, entspricht die m-Koordinate in der üblichen Darstellung des Drehimpulses). Ein Positionsoperator für spiralförmige Luxonen beinhaltet 3 Sätze komplementärer Koordinatenpaare, die den größten Teil – aber nicht die gesamte – der zugrunde liegenden symplektischen Geometrie abdecken und – wenn sie quantisiert werden – dieselben Heisenberg-Beziehungen erfüllen wie Teilchenkoordinaten. Die Situation ist analog dazu, wie der magnetische Monopol koordiniert ist (was in Abschnitt 8.2 „Magnetic Monopoles“ in LNP 188 „beschrieben ist.

Ein Beispiel für die Verwendung des Positionsoperators ist:

Hawton, Margaret; Baylis, William E. "Winkelimpuls und das geometrische Messgerät lokalisierter Photonenzustände" https://www.osti.gov/biblio/20650498-angular-momentum-geometrical-gauge-localized-photon-states

Insgesamt scheint das Thema Photonenlokalisierung in der Literatur ein reges Diskussionsthema zu sein, aber es ist für mich genauso neu wie für Sie. Eine kurze Suche bringt zum Beispiel Folgendes zutage:

Ayman F. Abouraddy, Giovanni Di Giuseppe, Demetrios N. Christodoulides und Bahaa EA Saleh
„Anderson Lokalisierung und Kolokalisierung räumlich verschränkter Photonen“
Rapid Communications, Physical Review A 86, 040302(R) (2012)

während die Anderson-Lokalisierung hier ausführlicher besprochen wird:

https://en.wikipedia.org/wiki/Anderson_localization

Darüber hinaus und zu der allgemeineren Frage der Lokalisierung kann ich nicht viel sagen.