Wechselwirkung des Zwei-Niveau-Systems mit Strahlung

Kann jemand sehen, wie das Folgende erhalten wird:

In einem Abschnitt über Störungen durch ein oszillierendes elektrisches Feld. Im Buch "Atomic Physics" von Foot. Folgendes wird gesagt: Betrachten Sie die Shrodinger-Gleichung

ich ℏ ∂ Ψ ∂ T = H Ψ .
Der Hamiltonoperator besteht aus zwei Teilen
H = H 0 + H ICH ( T ) .

Die Störung, die den Hamiltonoperator beschreibt, ist:

H 1 ( T ) = e R ⋅ E 0 cos ⁡ ( ω T )
Die Wechselwirkung vermischt die beiden Zustände:
Ψ ( R , T ) = C 1 ( T ) ψ 1 ( R ) e − ich E 1 T ℏ + C 2 ( T ) ψ 2 ( R ) e − ich E 2 T ℏ
was geschrieben werden kann als
Ψ ( R , T ) = C 1 ( T ) | 1 ⟩ e − ich ω 1 T + C 2 | 2 ⟩ e − ich ω 2 T .

Frage: Kann jemand sehen, wie daraus folgt, dass die Substitution in die Shrodinger-Gleichung führt

1 ˙ C 1 ˙ = Ω cos ⁡ ( ω T ) e − ich ω 0 T C 2 ,     1 ˙ C 2 ˙ = Ω ∗ cos ⁡ ( ω T ) e − ich ω 0 T C 1 ?
Wo ω 0 = E 2 − E 1 ℏ und die Rabi-Frequenz Ω ist definiert durch Ω = ⟨ 1 | e R ⋅ E 0 | 2 ⟩ ℏ . Auch was ist die Bedeutung von 1 ˙ C 1 ˙ Und 1 ˙ C 2 ˙ bei der Beschreibung der Wechselwirkung des Zwei-Niveau-Systems mit Strahlung?

Danke für jede Hilfe.

was ist 1 ˙ ?
@ZeroTheHero Ich weiß nicht, das ist ein Teil dessen, was ich frage, ich nehme an, dass es nur eine Bezeichnung für das ist, was er rechts von den Gleichungen definiert, warum er das gewählt hat, bin ich mir nicht sicher. ..
eigentlich: wenn sich das auf Gl. (7.9) und (7.10) bezieht, ist es das nicht 1 ˙ sondern "i", also die imaginäre Einheit.
@ZeroTheHero Oh okay, ja, das sind die Gleichungen, auf die ich mich beziehe. Ist seine C ˙ die Änderungsrate der Wahrscheinlichkeitskonstanten vielleicht?
Der C 's sind nicht konstant, sonst hätten sie es getan 0 Derivate. Sie sind nur zu lösende Funktionen, die Ihnen Wahrscheinlichkeiten als Funktion der Zeit liefern.
@ZeroTheHero Ja, sorry, war ein Tippfehler, ich meinte Wahrscheinlichkeitskoeffizienten.

Antworten (1)

Wie Sie geschrieben haben, können wir den Zustand allgemein als ausdrücken | ψ ⟩ = C 1 ( T ) e − ich ω 1 T | 1 ⟩ + C 2 ( T ) e − ich ω 2 T | 2 ⟩ . Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist ich ℏ ∂ | ψ ⟩ ∂ T = H | ψ ⟩ . Um die Koeffizienten zu berechnen C 1 Und C 2 Wir können das Skalarprodukt beider Seiten mit nur einem Basisvektor bilden, z | 1 ⟩ :

ich ℏ ⟨ 1 | ∂ | ψ ⟩ ∂ T = ⟨ 1 | H | ψ ⟩ .

Seit ⟨ 1 | 1 ⟩ = 1 Und ⟨ 1 | 2 ⟩ = 0 erhalten wir für die linke Seite nur die zeitliche Ableitung des Koeffizienten von | 1 ⟩ :

⟨ 1 | ∂ | ψ ⟩ ∂ T = ( C 1 ˙ ( T ) − ich ω 1 C 1 ( T ) ) e − ich ω 1 T
In der Zwischenzeit für die rechte Seite, wissen Sie H 0 | ψ ⟩ = E 1 C 1 ( T ) e − ich ω 1 T | 1 ⟩ + E 2 C 2 ( T ) e − ich ω 2 T | 2 ⟩ , So ⟨ 1 | H 0 | ψ ⟩ = E 1 C 1 ( T ) e − ich ω 1 T .

Das letzte Stück, das wir brauchen, ist ⟨ 1 | H ICH ( T ) | ψ ⟩ = e cos ⁡ ( ω T ) ⟨ 1 | R ⋅ E 0 | ψ ⟩ . Jetzt, ⟨ 1 | R ⋅ E 0 | 1 ⟩ = 0 (Wenn Sie sich nicht sicher sind, warum das so ist, dann denken Sie explizit an dieses Skalarprodukt als Integral und berücksichtigen Sie die Symmetrie des Integranden). Uns bleibt also übrig

⟨ 1 | H ICH ( T ) | ψ ⟩ = e cos ⁡ ( ω T ) C 2 ( T ) e − ich ω 2 T ⟨ 1 | R ⋅ E 0 | 2 ⟩

Kombinieren Sie alle diese Berechnungen:

ich ℏ ( C 1 ˙ ( T ) − ich ω 1 C 1 ( T ) ) e − ich ω 1 T = E 1 C 1 ( T ) e − ich ω 1 T + e cos ⁡ ( ω T ) C 2 ( T ) e − ich ω 2 T ⟨ 1 | R ⋅ E 0 | 2 ⟩

Daran erinnernd E 1 = ℏ ω 1 , der zweite Term auf der linken Seite hebt sich mit dem ersten Term auf der rechten Seite auf. Uns bleibt nur noch

ich ℏ C 1 ˙ ( T ) = ⟨ 1 | e R ⋅ E 0 | 2 ⟩ cos ⁡ ( ω T ) e ich ( ω 1 − ω 2 ) T C 2 ( T )

Dies ist genau der Ausdruck, den Sie zuvor bis zur Ersetzung der Definitionen von geschrieben haben Ω Und ω 0 . Durch ein identisches Verfahren können Sie die entsprechende Gleichung für konstruieren C 2 ˙ ( T ) (oder einfach '1's mit '2's tauschen).

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