Wasserstoff-Hyperfeinstruktur: Allgemeiner Ausdruck

Der Hamiltonoperator für die Spin-Spin-Wechselwirkung lautet:

$$\Delta H_{SS} = \frac{\gamma_p e^2}{m m_p c^2 r^3} \Big( \frac{1}{r^3} \big(3(\vec{s}_p \cdot \hat{r})(\vec{s}_e \cdot \hat{r})-(\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \big)+\frac{8 \pi}{3} (\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \delta^{(3)}( \vec{r} ) \Big)$$

Für die Fälle wo$l \neq 0$der Term mit der Delta-Funktion hebt sich auf, und die Wellenfunktion ist proportional zu$r^l$für klein$r$Werte. Wann also$l>0$wir bekommen das$\psi(0)=0$, und dann wird die Korrektur der Energie sein:

$$\Delta E_{hf} = \frac{\gamma_p e^2}{m m_p c^2} \left\langle \frac{1}{r^3} \big( ( \vec{l} \cdot \vec{s}_p )+3(\vec{s}_p \cdot \hat{r})(\vec{s}_e \cdot \hat{r})-(\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \big) \right\rangle$$

Dieser Erwartungswert wurde von Bethe und Salpeter berechnet, und das Ergebnis lautet:

$$\Delta E_{hf} = \frac{m}{m_p} \alpha^4 mc^2 \frac{\gamma_p}{2 n^3} \left( \frac{ f(f+1)-j(j+1)-\frac{3}{4}}{j(j+1)(l+\frac{1}{2})} \right),$$

Dieses Ergebnis deckt sich mit dem$l=0$Fall seitdem$j=\frac{1}{2}$und das Proton hat so Spin 1/2$f=j \pm \frac{1}{2}$und der obige Ausdruck kann dann zu dem Ergebnis vereinfacht werden, das Sie bereits für haben$l=0$Fall...

(Das nächste Mal versuchen Sie es mit älteren QM-Büchern wie diesem http://adsabs.harvard.edu/abs/1957qmot.book.....B )