Was sind die Voraussetzungen für das Studium der Allgemeinen Relativitätstheorie? [abgeschlossen]

Die erste allgemeine Relativitätstheorie wird normalerweise im 4. Jahr des Grundstudiums oder manchmal sogar im Grundstudium gelehrt, was natürlich eine gute Grundausbildung in Mathematik und Physik voraussetzt. Ich persönlich bin eher der Meinung, dass man erst andere Physik lernen sollte, bevor man sich mit der Allgemeinen Relativitätstheorie beschäftigt. Ein solider Hintergrund in klassischer Mechanik mit zumindest Kontakt zu Hamilton-, Lagrange- und Aktionsprinzipien. Ein Kurs in Elektromagnetismus (auf dem Niveau von Griffiths) ist meiner Meinung nach auch eine gute Sache.

Mathematisch denke ich, dass die Voraussetzungen etwas höher sind, und da die Frage nach mathematischen Details fragt, werde ich mich darauf konzentrieren. Ich habe die Relativitätstheorie von einem sehr auf Differentialgeometrie ausgerichteten Standpunkt aus gelernt (ich wurde von einem Mathematiker unterrichtet) und ich fand, dass mein Verständnis der Differentialgeometrie sehr hilfreich für das Verständnis der Physik war. Ich war noch nie ein Fan von Hartles Buch, dem meiner Meinung nach die mathematischen Details sehr fehlen, das aber gut für die physikalische Intuition ist. Nachdem ich jedoch einige Zeit in der Relativitätstheorie gearbeitet habe, denke ich, dass es besser ist, von einem mathematischeren Standpunkt aus zu unterrichten, damit Sie die Konzepte auf höherer Ebene leicht aufgreifen können.

Außerdem denke ich, dass Sie wirklich verstehen müssen, was mathematisch vor sich geht, um zu verstehen, warum wir Dinge so konstruieren müssen, wie wir es tun. Ich muss Nibot hier widersprechen und sagen, dass Sie mehr brauchen als nur lineare Algebra und College-Kalkül. Analysis Sie müssen mindestens bis zur Vektorrechnung gesehen haben und damit vertraut sein. Lineare Algebra ist etwas, das Sie sehr gut verstehen sollten, wenn man bedenkt, dass wir es mit Vektoren zu tun haben. Ein guter Kurs in abstrakterer Algebra, der sich mit Vektorräumen, inneren Produkten/Orthogonalität und dergleichen befasst, ist ein Muss. Meines Wissens nach wird dies normalerweise im zweiten Jahr des Kurses über lineare Algebra gelehrt und wird normalerweise aus den Kursen des ersten Jahres herausgehalten.

Ich denke nicht, dass ein Kurs in Analysis erforderlich ist, aber da es bei der Frage eher um den mathematischen Aspekt geht, würde ich sagen, dass ein Kurs in Analysis bis zu topologischen Räumen ein großes Plus ist. Auf diese Weise könnten Sie, wenn Sie neugierig auf die eher mathematische Natur von Mannigfaltigkeiten sind, ein Buch wie Lee in die Hand nehmen und zu den Rennen aufbrechen. Wenn Sie irgendetwas auf einem höheren Niveau studieren wollen, sagt Wald, dann ist ein Kurs in Analysis mit topologischen Räumen ein Muss. Man könnte damit durchkommen, aber ich denke, es ist besser, es am Ende des Tages zu haben.

Ich würde auch sagen, dass ein guter Kurs in klassischer Differentialgeometrie (2- und 3-dimensionale Dinge) eine gute Voraussetzung ist, um eine geometrische Vorstellung davon zu entwickeln, was vor sich geht, obwohl die Methoden, die in diesen Kurstypen verwendet werden, nicht verallgemeinern.

Natürlich gibt es auch die ganze Menge über mathematische Reife. Es ist eine komische Sache, die unmöglich zu quantifizieren ist. Obwohl ich den richtigen mathematischen Hintergrund hatte, verstand ich nicht sofort die ganze Idee, einen Tangentialraum an jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einzuführen, und wie$\{\partial_{i}\}$bilden eine Basis für diesen Vektorraum. Ich habe etwas länger gebraucht, um das herauszufinden.

Sie können all dies jederzeit überspringen und nur mit der klassischen Indexgymnastik der Physiker davonkommen (Tensoren sind Dinge, die sich auf diese bestimmte Weise umwandeln), aber ich denke, wenn Sie ein ernsthafter Student der Relativitätstheorie sein wollen, würden Sie den mathematischeren Standpunkt lernen.

EDIT: Auf Anregung von jdm ist auch ein Kurs in klassischer Feldtheorie gut. Es gibt ein nettes kleines Dover-Buch mit dem passenden Titel Classical Field Theory , das ganz am Ende zur allgemeinen Relativitätstheorie kommt. Allerdings habe ich nie einen Kurs belegt und ich glaube, viele Universitäten bieten ihn leider sowieso nicht an. Auch eine gute Einführung, wenn Sie die Quantenfeldtheorie lernen möchten.

Einige Antworten hier sind nah an "Machen Sie ein Mathematikstudium, dann ein Physikstudium". Ich denke, das ist nicht das, was Sie erwartet haben. Das Lernen all dieser Fächer ist während des Studiums faktisch und natürlich, aber der Versuch, sich all dieses Wissen alleine in Ihrer Freizeit anzueignen, ohne Professoren, ohne Unterricht, ohne Prüfungsdruck an bestimmten Terminen ... das ist fast unmöglich.

Trotzdem glaube ich, genau zu verstehen, was Sie wollen, denn ich hatte die gleiche Frage einmal. Ich bin Physiker, habe aber nach meinem Studium gemerkt, dass mein Verständnis von GR aus mathematischer Sicht nur oberflächlich war. Also habe ich zu dieser Frage recherchiert und schließlich eine „Schritt für Schritt“-Bibliographie entworfen, die ich in meiner Freizeit immer noch verfolge. Hier hast du es:

1) Beginnen Sie mit der alten Ausgabe des kleinen Schaum-Buches 'Vector Calculus' von Murray M. Spiegel. Es beginnt mit der sehr grundlegenden Definition von Vektoren aus der High School und endet mit Christoffel-Symbolen und Geodäten. Jedes Kapitel enthält eine minimalistische Beschreibung der Grundlagen, gefolgt von gelösten Übungen. Lesen Sie nur den beschreibenden Teil der Kapitel 1 bis 6 (die ersten 3 oder 4 Kapitel werden Ihnen sicherlich vollständig bekannt sein, aber es ist gut, sie aufzufrischen), und bearbeiten Sie dann die vollständigen Kapitel 7 (krummlinige Koordinaten) und 8 (Tensorrechnung). ), meine ich: auch die Kapitel 7 und 8 mit den gelösten Aufgaben studieren.

Bearbeiten Sie speziell ALLE gelösten und ungelösten Aufgaben aus Kapitel 8.

Das kann keine Wunder wirken (dh es kann kein komplettes Mathematikstudium ersetzen), aber es wird Ihnen in kürzester Zeit sehr nützliche grundlegende mathematische Werkzeuge an die Hand geben. Wenn Sie eine partielle Ableitung durchführen können, aber nicht wissen, was "die Christoffel-Symbole in sphärischen orthogonalen Koordinaten ableiten" bedeutet, ist dies das Buch, mit dem Sie beginnen müssen.

2) Studieren Sie nach dem Schaum das Buch „The Meaning of Relativity“ (1922) von Einstein. Es ist ein Buch, das auf einer Reihe von Vorlesungen basiert, die er 1921 in Princeton hielt, mit fortschreitenden Erklärungen von der Tensorrechnung bis zur Friedman-Kosmologie, einschließlich der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie. Es soll in der Mathematik selbsterklärend sein, wird aber viel mehr Bedeutung für Sie haben, wenn Sie zuerst das Schaum-Buch ausgearbeitet haben. Es wird auch einige kurze Blicke auf Wikipedia erfordern, wenn Ihr Hintergrund in Physik nicht gut ist (dh die Poisson-Gleichung oder Maxwell-Gleichungen und ihre Bedeutung, wenn Sie ihnen begegnen), aber nichts Schwieriges. Das einzige Problem mit diesem Buch ist manchmal die altmodische Notation oder ab und zu einige Details, die Sie erraten müssen (z. er nimmt c = 1 für die spezielle Relativitätstheorie an und es kann sehr verwirrend sein, wenn Sie es nicht bemerkt haben). Aber es ist sehr anregend, von Einstein selbst zu lernen, und die modernen Bücher sind im Allgemeinen entweder zu grundlegend oder zu voreingenommen in eine Richtung.

3) Nachdem ich die Punkte 1 und 2 bearbeitet habe, bin ich jetzt dazu gesprungen, die Kapitel 1 bis 6 aus dem Buch "Allgemeine Relativitätstheorie" von Wald zu lernen, einschließlich der Aufgaben (das ist sehr wichtig), die irgendwo im Internet gelöst sind (google danach ). Dies ist jedoch ein ziemlich hartes Buch, und ich bereue es manchmal, nicht zuerst einen anderen Text verwendet zu haben. Ich empfehle Ihnen daher, hier das Buch "Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity" von Sean Carroll zur Hand zu nehmen. Es ist nicht so schwer wie Wald, aber streng und gut erklärt, und die Auswahl der Themen ist sehr interessant.

Ein weiterer recht direkter Ansatz, um die Relativitätstheorie von Anfang an zu lernen, könnte das Buch „A First Course in General Relativity“ von Schutz sein. Dieses Buch ist in seiner Art einzigartig, weil es einen geometrischen, rigorosen, aber dennoch progressiven und einfachen Zugang zur Allgemeinen Relativitätstheorie und ihrer mathematischen Maschinerie entwickelt, wobei angenommen wird, dass der Zielleser am Anfang kaum weiß, wie man eine partielle Ableitung durchführt, und kaum mehr. Es enthält viele Übungen, deren detaillierte Lösungen im Internet leicht zu finden sind. Die allerletzten Kapitel über Schwarze Löcher und Kosmologie sind nur einführend, aber wenn Sie sie erreichen, sind Sie in einer guten Position, um ehrgeizigere Projekte zu starten (Carroll, Weinberg usw.). Tatsächlich denke ich ernsthaft darüber nach, Wald für den Moment aufzugeben, und komme auf dieses Buch zurück, das ich teilweise in meinem Studium verwendet habe, und erarbeite es von Anfang an. Ich bin sicher, Roger Penrose hält Wald in einer Hand und liest morgens zerstreut, während er seine Cornflakes isst, wie Sie und ich es mit einer Zeitung tun, aber für mich ist es immer noch zu abstrakt ...

Das Fach ist überraschend in sich geschlossen, vielleicht vor allem deshalb, weil Physiker in der Regel gleichzeitig die physikalische Theorie und die dazugehörige Mathematik lernen. Ich würde sagen, die Hauptvoraussetzung ist ein wenig "mathematische Reife" und körperliche Intuition. Jede Auseinandersetzung mit Differentialgeometrie und abstrakter Mathematik kann nur helfen. Ein Kurs in analytischer klassischer Mechanik würde Sie in die richtige Denkweise versetzen.

Wenn Sie Mathematik und lineare Algebra studiert haben und ein gewisses Verständnis für die spezielle Relativitätstheorie haben, dann schlage ich vor, dass Sie gleich loslegen und Fragen stellen, wenn Sie auf Schwierigkeiten stoßen.

Colins ausgezeichnete Antwort ist genau richtig, wenn es darum geht, einen gründlicheren Hintergrund zu beschreiben. Seien Sie einfach nicht zu schüchtern, um sofort in Sean Carrolls Notizen zu stöbern und zu sehen, wie viel Sie verstehen und wie viel Sie wiederholen müssen.

Kann ich diese Reihe von Videos von der Stanford University empfehlen, wie sie von Leonard Susskind gegeben wurden?

Sehr gründlich und sehr hilfreich für mich im Sommer, bevor ich den Kurs belegte.

Stanford Uni GR-Kurs

Es würde auch nicht schaden, sich einige Nicht-GR-Kosmologiekurse anzusehen, diese werden einige der physikalischen Phänomene abdecken, für deren vollständige Beschreibung GR notwendig ist

Ich habe den größten Teil des ersten Kurses von Schutz direkt nach der High School und vor der Universität gelesen. http://www.amazon.com/First-Course-General-Relativity/dp/0521277035 Ich hatte Abitur in Mathematik und Physik gemacht (Standard für 18-Jährige in Großbritannien, die an der Universität Mathematik studieren wollen). Es erfordert das Verständnis, was eine partielle Ableitung ist, und grundlegende lineare Algebra sowie einen Mangel an Angst. Es hat geholfen, dass ich zuvor viel Popwissenschaft über spezielle Relativitätstheorie gelesen hatte, aber es beginnt mit einer Ableitung von SR, wodurch das Buch ziemlich eigenständig wird.

Für die spezielle Relativitätstheorie ist nicht viel Mathematik erforderlich. Hier ist es einer der ersten Kurse im Bachelor-Curriculum. Etwas lineare Algebra könnte nützlich sein, ist aber nicht unbedingt notwendig. Es hängt ein wenig von dem Text ab, den Sie verwenden werden.

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist erheblich schwieriger und erfordert einen stärkeren Hintergrund in Mathematik, insbesondere in Differentialgeometrie. Es hängt von Ihren eigenen Vorlieben ab, ob Sie es im Physiker-Stil (dh alles in lokalen Koordinaten und mit Tensor-Indizes) oder Mathematik (koordinatenfrei) studieren möchten. Ein gutes Buch über die allgemeine Relativitätstheorie würde die notwendige Mathematik einführen. Ich mochte Walds Allgemeine Relativitätstheorie, aber mit Ihrem Hintergrund ist es meiner Meinung nach nicht sehr geeignet. Ein gutes Verständnis des mehrdimensionalen Kalküls ist sicherlich eine Voraussetzung.

Bearbeiten: Dies war eine Antwort auf eine Frage, die mit dieser zusammengeführt wurde.

Abgesehen von den Feynman-Vorlesungen ist mein Favorit Discovering Relativity for yourself von Sam Lilley. Er verbrachte viele Jahre damit, Relativitätstheorie in Abendkursen für Studenten wie Hausfrauen und Handwerker zu unterrichten, die wenig Hintergrundwissen, aber starke Entschlossenheit hatten. Er geht in sehr bescheidenen Schritten von der speziellen Relativitätstheorie zur allgemeinen Relativitätstheorie und achtet sorgfältig darauf, dass die Menschen nicht zurückgelassen werden. Er beginnt mit sehr wenig Mathe und führt vorsichtig in die Mathematik ein, bis er am Ende ziemlich mathematisch ist, aber er hat alle mitgebracht, damit sie es verstehen. Bei jedem Schritt macht er es intuitiv und interessant, insbesondere durch die Verwendung eines kleinen Pappgeräts namens "Slot". Indem Sie diesen Schlitz über die Raum-Zeit-Diagramme schieben, können Sie klar verstehen, was passiert.

Die Spezielle Relativitätstheorie ist natürlich die erste Voraussetzung. Das sollte die notwendige lineare Algebra, Gruppentheorie und klassische Feldtheorie beinhalten, denn GR ist selbst eine Feldtheorie.

Danach müssen Sie vor allem die Analysis bis einschließlich der Kettenregel für partielle Ableitungen verstehen, die für die Zusammensetzung von Koordinatentransformationen auf Tensorfeldern entscheidend ist.

Das ist alles, was notwendig ist, um die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie zu lernen. Vielleicht brauchst du auch ein gutes geometrisches Gespür. Wenn Sie es haben, kann GR viel früher gelehrt oder gelernt werden, als es normalerweise der Fall ist.

Es gibt noch einige andere Dinge, die helfen würden, wie das Verständnis des Prinzips der kleinsten Wirkung, das die Variationsrechnung verwendet. Auch die Elektromagnetik bis hin zur Formulierung der Maxwellschen Gleichungen in SR ist es wert, zuerst kennengelernt zu werden.

Dann nehmen Sie das kleinste Buch über GR, das Sie finden können (das wäre Diracs) und arbeiten es durch. Später können Sie zu moderneren Behandlungen und größeren Texten mit mehr Details übergehen.