Schneller Hintergrund

Die Phasengeschwindigkeit ,$\mathbf{V}_{ph}$, ist nicht nur$\omega/k$, es ist eigentlich der reelle Teil dieses Verhältnisses, oder$\Re\left[\omega/k\right]$, da sowohl die Frequenz als auch die Wellenzahl im Allgemeinen komplex sein können.

In ähnlicher Weise ist die Gruppengeschwindigkeit definiert als:

$$\mathbf{V}_{g} = \frac{ \partial \Re\left[ \omega \right] }{ \partial k }$$

Grenzfrequenz

Es gibt eine andere Möglichkeit, sich die Grenzfrequenz vorzustellen als nur$V_{ph} \sim \infty$, was eigentlich das Gegenteil davon ist, wie Sie darüber denken sollten.

Um die Grenzfrequenz besser zu verstehen, stellt man sich eine Welle vor, die sich von einem Medium zu einem anderen mit unterschiedlichem Brechungsindex ausbreitet . Wenn das neue Medium ein Szenario darstellt, in dem die einfallende Welle eine Unterbrechung erfahren würde, ist dies eine andere Art zu sagen, dass die einfallende Welle eine unendliche Phasengeschwindigkeit benötigen würde, um sich in diesem Medium auszubreiten. Da eine unendliche Phasengeschwindigkeit physikalisch unmöglich ist, existiert die Welle im zweiten Medium nicht.

Ein tatsächliches Beispiel, das in einem Plasma beobachtet wird, ist, wenn eine Langmuir-Welle in einem Dichtebrunnen gefangen wird (entweder durch den ponderomotorischen Druck der Welle erzeugt oder in ihn hinein propagiert).

Ein vielleicht leichter zu verstehendes Konzept ist eine evaneszente Welle , die ein ähnliches Konzept ist, außer dass die Amplitude langsam mit der Entfernung in das zweite Medium abfällt, anstatt überhaupt nicht zu existieren.

Ich habe hier eine andere Antwort zu Randbedingungen , die mehr Mathematik und Beispiele mit Zeichenfolgen zeigt.

Resonanzfrequenz

Das ist etwas schwieriger zu fassen. Es ist nicht wirklich so, dass die Phasengeschwindigkeit einer Welle bei Resonanz gegen Null tendiert, sondern die Wachstumsrate,$\gamma \equiv \Im\left[ \omega \right]$, der Amplitude beginnt die Wellenfrequenz erheblich zu überschreiten,$\omega_{r} \equiv \Re\left[ \omega \right]$, oder$\gamma \gg \omega_{r}$. Der Grund, warum ich das sage, ist, dass in einem Plasma eine elektromagnetische Welle mit einer Population geladener Teilchen in Resonanz sein kann. Dies bedeutet nicht, dass die Welle plötzlich hat$V_{ph} = 0$denn es schwingt mit diesen Partikeln mit.

Detailliertere (mathematische) Erklärung

Angenommen, die Quelle freier Energie (z. B. siehe Freie Energie von Gibbs ), die mit einer Normalmode des Systems in Resonanz ist, ist zufällig ein Teilchenstrahl (z. B. feldausgerichtete Strahlen, die im arXiv-Papier 1207.5561 diskutiert werden ). Wenn dies der Fall ist, zeigt die Theorie des linearen Wachstums, dass der Parameter, der die Wechselwirkung zwischen Wellen und Teilchen bestimmt, gegeben ist durch:

$$\zeta_{s}^{n} = \frac{ \omega_{r} - \mathbf{k} \cdot \mathbf{V}_{os} + n \ \Omega_{cs} }{ k \ V_{Ts} }$$ Wo $\mathbf{V}_{os}$ist die Strahlgeschwindigkeit relativ zum Massenströmungs-Ruhesystem der Arten $s$, $\Omega_{cs}$ist die Zyklotronfrequenz von Arten $s$, $\mathbf{V}_{os}$ist die thermische Geschwindigkeit der Arten $s$, $n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,$usw. und $s$kann sein $e$(Elektronen) bzw $i$(Ionen).

Man sagt, dass eine Mode mit dem Teilchenstrahl resonant ist, wenn$\lvert \zeta_{s}^{n} \rvert \leq 1$und nicht resonant wenn$\lvert \zeta_{s}^{n} \rvert \gg 1$. Der resonante Fall ist eine andere Art zu sagen, dass der Term im Zähler einen kleineren Wert als der Nenner hat, oder:

$$\left( \omega_{r} - \mathbf{k} \cdot \mathbf{V}_{os} + n \ \Omega_{cs} \right) \leq \left( k \ V_{Ts} \right)$$

Im "besten" Fall ist die Welle vollständig in Resonanz mit den Teilchen, wenn:

$$\left( \omega_{r} - \mathbf{k} \cdot \mathbf{V}_{os} + n \ \Omega_{cs} \right) \rightarrow 0$$

Das sieht man also$V_{ph}$kann immer noch endlich sein, wenn die Wellen mit den Teilchen in Resonanz sind, weshalb ich argumentiert habe, dass Resonanz nicht unbedingt impliziert$V_{ph} = 0$.

Spaß-Nebenbemerkung

Es ist möglich, eine Welle zu haben$V_{ph} = 0$Und$V_{g} \neq 0$, die seitdem manchmal als rein wachsende Modi bezeichnet werden$V_{ph} = 0$deutet das oft an$\Re\left[ \omega \right] = 0$, bedeutet das aber nicht unbedingt$\Im\left[ \omega \right] = 0$.

"Unendliche" Wellenlänge bedeutet nur, dass die Lösung nicht vom Ort, sondern nur von der Zeit abhängt.

Eine Wellenlösung hat den Ausdruck

$sin(kx-\omega t)$

$k$ist der Wellenvektor und die Wellenlänge ist$L=2\pi/k$

Wenn die Welle von der Zeit, aber nicht vom Raum abhängt (was durchaus passieren könnte, warum nicht?)

$sin(-\omega t)$

und genau das passiert dann bei der Cutoff-Frequenz$k$Null ist und die Wellenlänge unendlich ist. Aber die Wellenlänge kann nicht Null sein, denn das würde bedeuten, dass der Wellenvektor$k$Unendlich sollte dann aber der Ausdruck sein

$sin(kx-\omega t)$

wäre bedeutungslos.