Die folgenden beiden Links bieten eine kurze Einführung in das pythagoreische Komma:
Pythagorean Comma - Indiana University
Das "Pythagorean Comma" - Jody Nagel
Der Wikipedia-Artikel zu diesem Thema ist auch ganz gut.
Ich werde für den Rest dieses Beitrags weiterhin auf den Link von Jody Nagel verweisen. Lassen Sie mich zwei weitere Begriffe definieren, bevor ich fortfahre. Ich definiere an Octave Jumpals Multiplikation mit 2 und a Fifth Jumpals Multiplikation mit 3/2.
Wenn Sie von einer Frequenz von 100 Hz ausgehen, Octave Jumpserreichen Sie nach 7 12800 Hz (dh 100 Hz * 2^7). Ebenso, wenn Sie an der gleichen Stelle beginnen, Fifth Jumpserreichen Sie nach 12 12974,634 Hz (dh 100 Hz * (3/2) ^ 12). Die Zahlen 12800 und 12974.634 liegen sehr nahe beieinander und der Unterschied zwischen ihnen ist sehr gering. Dies ist eine ebenso gute Illustration der pythagoräischen Kommas, wie ich denke. Aber was ist die Bedeutung dieses Fehlers?
Ich war fasziniert, weil Euklid dies anscheinend analysiert hat. Aber es ist offensichtlich, dass Potenzen von 3/2 und Potenzen von 2 niemals am selben Punkt konvergieren können. Das war, da bin ich mir sicher, auch Euklid (der seinen Zeitgenossen Jahrhunderte voraus war) klar. Warum wurde das analysiert? Welche musikalische Bedeutung hat das pythagoreische Komma?
Es ist wichtig, wenn Sie versuchen, ein Instrument nach Gehör zu stimmen, indem Sie sich an der Reinheit der Intervalle orientieren. Sie (und die von Ihnen verlinkten Seiten) beziehen sich auf das Aufwärtsspringen von 7 Oktaven gegenüber 12 Quinten, aber vergessen Sie nicht, dass alle Noten, die Sie auf diese Weise erreichen, auch um eine oder mehrere Oktaven nach unten gebracht werden können.
Um dies zu veranschaulichen, bringen wir alle Noten in dieselbe Oktave. Definieren wir der Einfachheit halber ein neues zusammengesetztes Intervall: a Whole Toneergibt sich, indem man zwei reine Quinten aufsteigt und dann eine Oktave abwärts geht (z. B. C nach D). In Bezug auf die Verhältnisse entspricht dies der Multiplikation einer Frequenz mit:
Da Cent logarithmische Einheiten sind, kann dieselbe Formel als Addition ausgedrückt werden:
Wir werden gleich eine Ganztonleiter definieren, aber werfen wir zunächst einen Blick auf die Quintlinie, nur um unsere Erinnerung an die Benennung dieser Noten aufzufrischen. Beachten Sie insbesondere, dass jede aufeinanderfolgende Quinte mit dem Buchstaben benannt werden muss , der fünf Buchstaben „höher“ ist (beide Endpunkte gezählt), selbst wenn sie über ein Kreuz oder ein B geändert werden muss. Dies wird wichtig sein, wenn wir mit der Benennung von Notizen beginnen. Beachten Sie auch, dass die Linie unendlich ist.
B♭♭ - F♭ - C♭ - G♭ - D♭ - A♭ - E♭ - B♭ - F - C - G - D - A - E - B - F♯ - C♯ - G♯ - D♯ - A♯ - E♯ - B♯ - F♯♯
Jetzt können wir eine Tonleiter aus Ganztönen erstellen. Da jeder Ganzton zwei Quinten entfernt ist, verwenden wir den Notennamen zwei Stellen rechts entlang der Quintenlinie (wobei immer der nächste Buchstabe in der alphabetischen Reihenfolge verwendet wird). Ich werde hier keine tatsächlichen Frequenzen berechnen, nur das Frequenzverhältnis und die Anzahl der Cent-Differenzen zwischen jeder Note und unserer Startnote.
Hier sieht man, dass unsere „Ein-Oktave“-Skala tatsächlich eine Oktave um ein pythagoreisches Komma überschritten hat (Achtung: Ich habe die Cent-Werte etwas nachlässig gerundet: 1224 müsste eigentlich 1200 + P. Komma sein). Es gibt einen kleinen, aber deutlichen Unterschied zwischen dem Klang eines B♯ und eines C – wenn Sie versuchen, einen durch einen anderen zu ersetzen, wird es deutlich verstimmt klingen.
Es scheint keine große Sache zu sein, ein B♯ wegzulassen – niemand benutzt diese Note ohnehin oft, oder? -- aber wenn Sie diesen Prozess rückwärts verfolgen, können Sie vom hohen C jeweils 204 Cent nach unten gehen und die folgenden Noten erhalten:
Wenn wir die beiden Diagramme vergleichen, haben wir jetzt ein Problem, weil jede Note in unserer Tonleiter mindestens einen Doppelgänger mit abwechselnden Namen hat, getrennt durch ein pythagoräisches Komma (z. B. F♯ bei 612 Cent vs. G♭ bei 588 Cent). Einige davon scheinen nicht sehr sinnvoll zu sein (es wäre ein seltenes Stück, das D ♭ ♭ oder B ♯ anstelle von C verwenden müsste, obwohl es theoretisch auftauchen könnte). Aber einige Fälle kommen recht häufig vor. Wenn Sie in der Tonart a-Moll spielen, kommt G♯ (816 Cent) häufig als Leitton vor. Aber wenn Sie in einer Tonart wie c-Moll, f-Moll oder einer anderen Tonart auf der "flachen" Seite des Kreises spielen möchten, dann werden Sie das A♭ (792 Cent) schmerzlich vermissen, was schmerzhaft sein wird verstimmt, wenn Sie versuchen, das G ♯ zu ersetzen (vielleicht könnten Sie in der Tonart G ♯ anstelle von A ♭ spielen, aber dann
Wenn Ihr Instrument in der Lage ist, jede mögliche Tonhöhe zu spielen (z. B. menschliche Stimme und bundlose Saiten), ist es Ihnen egal, Sie passen es einfach nach Bedarf an. Aber wenn Sie ein Instrument mit einer festen Anzahl von Tonhöhen entwerfen, wie z. B. ein Keyboard, müssen Sie eine Möglichkeit bieten, beide zu spielen , oder verwenden Sie einfach nie eine davon.
Es gibt ein paar mögliche Lösungen:
Als historische Randbemerkung: Dieses Nicht-Schließen des Quintenzirkels schien die Komponisten in der Renaissance und im Frühbarock nicht wirklich zu stören; Sie waren meistens glücklich damit, in einer begrenzten Anzahl von Tonarten zu schreiben (obwohl die zunehmende Verwendung von Chromatik im Barock das Problem zu verschärfen begann). Was als viel schlimmeres Problem bei der pythagoreischen Stimmung angesehen wurde, waren ihre verstimmten Terzen: CE ist (9/8) 2 oder 408 Cent, während eine "reine" große Terz (gemäß der harmonischen Reihe) das Verhältnis hat ( 5/4) oder 386 Cent. Dieser Unterschied, der am Ende etwa 21,5 Cent beträgt, wird als syntonisches Komma bezeichnet (im Unterschied zum pythagoräischen Komma). Komponisten und Theoretiker dieser Zeit liebten Terzen, daher war Viertelkomma Mittelton ein beliebtes Stimmungssystem, das in der Renaissance und im Frühbarock verwendet wurde. Dieses System machte alle Quinten um 1/4 des Syntonischen Kommas zu flach – mehr als nötig, um den Kreis zu schließen – so dass die großen Terzen perfekt gestimmt wären. Dies überkompensierte tatsächlich das Problem der Nichtschließung und machte es sogar noch schlimmer. Wenn Sie beispielsweise drei reine große Terzen verwenden, ist ein B ♯ erheblich kleiner als ein C:
Beachten Sie hier, dass unser mitteltöniges B♯ das C etwa doppelt so weit unterschreitet, wie unser pythagoreisches B♯ darüber hinausschießt. Dieses System hat daher alle die gleichen Probleme (und möglichen Lösungen), die wir oben besprochen haben, nur schlimmer und in die entgegengesetzte Richtung.
Es war ein Kompromiss, der damals Sinn machte, aber schließlich wollten die Komponisten mehr tun. Bach zum Beispiel soll seinen Orgelbauer gequält haben, indem er diesen schrecklich verstimmten A♭-Akkord in voller Lautstärke gespielt hat.
Um zu vervollständigen, was Caleb in seiner Antwort sagt, hatte ich dies vor einigen Jahren zum französischen Wikipedia-Artikel über Kommas hinzugefügt, was auch helfen könnte, Ihre Frage zu beleuchten:
Wenn wir das pythagoreische Komma beispielsweise über 4 Quinten verteilen (do-sol-re-la-mi), dann wird das Intervall des dritten do-mi durch ein pythagoreisches Komma abgeschnitten. Durch ein syntonisches Komma abgeschnitten, wäre dieses dritte do-mi rein (Verhältnis 5/4) ... Aber angesichts der Quasi-Äquivalenz zwischen den beiden pythagoräischen und syntonischen Kommas (was mathematisch bemerkenswert ist), ist dies in Ordnung Berechnungen, die, da sie physikalisch damit beschäftigt sind, das pythagoreische Komma über den Quintenzirkel zu teilen, in Wirklichkeit hauptsächlich daran interessiert sind, die mit dem syntonischen Komma verbundenen Terzfehler zu reduzieren!
(Denn die Falschheit von Quinten selbst wäre, wenn sie regelmäßig über den Kreis verteilt würden, für sich genommen kein Problem: Wie Sie wahrscheinlich schon erraten haben, ist ein 12tel-Komma-Unterschied in einer Quinte nie wirklich ein Thema für sich. Aber im Gegensatz dazu ein Voll oder ein halber Kommaunterschied, in einer Terz oder einem beliebigen Intervall, ist ein echtes Thema.)
(Quelle der Idee: „Musique et tempérament“, Pierre-Yves Asselin, Éditions JOBERT, 2000, 236 S. (ISBN 2-905335-00-9) )
Alter Johannes